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高中数学三角函数专题复习

三角函数知识点与常见习题类型解法
1. 任意角的三角函数: (1) 弧长公式: l ? a R (2) 扇形的面积公式: S ? (3) 同角三角函数关系式: ①倒数关系: tan a cot a ? 1 ③平方关系: sin 2 a ? cos2 a ? 1 (4) 诱导公式: (奇变偶不变,符号看象限)k· ? /2+ a 所谓奇偶指的是整数 k 的奇偶性
函 数

R 为圆弧的半径, a 为圆心角弧度数, l 为弧长。

1 lR 2

R 为圆弧的半径, l 为弧长。

②商数关系: tan a ?

sin a , cos a

cot ? a

cos a sin a

x
?a 2? ? a
?
2 ?a

sin x ? sin a ? sin a

cos x cosa cosa
? sin a

tan x ? tan a

cot x

? cot a

? tan a
? cot a

? cot a
? tan a

cosa

2.两角和与差的三角函数: (1)两角和与差公式:

cos(? ? ? ) ? cosa cos ? ? sin a sin ?

s i na(? ? ) ? s i n c o ? ? c o a s i n a s s ?
注:公式的逆用或者变形 .........

tana(a ? ? ) ?

tana ? tan ? 1 ? tana tan ?

(2)二倍角公式:

sin 2a ? 2 sin a cos a
tan 2a ? 2 tan a 1 ? tan 2 a

cos2a ? cos2 a ? sin 2 a ? 1 ? 2 sin 2 a ? 2 cos2 a ? 1
从二倍角的余弦公式里面可得出
2 降幂公式: cos a ?

1 ? cos 2a , 2

sin 2 a ?

1 ? cos 2a 2

(3)半角公式(可由降幂公式推导出) :

sin

a 1 ? cosa a 1 ? cos a sin a 1 ? cos a a 1 ? cosa ?? ? ? , cos ? ? , tan ? ? 2 2 2 2 2 1 ? cos a 1 ? cos a sin a
y ? cos x
(-∞,+∞) [-1,1]

3.三角函数的图像和性质: (其中 k ? z ) y ? sin x 三角函数
定义域 值域 最小正周期 奇偶性 (-∞,+∞) [-1,1]

y ? tan x
x ? k? ?

?
2

(-∞,+∞)

T ? 2?


T ? 2?


T ??


[ 2k? ?

?
2

,2k? ?

?
2

]

[(2k ? 1)? ,2k? ]
单调递增 [(2k? , (2k ? 1)? ] 单调递减

单调性

单调递增
[2k? ?

( k? ?

?
2

, k? ?

?
2

)

?
2

,2k? ?

3? ] 2

单调递增

单调递减 对称性

x ? k? ?

?
2

x ? k?

(k? ,0)
零值点

? (k? ? ,0) 2
x ? k? ?

(

k? ,0 ) 2

x ? k?
x ? k? ?

?
2

x ? k?

?
2

x ? 2k? ,
ymax ? 1 ;

最值点

ymax ? 1
x ? k? ?



?
2

x ? (2k ? 1)? ,
ymin ? ?1

ymin ? ?1

4.函数 y ? A sin(?x ? ? ) 的图像与性质: (本节知识考察一般能化成形如 y ? A sin(?x ? ? ) 图像及性质) (1) 函数 y ? A sin(?x ? ? ) 和 y ? A cos(?x ? ? ) 的周期都是 T ?

2?

?
? ?

(2) 函数 y ? A tan( x ? ? ) 和 y ? A cot( x ? ? ) 的周期都是 T ? ? ? (3) 五点法作 y ? A sin(?x ? ? ) 的简图,设 t ? ?x ? ? ,取 0、

? 3? 、? 、 、 2? 来求相应 x 的值以 2 2

及对应的 y 值再描点作图。 (4) 关于平移伸缩变换可具体参考函数平移伸缩变换,提倡先平移后伸缩。切记每一个变换总是对字 母 x 而言,即图像变换要看“变量”起多大变化,而不是“角变化”多少。 (附上函数平移伸缩变 换): 函数的平移变换: ① y ? f ( x) ? y ? f ( x ? a)(a ? 0) 将 y ? f (x) 图像沿 x 轴向左(右)平移 a 个单位 (左加右减) ② y ? f ( x) ? y ? f ( x) ? b(b ? 0) 将 y ? f (x) 图像沿 y 轴向上(下)平移 b 个单位 (上加下减) 函数的伸缩变换: ① y ? f ( x) ? y ? f ( wx)(w ? 0) 将 y ? f (x) 图像纵坐标不变, 横坐标缩到原来的 短, 0 ? w ? 1伸长) ② y ? f ( x) ? y ? Af ( x)( A ? 0) 将 y ? f (x) 图像横坐标不变,纵坐标伸长到原来的 A 倍( A ? 1

