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(教师用书)高中数学 3.2.1 空间向量与平行关系课件 新人教版选修2-1_图文

3.2 立体几何中的向量方法 空间向量与平行关系 第 1 课时 ? 教师用书独具演示 ●三维目标 1.知识与技能 能用向量语言表述直线与直线、 直线与平面、 平面 与平面的平行关系, 能用向量方法判断有关直线和平面 平行关系的立体几何问题. 2.过程与方法 通过用向量方法解决立体几何中的平行问题的过 程,体会向量运算的几何意义. 3.情感、态度与价值观 引导学生用联系与转化的观点看问题, 体验在探索 问题的过程中的受挫感和成功感, 培养合作意识和创新 精神, 同时感受数学的形式美与简洁美, 从而激发学习 兴趣. ●重点难点 重点: 用向量方法判断有关直线和平面平行关系问 题. 难点: 空间直角坐标系的正确建立, 空间向量的运 算及其坐标表示; 用向量语言证明立体几何中有关平行 关系的问题. ●教学建议 在“以生为本”理念的指导下, 充分体现课堂教学中 “教师为主导,学生为主体”的教学关系和“以人为本, 以学定教 ” 的教学理念,构建学生主动的学习活动过 程.在教学策略上宜采用“复习引入——推进新课—— 归纳与总结——反思”组成的探究式教学策略, 并使用计算机多媒体作为辅助教具,提高课堂效 率. 本节课难点在于用向量证明平行关系, 所以利用多 媒体帮助分散难点, 更符合学生的认知规律. 同时在教 学中注意关注整个过程和全体学生,“以学生发展为核 心”,充分调动学生积极参与教学过程的每个环节. ●教学流程设计 演示结束 课 标 解 读 1.掌握直线的方向向量、平面的法向 量的概念及求法.(重点) 2.熟练掌握用方向向量、法向量证明 线线、线面、面面间的平行关系.(重 点、难点) 直线的方向向量与平面的法向量 【问题导思】 图 3-2-1 1.如图 3-2-1,直线 l∥m,在直线 l 上取两点 → → A、B,在直线 m 上取两点 C、D,向量AB与CD有怎样 的关系? 【提示】 → → AB∥CD. 2.如图直线 l⊥平面 α,直线 l∥m,在直线 m 上 取向量 n,则向量 n 与平面 α 有怎样的关系? 【提示】 n⊥α. 直线的方向向量是指和这条直线 _______________ 平行或共线的非零 无数 向量,一条直线的方向向量有____________ 个. 方向向量 直线 l⊥α,取直线 l 的_______________ a,则向量 a 叫做平面 α 的法向量. 空间中平行关系的向量表示 设两条不重合的直线 l,m 的方向向量分别 线线 为 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2),则 l a∥b 平行 ∥m?___________ ? (a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2) __________________________ 线面 平行 设 l 的方向向量为 a=(a1,b1,c1),α 的法 a· u 向量为 u=(a2,b2,c2),则 l∥α?________ a1a2+b1b2+c1c2=0 =0?______________________ 设 α,β 的法向量分别为 u=(a1,b1,c1),v 面面 平行 u∥v =(a2,b2,c2),则 α∥β?__________ ? (a1,b1,c1)=k(a2,b2,c2) ____________________________ 求平面的法向量 图 3-2-2 已知 ABCD 是直角梯形,∠ABC=90° ,SA⊥平面 1 ABCD,SA=AB=BC=1,AD= ,试建立适当的坐标 2 系. (1)求平面 ABCD 与平面 SAB 的一个法向量. (2)求平面 SCD 的一个法向量. 【思路探究】 (1)根据图形特点,如何建立坐标 系更方便?(2)怎样求平面的法向量?题中所要求的三 个平面的法向量在求解时方法是否相同? 【自主解答】 以点 A 为原点,AD、 AB、AS 所在的直线分别为 x 轴、y 轴、z 轴,建立如图所示的坐标系,则 A(0,0,0), 1 B(0,1,0),C(1,1,0),D( ,0,0),S(0,0,1). 2 → (1)∵SA⊥平面 ABCD, ∴AS=(0,0,1)是平面 ABCD 的一个法向量. ∵AD⊥AB,AD⊥SA,∴AD⊥平面 SAB, 1 → ∴AD=( ,0,0)是平面 SAB 的一个法向量. 2 1 → → (2)在平面 SCD 中,DC=( ,1,0),SC=(1,1,-1). 2 → 设平面 SCD 的法向量是 n=(x,y,z),则 n⊥DC,n → ⊥SC. ? → ?n· DC=0 所 以 ? → ? SC=0, ?n· ? ?x=-2y ? ? ?z=-y, 1 ? ? x+y=0 得 方 程 组 ?2 ? ?x+y-z=0. ∴ 令 y=-1 得 x=2,z=1,∴n=(2,-1,1). 1.若一个几何体中存在线面垂直关系,则平面的 垂线的方向向量即为平面的法向量. 2.一般情况下,使用待定系数法求平面的法向量, 步骤如下: (1)设出平面的法向量为 n=(x,y,z). (2)找出(求出)平面内的两个不共线的向量 a=(a1,b1,c1),b=(a2,b2,c2). (3)根据法向量的定义建立关于 x,y,z 的方程组 ? a=0, ?n· ? ? b=0. ?n· (4)解方程组,取其中的一个解,即得法向量. 3.在利用上述步骤求解平面的法向量时,方程组 ? a=0, ?n· ? ? b=0 ? n· 有无数多个解,只需给 x,y,z 中的一个变 量赋于一个值, 即可确定平面的一个法向量; 赋的值不 同,所求平面的法向量就不同,但它们是共线向量. 正方体 ABCD-A1B1C1D1 中, E、 F 分别为棱 A1D1、 A1B1 的中点,在如图 3-2-3 所示的空间直角坐标系 中,求: 图 3-2-3 (1)

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