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浙江省慈溪中学2015-2016学年高二上学期期中考试数学(1班)试题

2015学年
慈溪中学

第一学期

期中检查高二(1)班数学试卷

一、选择题(本大题共 8 小题,共 40 分) 1.设 (1 ? x) ? (1 ? x)2 ? (1 ? x)3 ???? ? (1 ? x)n ? a0 ? a1 x ? a2 x2 ???? ? an xn , 当

a0 ? a1 ? a2 ???? ? an ? 254 时,n 等于(
A. 5 B.6 C.7

) D.8 )

2.6 个人排成一排,甲乙两人中间至少有一个人的排法种数有( A.480 3.在 (2 x ?
2

B.720

C.240

D.360 )

1 3 x

) n 的展开式中含常数项,则正整数 n 的最小值是(
B.3 C.4 D.5

A.2

4.设 m, n 是两条不同的直线, ? , ? 是两个不同的平面,则下列命题中正确 的是( .. A.若 m / /? , n ? ? 且 ? ? ? ,则 m ? n B.若 m ? ? , n ? ? 且 m ? n ,则 ? ? ? C.若 ? ? ? , m / / n 且 n ? ? ,则 m / /? D.若 m ? ? , n ? ? 且 m / / n ,则 ? / / ?

)

5.有一个公用电话亭,在观察使用这个电话的人的流量时,设在某一时刻,有 n 个人正在使 用 电 话 或 等 待 使 用 的 概 率 为 P ( n) , 且 P ( n) 与 时 刻 t 无 关 , 统 计 得 到

? 1 n ?( ) ? P(0) (1 ? n ? 5) P ( n) ? ? 2 ,那么在某一时刻这个公用电话亭里一个人也没有的概 ? ?0 (n ? 6)
率 P (0) 的值是( A.0
2

) B.1 C.

32 63

D.

1 2


2 y 6.设双曲线 x 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左焦点 F(-c,0),

a

b

2 2 2 x +y =c 与双曲线的一条渐近线交于点 A,直线 AF 交另一条渐近线于点 B。若 FB ? 1 FA ,

??? ?

??? ?

2

则双曲线的离心率为( A.2 B.3 C. 3



5 ?1 D. 2 2 7.已知直线 l1 : 4 x ? 3 y ? 6 ? 0 和直线 l 2 : x ? 0 ,抛物线 y 2 ? 4 x
上一动点 P 到直线 l1 和直线 l2 的距离之和的最小值是( A.1 B.2 C.3 D.4 )

8. 如果正整数 a 的各位数字之和等于 8, 那么称 a 为 “幸运数” (如: 8, 26, 2015 等均为 “幸 运数” ) ,将所有“幸运数”从小到大排成一列 a1 , a2 , a3 , ??????, 若 an ? 2015 ,则 n ?( A.80 B.81 C.82 D.83 )

二、填空题(本大题共 7 小题,9-12 小题每小题 6 分,13-15 每小题 4 分,共 36 分)

9.多项式 ( x ? 1)( x ? 2)( x ? 3)( x ? 4)( x ? 5) 的展开式中, x 项的系数=____▲_____, x 项
4

的系数= _____▲_______.

3 10. 在二项式 ( x ? 2

1 n x ) 的展开式中,只有第 5 2
▲ _;展开式

项的二项式系数最大,则 n ? 中的第 4 项=_ ▲_ .

11.一个四棱锥的三视图如图所示,则该几何体的 体积= ▲
2

,表面积=_ ▲__.

12.已知抛物线 x ? 3 y 上两点 A, B 的横坐标恰是 方程 x ? 5 x ? 1 ? 0 的两个实根,则直线 AB 的
2

斜率=

▲ ;直线 AB 的方程为



.

13.某种产品有 4 只次品和 6 只正品,每只产品均不同且可区分,今每次取出一只测试,测试后 不放回,直到 4 只次品全测出为止,则最后一只次品恰好在第五次测试时被发现的不同情 形有 ▲ 种.

14.设 F1、F2 是椭圆 Γ 的两个焦点,S 是以 F1 为中心的正方形,则 S 的四个顶点中能落在椭

圆 Γ 上的个数最多有



个(S 的各边可以不与 Γ 的对称轴平行) .

15. 甲、乙两位同学玩游戏,对于给定的实数 a1 ,按下列方法操作一次产生一个新的实数: 由甲、乙同时各掷一枚均匀的硬币,如果出现两个正面朝上或两个反面朝上,则把 a1 乘以 2后再减去 12;如果出现一个正面朝上,一个反面朝上,则把 a1 除以2后再加上 12,这 样就可得到一个新的实数 a2 .对实数 a2 仍按上述方法进行一次操作,又得到一个新的实数

a3 ,当 a3 ? a1 时,甲获胜,否则乙获胜 . 若甲胜的概率为
▲ .

