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一道解析几何课本例题探究性学习的实践


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一道解析几何课本例题探究性学习的实践
江 苏 省 太 仓 高 级 中 学 ( 215400) 王 佩 其

探究性学习是一种以发展探究思维为目标, 学科的核心 以 知识为内容,以探究发现为主的学习方式。在中学数学教学 中,引导学生开展探究性学习,对每一个数学教师来说,是 一个谁也不可回避的新课题。本文以现行高中新教材(试验 修 订 本 ·必 修 ) 数 学 第 二 册 ( 上 ) P.118 的 “ 例 3 : 斜 率 为 1 的 直 线 经 过 抛 物 线 y 2 =4x 的 焦 点 且 与 抛 物 线 相 交 于 A 、 B , 求 线 段 AB 的 长 ”的教 学 过 程 设 计 为 例 ,谈 一 谈 如 何 在 例 题 教 学 中 引 导 学 生 开 展 探 究 性 学 习 ,现 将 教 学 过 程 的 设 计 介 绍 如 下 , 供大家参考。 1 分步推进,引导学生探究多解 本 节 课 一 开 始 , 教 师 就 让 学 生 认 真 阅 读 例 3, 并 思 考 如 何 解决以下 3 个问题: ① 求 出 直 线 AB 的 方 程 。 ② 求 出 交 点 A、 B 的 坐 标 。 ③ 如 何 求 线 段 AB 的 长 ? 计 算 AB 长 是 否 一 定 要 具 体 计 算 A、 B 的 坐 标 ? 由 于 创 设 了 一 题 多 解 的 情 境 ,对 于 问 题 ③ ,学 生 中 出 现 了 3 种解题思路: 思 路 1 :先 求 交 点 坐 标 ,然 后 直 接 运 用 两 点 间 的 距 离 公 式 求 线 段 AB 的 长 。 思 路 2 : 根 据 抛 物 线 定 义 , 把 线 段 AF 与 BF 转 化 为 线 段 / AA / 和 BB ( 图 见 教 材 P118 上 的 图 8-22,也 是 下 文 提 到 的“ 题 图”。 ) 思 路 3: 利 用 圆 锥 曲 线 的 弦 长 公 式 。 : 那么,哪种解法最好呢?教师请学生用三种解法分别解之, 并加以比较。经过演算,大家一致认为,思路 1 虽然想起来 很顺,但运算量较大;思路 2 从焦点弦的特殊性入手,是数

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形结合思想的典型应用,是解本题的最佳解法;思路 3 利用 两根之和与两根之积的整体关系进行处理,避免了求交点坐 标,也不失为一种好方法。 以上过程通过创设问题情境,激发了学生的探究欲望, 使他们主动地参与到课堂教学中,做学习的主人,并自主整 和了知识结构,对 3 种解题方法有了一定的认识。 2 辨析深化,探究解法的选择标准 在完成了上述任务的基础上,教师接着提出了下列问题: 问 题 1 : 斜 率 为 1 的 直 线 经 过 抛 物 线 y 2 =2px( p> 0)的 焦 点 ,与 抛 物 线 相 交 于 A、B 两 点 ,且 线 段 AB=8,求 p 的 值 . 问 题 2 : 抛 物 线 y 2 =2px( p> 0)的 焦 点 为 F,AB 为 过 F 的 弦 , 求 证 : 1/ FA +1/ FB= 2/ p. 问 题 1 是 例 3 的 逆 向 问 题 ,由 于 有 了 例 3 的 解 题 体 验 ,学 生 们 不 约 而 同 地 选 择 了 思 路 2 的 解 法 , 得 p=2。 对 于 问 题 2, 意 见 却 不 一 , 有 的 试 图 用 思 路 2 解 决 , 理 由 是 线 段 FA 与 FB 都 是 焦 半 径 , 但 没 能 成 功 ; 有 的 想 采 用 思 路 3, 无 奈 线 段 FA 与 FB 不 是 抛 物 线 的 弦 。学 生 们 陷 入 了 沉 思 。忽 然 ,一 位 学 生 举手说他找到了证法,教师就请他板演: ,A、B 两 点 坐标 证 :设 AB 所 在 的 直 线 为 y=k( x- p/2) 分 别 为 x 1 , 1 ) ( x 2 , 2 ) 于 是 把 y=k x- p/2) 入 y 2 =2px, ( y 、 y , ( 代 得 k 2 x 2 -p(k 2 +2)x+1/4k 2 p 2 =0 由 韦 达 定 理 得 , x 1 +x 2 = p(k 2 +2)/ k 2 ,x 1 x 2 =1/4p 2 . 又 因 为 p> 0, 且 FA= x 1 + p/2, FB= x 2 + p/2, 所 以 1/ FA +1/ FB =1/( x 1 + p/2) +1/( x 2 + p/2) =( x 1 +x 2 +p) / [x 1 x 2 + p/2( x 1 +x 2 ) +1/4p 2 ] =[ p(k 2 +2)/ k 2 +p] / [ 1/4p 2 + p 2 (k 2 +2)/( 2 k 2 ) + 1/4p 2 ] =2/ p. 这一证法, 用了韦达定理, 用了抛物线的焦半径公式, 既 又