1 倍 w ? 1缩 ( w

伸长, 0 ? A ? 1缩短) 函数的对称变换: ① y ? f ( x) ? y ? f (? x) ) 将 y ? f (x) 图像绕 y 轴翻折 180°(整体翻折) (对三角函数来说:图像关于 x 轴对称) ② y ? f ( x) ? y ? ? f ( x) 将 y ? f (x) 图像绕 x 轴翻折 180°(整体翻折) (对三角函数来说:图像关于 y 轴对称) ③ y ? f ( x) ? y ? f ( x ) 将 y ? f (x) 图像在 y 轴右侧保留, 并把右侧图像绕 y 轴翻折到左侧 (偶函数局 部翻折) ④ y ? f ( x) ? y ? f ( x) 保留 y ? f (x) 在 x 轴上方图像, x 轴下方图像绕 x 轴翻折上去(局部翻动) 5、方法技巧——三角函数恒等变形的基本策略。 (1)常值代换:特别是用“1”的代换,如 1=cos θ +sin θ =tanx·cotx=tan45°等。 2 2 2 2 2 2 (2)项的分拆与角的配凑。如分拆项:sin x+2cos x=(sin x+cos x)+cos x=1+cos x;配凑角:α =(α +β )-β ,β =
2 2

???
2



???
2

等。

(3)降次与升次。 (4)化弦(切)法。 (4)引入辅助角。asinθ +bcosθ = a ? b sin(θ + ? ),这里辅助角 ? 所在象限由 a、b 的符号确
2 2

定, ? 角的值由 tan ? =

b 确定。 a

类题:
1.已知 tanx=2,求 sinx,cosx 的值. 2.求

tan(?120? ) cos(210? ) sin(?480? ) tan(?690? ) sin(?150? ) cos(330? )

的值.

3.若

sin x ? cos x ? 2, ,求 sinxcosx 的值. sin x ? cos x

4.求证:tan2x· 2x=tan2x-sin2x. sin 5.求函数 y ? 2 sin(

x π ? ) 在区间[0,2??]上的值域. 2 6
(2)y=2sinxcosx-(sinx+cosx).

6.求下列函数的值域. (1)y=sin2x-cosx+2;

7.若函数 y=Asin(ωx+φ)(ω>0,φ>0)的图象的一个最高点为 (2, 2 ) ,它到其相邻的最低点之间的图 象与 x 轴交于(6,0),求这个函数的一个解析式. 8.已知函数 f(x)=cos4x-2sinxcosx-sin4x. (Ⅰ)求 f(x)的最小正周期; 数y? (Ⅱ)若 x ? [0, ], 求 f(x)的最大值、最小值.

π 2

1 ? sin x 的值域. 3 ? cos x

1. 已知 tan? ?

2 ,求(1)

cos ? ? sin ? 2 2 ; (2) sin ? ? sin ? . cos? ? 2 cos ? 的值. cos ? ? sin ?

2. 求函数 y ? 1 ? sin x ? cos x ? (sin x ? cos x)2 的值域。 3.已知函数 f ( x) ? 4sin 2 x ? 2sin 2 x ? 2,x ? R 。 (1)求 f ( x ) 的最小正周期、 f ( x ) 的最大值及此时 x 的集合; (2)证明:函数 f ( x ) 的图像关于直线 x ? ? 4. 已知函数 y=

π 对称。 8

1 3 2 cos x+ sinx·cosx+1 (x∈R), 2 2

(1)当函数 y 取得最大值时,求自变量 x 的集合; (2)该函数的图像可由 y=sinx(x∈R)的图像经过怎样的平移和伸缩变换得到?

历年高考综合题 一,选择题
1.(08 全国一 6) y ? (sin x ? cos x)2 ? 1是 A.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为 π 的偶函数 B.最小正周期为 2π 的奇函数 D.最小正周期为 π 的奇函数 ( )

2.(08 全国一 9)为得到函数 y ? cos ? x ? A.向左平移

? ?

π? ? 的图象,只需将函数 y ? sin x 的图像( 3?
π 个长度单位 6



π 个长度单位 6

B.向右平移

C.向左平移

5π 个长度单位 6

D.向右平移

5π 个长度单位 6
( )

3.(08 全国二 1)若 sin ? ? 0 且 tan ? ? 0 是,则 ? 是 A.第一象限角 B. 第二象限角 C. 第三象限角 D. 第四象限角

4.(08 全国二 10) .函数 f ( x) ? sin x ? cos x 的最大值为 A.1 B.

( D.2 (



2

C. 3

5.(08 安徽卷 8)函数 y ? sin(2 x ? A. x ? ?

?
3

) 图像的对称轴方程可能是
C. x ?



?
6

12 ? 6.(08 福建卷 7)函数 y=cosx(x∈R)的图象向左平移 个单位后,得到函数 y=g(x)的图象,则 g(x)的解 2
析式为 A.-sinx B.sinx C.-cosx ( D.cosx ( ) )

B. x ? ?

?
12

?
6

D. x ?

?

7.(08 广东卷 5)已知函数 f ( x) ? (1 ? cos 2 x)sin 2 x, x ? R ,则 f ( x ) 是 A、最小正周期为 ? 的奇函数 C、最小正周期为 ? 的偶函数

? 的奇函数 2 ? D、最小正周期为 的偶函数 2
B、最小正周期为 ( )

8.(08 海南卷 11)函数 f ( x) ? cos 2 x ? 2sin x 的最小值和最大值分别为 A. -3,1 B. -2,2 C. -3,

3 2

D. -2,

9.(08 湖北卷 7)将函数 y ? sin( x ? ? ) 的图象 F 向右平移 轴是直线 x ? A.