3 ,则 a1 的取值范围是 a1 ? 4

三、解答题(本大题共 5 小题,依次为 15、15、15、15、14 分,共 74 分) 16.某班共有 36 名学生,其中有班干部 6 名.现从 36 名同学中任选 2 名代表参加某次活动. 求: (1) 恰有 1 名班干部当选代表的概率; (2) 至少有 1 名班干部当选代表的概率; (3) 已知 36 名学生中男生比女生多,若选得同性代表的概率等于 几人?

1 ,则男生比女生多 2

x2 y 2 17.已知椭圆 2 ? 2 ? 1(a ? b ? 0) 的右 a b
焦点为 F, A 为短轴的一个端点,且

y
M

P

OA ? OF , ?AOF 的面积为 1(其
C
中 O 为坐标原点) . (1)求椭圆的方程;

A F D

O

x

(2)若 C , D 分别是椭圆长轴的左、右端点,动点 M 满足 MD ? CD ,连接 CM ,交椭圆 于点 P ,证明: OM ? OP 为定值.

???? ? ??? ?

18.在三棱柱 ABC ? A 1B 1C1 中,已知

A1 B1

C1

AB ? AC ? AA1 ? 5 , BC ? 4 , BC 的中点
为 O , AO 1 垂直于底面 ABC . (1) 证明:在侧棱 AA1 上存在一点 E ,使得
A O B

C

OE ? 平面 BB1C1C ,并求出 AE 的长;
(2) 求二面角 A1 ? B1C ? B 的平面角的余弦 值.

19.如图,椭圆

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左、右焦点 a2 b2

为 F1 , F2 , 过 F1 的直线 l 与椭圆相交于 A 、B 两点。 (1) 若 ?AF1 F2 ? 60 ,且 AF 1 ? AF 2 ? 0 求椭
0

圆的离心率。 (2)若 a ? 小值。

2, b ? 1 ,求 F2 A ? F2 B 的最大值和最

1 2 1 2 n 20. 数列 ?an ? 满足 a1 ? 1, a2 ? A2 ( n? N * ) ? A2 , ???, an ? An ? An ???? ? An

(1)求 a2 , a3 , a4 , a5 的值; (2)求 an 与 an ?1 之间的关系式 (n ? N *, n ? 2) ; (3)求证: (1 ?

1 1 1 )(1 ? ) ??? (1 ? ) ? 3 ( n ? N * ) a1 a2 an

2015学年
慈溪中学

第一学期
4 B

期中检查高二(1)班数学答卷

一、选择题(本大题共 8 小题,共 40 分) 1 C 2 A 3 D 5 C 6 A 7 A 8 D

二、填空题(本大题共 7 小题,9-12 小题每小题 6 分,13-15 每小题 4 分,共 36 分) 9、 -15 , 12、 ? 274 10、 8 ,

?7 x

19 3

11、

2 ,2? 2 ? 6 3

5 , 5 x ? 3 y ? 1 ? 0 ,13、 576 3

14、

2

15、 ? ??,12? ? ? 24, ???

三、解答题(本大题共 5 小题,共 74 分) 16. (本题 15 分) 解: (1)所求概率为:
1 1 C30 C6 2 ? 2 C36 7

??5 分

2 C30 13 (2) 所求概率为: 1 ? 2 ? C36 42

??10 分

(3) 设男生有 n 人,则女生有 36 ? n 人,
2 2 Cn ? C36 1 ?n 则有条件可知: ? ,??13 分 2 C36 2

解得 n ? 15 或 n ? 21 ,而 n ? 18 ,所以 n ? 21 所以男生比女生多 6 人。 17(本题 15 分) ??15 分

x2 y 2 ? ? 1 ??5 分 解: (1) 4 2
(2)由题意直线 MC 的斜率存在, 设其方程为 y ? k ( x ? 2) ,??7 分

y
M

P

x2 y 2 ? ? 1 ,得 代入 4 2

A F D

C

O

x

(1 ? 2k 2 ) x2 ? 8k 2 x ? 8k 2 ? 4 ? 0 ?9 分

? 4k 2 ? 2 4 k ? , 2 ? ??12 分 2 ? 2k ? 1 2k ? 1 ? ???? ? ??? ? 又 M (2, 4k ) ,所以 OM ? OP ? 4 为定值。??15 分
所以 P ? ? 18. (本题 15 分) 解: (1) 证明: 连接 AO , 在 ?A 作 OE ? AA1 于点 E , 因为 AA1 // BB1 , 得O O A 1 中, E ? B B 因为 AO ? 平面 ABC , 1 所以, AO ? BC ,因为 AB ? AC, OB ? OC , 1 得 AO ? BC ,所以 BC ? 平面 AAO ,所以 BC ? OE , 1 所以 OE ? 平面 BB1C1C ?????3 分 又 AO ?
1.

AB 2 ? BO 2 ? 1, AA1 ? 5,

得 AE ?

AO 5 ?????6 分 ? AA1 5
的直

2

(2)如图所示,分别以 OA, OB, OA1 所在 线为 x, y , z 轴建立空间直角坐标系,则 A(1,0,0), C(0, ?2,0), A 1 (0,0, 2), B(0, 2,0) 由(1)可知 AE ?

??? ?

4 2 1 ???? AA1 得点 E 的坐标为 ( , 0, ) ,?????8 分 5 5 5 4 5

2 5 ? ??? ? ? ? ?? x ? 2 y ? 0 ?n ? AB ? 0 设平面 A1B1C 的法向量 n ? ( x, y, z) ,由 ? ? ???? ,得 ? ?y ? z ? 0 ? ?n ? A1C ? 0
由(1)可知平面 BB1C1C 的法向量是 ( , 0, ) ,?????10 分 令 y ? 1 ,得 x ? 2, z ? ?1 ,即 n ? (2,1, ?1) ,?????12 分

?

??? ? ? ??? ? ? OE ? n 30 所以 cos ? OE , n ?? ??? ,?????14 分 ? ? ? 10 OE ? n

即所求二面角的平面角与 ? OE, n ? 互补,所求的余弦值是 ?

??? ? ?

30 .???15 分 10

19. (本题 15 分) (1)? AF 1 ? AF 2 1 ? AF 2 ? 0 ,? AF

? ?AF1 F2 ? 60? ,

? 离心率e ?
(2)? a ?

F1 F2 c 2c ? ? ? 3 ? 1 ????????????5 分 a 2a AF1 ? AF2
2, b ? 1 ,? c ? 1, 点F1 (?1,0), F2 (1,0) 。
2 2 ), B(?1,? ), 2 2

①若 AB 垂直于 x 轴,则 A(?1,

? F2 A ? (?2,
F2 A ? F2 B ? 4 ?

2 2 ), F2 B ? (?2,? ), 2 2
1 7 ? ????????????????6 分 2 2

②若 AB 与 x 轴不垂直,设直线 AB 的斜率为 k ,则直线 AB 的方程为

y ? k ( x ? 1)
由?

y ? k ( x ? 1) 2 ?x ? 2 y ? 2 ? 0 ?
2



(1 ? 2k 2 ) x 2 ? 4k 2 x ? 2(k 2 ? 1) ? 0

? ? ? 8k 2 ? 8 ? 0 ,? 方程有两个不等的实数根。

4k 2 2(k 2 ? 1) 设 A( x1 , y1 ) , B( x2 , y2 ) . x1 ? x 2 ? ? , x1 ? x 2 ? ?10 分 1 ? 2k 2 1 ? 2k 2

? F2 A ? ( x1 ? 1, y1 ), F2 B ? ( x2 ? 1, y2 ) F2 A ? F2 B ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? y1 y2 ? ( x1 ? 1)(x2 ? 1) ? k 2 ( x1 ? 1)(x2 ? 1)
? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? (k 2 ? 1)(x1 ? x2 ) ? 1 ? k 2

? (1 ? k 2 )

2(k 2 ? 1) 4k 2 2 ? ( k ? 1 )( ? ) ?1? k 2 2 2 1 ? 2k 1 ? 2k

=

7k 2 ? 1 7 9 ??????????????13 分 ? ? 2 2 2(1 ? 2k 2 ) 1 ? 2k

1 ? 1 ?????????????14 分 1 ? 2k 2 7 7 ? F2 A ? F2 B ? [?1, ] ,所以当直线 l 垂于 x 轴时, F2 A ? F2 B 取得最大值 2 2 k 2 ? 0,1 ? 2k 2 ? 1,0 ?
当直线 l 与 x 轴重合时, F2 A ? F2 B 取得最小值 ? 1 ????????15 分

20. (本题 14 分) 解: (1)分别为 4,15,64,325 (2)
1 2 n an ? An ? An ? ? ? An

??4 分

? n ? n(n ? 1) ? n(n ? 1)(n ? 2) ? ? ? n ! ? n ? n ? (n ? 1) ? (n ? 1)(n ? 2) ? ? ? (n ? 1)!? ? n ? nan ?1
??9 分

(3)由(2)可知

1 ? an ?1 1 ? ,所以 an n

(1 ? ?

1 1 1 )(1 ? ) ??? (1 ? ) a1 a2 an

1 ? a1 1 ? a2 1 ? an 1 ? an ? ? a1 a2 an n!

1 2 n An An 1 An ? ? ? ?? ? n! n! n! n! 1 1 1 1 ? ? ? ?? ? n ! (n ? 1)! (n ? 2)! (n ? n)! 1 1 1 1 ? ? ? ??? 0! 1! 2! n! 1 1 1 1 ? 1?1? ? ? ??? 1?2 2? 3 3?4 ( n ? 1) n 1 ? 3 ? ? 3(n ? 2) n

所以 n ? 2 时不等式成立,而 n ? 1 时不等式显然成立,所以原命题成立。?14 分


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