?
1

? 个单位长度得到图象 F′,若 F′的一条对称 3
( ) D. ?

3 2

, 则 ? 的一个可能取值是
B. ?

5 ? 12

5 ? 12

C.

11 ? 12

11 ? 12
( )

10.(08 江西卷 6)函数 f ( x) ?

sin x x sin x ? 2sin 2



A.以 4? 为周期的偶函数 C.以 2? 为周期的偶函数

B.以 2? 为周期的奇函数 D.以 4? 为周期的奇函数

11.若动直线 x ? a 与函数 f ( x) ? sin x 和 g ( x) ? cos x 的图像分别交于 M ,N 两点,则 MN 的最大值为 ( A.1 ) B. 2 C. 3 D.2

12.(08 山东卷 10)已知 cos ? ? ?

? ?

π? 4 7π ? ? 3 ,则 sin ? ? ? ? 的值是( ? ? sin ? ? 6? 5 6 ? ?
C. ?



A. ?

2 3 5

B.

2 3 5

4 5

D.

4 5
( )

13.(08 陕西卷 1) sin 330? 等于 A. ?

3 2

B. ?

1 2
2

C.

1 2

D.

3 2
( )

14.(08 四川卷 4) ? tan x ? cot x ? cos x ? A. tan x B. sin x C. cos x D. cot x

15.(08 天津卷 6)把函数 y ? sin x( x ? R) 的图象上所有的点向左平行移动 上所有点的横坐标缩短到原来的 ( ) A. y ? sin ? 2 x ?

? 个单位长度,再把所得图象 3

1 倍(纵坐标不变) 得到的图象所表示的函数是 , 2

? ?

?? ?,x ? R 3?

B. y ? sin ?

? x ?? ? ?,x ? R ?2 6? ?? ? ?,x ? R 3 ?
( )

C. y ? sin ? 2 x ?

? ?

?? ?,x ? R 3?

D. y ? sin ? 2 x ?

? ?

16.(08 天津卷 9)设 a ? sin A. a ? b ? c

2? 5? 2? , b ? cos , c ? tan ,则 7 7 7
C. b ? c ? a D. b ? a ? c

B. a ? c ? b

17.(08 浙江卷 2)函数 y ? (sin x ? cos x)2 ? 1 的最小正周期是 A.





? 2

B. ?

C.

3? 2

D. 2?

18.(08 浙江卷 7)在同一平面直角坐标系中,函数 y ? cos( 交点个数是 A.0 二,填空题 B.1 C.2 (

x 3? 1 ? )( x ? [0, ]) 的图象和直线 y ? 的 2? 2 2 2
) D.4

19.(08 北京卷 9)若角 ? 的终边经过点 P(1 ? 2) ,则 tan 2? 的值为 , 20.(08 江苏卷 1) f ? x ? ? cos ? ? x ?



? ?

??

? ? 的最小正周期为 5 ,其中 ? ? 0 ,则 ? = 6?



21.(08 辽宁卷 16)设 x ? ? 0, ? ,则函数 y ? 22.(08 浙江卷 12)若 sin(

? ?

?? 2?

2sin 2 x ? 1 的最小值为 sin 2 x



?

3 ? ? ) ? ,则 cos 2? ? _________。 2 5

? 23.(08 上海卷 6)函数 f(x)= 3sin x +sin( +x)的最大值是 2 三,解答题 24. (08 四川卷 17)求函数 y ? 7 ? 4sin x cos x ? 4cos2 x ? 4cos4 x 的最大值与最小值。

25. (08 北京卷 15) 已知函数 f ( x) ? sin 2 ? x ? 3 sin ? x sin ? ? x ?

? ?

π? 的最小正周期为 π . (Ⅰ) ?( ? ? 0 ) 2?

求 ? 的值; (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 ?0, ? 上的取值范围. 3

? 2π ? ? ?

26. (08 天津卷 17)已知函数 f ( x) ? 2cos2 ? x ? 2sin ? x cos ? x ? 1( x ? R, ? ? 0 )的最小值正周期是

? . (Ⅰ)求 ? 的值; 2
(Ⅱ)求函数 f ( x ) 的最大值,并且求使 f ( x ) 取得最大值的 x 的集合.

27. (08 安徽卷 17)已知函数 f ( x) ? cos(2 x ?

?

) ? 2sin( x ? ) sin( x ? ) 3 4 4

?

?

(Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期和图象的对称轴方程 (Ⅱ)求函数 f ( x ) 在区间 [?

, ] 上的值域 12 2
x x x cos ? 2 3 sin 2 ? 3 . 4 4 4

? ?

28. (08 陕西卷 17)已知函数 f ( x) ? 2sin (Ⅰ)求函数 f ( x ) 的最小正周期及最值; (Ⅱ)令 g ( x) ? f ? x ?

? ?

π? ? ,判断函数 g ( x) 的奇偶性,并说明理由. 3?


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