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过程简洁明快,受到同学们的一致肯定。 教师质疑: 这一证法无懈可击吗?请大家互相讨论,仔 “ 细推敲。 ” 经 过 片 刻 的 探 讨 ,眼 明 手 快 的 学 生 马 上 提 出 :当 k 不 存 在 时,也要加以证明。 问 题 2 的 设 置 ,给 死 套 解 法 的 学 生 带 来 了 困 惑 ,但 更 给 他 们 提 供 了 反 思 的 素 材 :选 择 解 题 方 法 必 须 具 体 问 题 具 体 分 析 , 死 套 解 法 极 易 走 入“ 死 胡 同 ” ,在 一 味 追 求 巧 解 的 同 时 ,更 要 注重各种解法之间的联系,注重通解通法。 以 上 教 学 中 ,教 师 提 供 材 料 创 设 情 境 ,通 过 讨 论 、探 究 发 现 问 题 ,并 解 决 了 问 题 ,同 时 注 意 培 养 学 生 反 思 的 学 习 习 惯 , 注意培养学生思维的深刻性、灵活性与批判性。 3 改编原题,探究焦点弦的内涵 完 成 了 问 题 1 与 问 题 2, 教 师 让 学 生 探 究 : 如 果 例 3 中 直 线 的 斜 率 情 况 未 知 , 抛 物 线 方 程 的 参 数 p 也 未 知 , 设 A、 B 、 ,那 么 y 1 y 2 的 值 与 参 数 p 两 点 坐 标 分 别 为( x 1 ,y 1 ) ( x 2 ,y 2 ) 有何关系? 由 例 3 解 法 1 中 y 1 与 y 2 的 具 体 数 值 知 ,y 1 y 2 =- 4,而 例 3 中 的 参 数 p 为 2, 于 是 有 的 学 生 猜 想 y 1 y 2 =- 2p, 也 有 学 生 猜 想 y 1 y 2 =- p 2 ,还 有 学 生 猜 想 y 1 y 2 =- p p ,学 生 中 便 出 现 了 以 下 3 个命题: 命 题 1 : 如 果 过 抛 物 线 y 2 =2px 的 焦 点 的 一 条 直 线 和 此 抛 物 线 相 交 , 两 个 交 点 的 纵 坐 标 为 y 1 、 y 2 , 那 么 y 1 y 2 =- 2p. 命 题 2: 如 果 过 抛 物 线 y 2 =2px 的 焦 点 的 一 条 直 线 和 此抛 : 物 线 相 交 , 两 个 交 点 的 纵 坐 标 为 y 1 、 y 2 , 那 么 y 1 y 2 =- p 2 . 命 题 3: 如 果 过 抛 物 线 y 2 =2px 的 焦 点 的 一 条 直 线 和 此抛 : 物 线 相 交 , 两 个 交 点 的 纵 坐 标 为 y 1 、 y 2 , 那 么 y 1 y 2 =- p p . 究 竟 谁 对 谁 错 ,还 需 理 论 上 严 格 证 明 。于 是 教 师 要 求 每 位 学生对自己的猜想进行证明。经过几分钟的论证,持命题 2 观点的学生获得了成功,他们证明如下:

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证 : 当 斜 率 存 在 时 , 设 过 焦 点 的 直 线 为 y=k( x- p/2) (k ≠ 0), 即 x=1/ky+p/2 将 上 式 代 入 y 2 =2px, 得 y 2 =2p( 1/ky+p/2) 去分母后整理得 k y 2 - 2p y- k p 2 =0 设 这 个 方 程 的 两 根 为 y 1 、 y 2 ,则 有 y 1 y 2 =- k p 2 / k=- p 2 当 斜 率 不 存 在 时 , y 1 = p, y 2 =- p, 仍 有 y 1 y 2 =- p 2 . 故命题 2 成立。 俗话说, 吃一堑,长一智” 在上述证明中学生摆脱了 “ 。 “陷阱” ,注 意 到 了 当 直 线 斜 率 不 存 在 时 的 情 况 的 讨 论 ,同 时 证明中再次渗透了分类讨论的数学思想。 经 过 学 生 们 的 自 行 探 究 , 焦 点 弦 的 一 个 内 涵 , 即 y1 y2 = - p 2 被“ 挖 ”了 出来 ,而 此 命 题 正 是 课 本 P.119 上 习 题 8.5 中 的第 7 题,由学生作业改为课堂探究,学生对焦点弦的这一 性质有了一个更深刻的认识,与此同时也进一步培养了他们 思维的严密性。 4 着眼题图,激励学生编题创新 我 们 知 道 ,例 3 的 题 图 极 具 典 型 性 ,图 中 蕴 涵 了 许 多 重 要 结论,有待于学生去发现。为了培养学生的直觉思维,教师 请学生仔细观察例 3 的题图,并回答下列问题: ① 如 果 连 结 FA / 和 FB / , 那 么 它 们 的 位 置 关 系 如 何 ? ② 设 弦 AB 的 中 点 为 M, 点 M 在 准 线 上 的 射 影 为 M / , 那 么 线 段 AM / 与 BM / 的 位 置 关 系 又 如 何 ? ③ A、O、B / 三 点 有 何 特 殊 的 位 置 关 系 ? A / 、O、B 三 点 呢 ? 由 于 创 设 了 探 究 情 境 ,他 们 很 快 发 现 了 图 中 各 种 特 殊 的 位 置关系。接着教师要求学生根据自己的观察结果编题,并在 课堂上交流。 编 题 可 不 是 一 件 容 易 的 事 ,要 求 学 生 根 据 题 设 与 结 论 字 字 斟酌,句句推敲,但他们还是编得相当成功。 对 照 问 题 ① , 学 生 们 编 出 的 题 目 是 “ 过 抛 物 线 y 2 =2px( p > 0) 的 焦 点 F 的 直 线 和 抛 物 线 相 交 于 A、 B 两 点 , A / 、 B / 是

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A、 B 两 点 在 准 线 上 的 射 影 , 求 证 ∠ A / FB / =90°” . 对 照 问 题 ② ,学 生 们 编 出 的 题 目 是“ A / 、B / 、M / 分 别 是 抛 物 线 y 2 =2px( p> 0)的 焦 点 弦 AB 的 两 个 及 其 中 点 M 在 抛 物 线 准 线 上 的 射 影 ,求 证 A M / ⊥ B M / 。 ”也 有 学 生 提 出 了 这 样一 个命题: 以抛物线的焦点弦为直径的圆必与抛物线的准线 “ 相切。 ” 对 照 问 题 ③ , 有 些 学 生 编 出 的 题 目 是 “ 过 抛 物 线 y 2 =2px ( p> 0) 的 焦 点 F 的 直 线 和 抛 物 线 相 交 于 A、 B 两 点 , A / 、 ” B / 是 A、 B 两 点 在 准 线 上 的 射 影 , 求 证 A、 O、 B / 三 点 共 线 。 有些学生编出的题目是“过抛物线焦点的一条直线与它交于 A、B,经 过 点 A 和 抛 物 线 顶 点 的 直 线 交 准 线 于 B / ,求 证 直 线 ” BB / 平 行 于 抛 物 线 的 对 称 轴 。 还 有 些 学 生 编 出 的 题 目 是 “ 过 抛 物 线 y 2 =2px( p> 0)的 焦 点 F 的 直 线 和 抛 物 线 相 交 于 A、B 两 点 , 点 B / 在 抛 物 线 准 线 上 , 且 BB / ∥ x 轴 , 求 证 直 线 AB / 经 过 点 O。 ” 紧 接 着 ,教 师 对 他 们 编 的 题 逐 一 加 以 点 评 ,并 指 出 :同 学 们 根 据 问 题 ① 编 的 题 就 是 课 本 P133 上 复 习 参 考 题 八 B 组 的 第 2 题;根据问题②得到的命题是抛物线焦点弦的又一大特性; 而 根 据 问 题 ③ 编 的 题 就 是 2001 年 的 全 国 高 考 题 ,或 者 说 是 高 考 题 的“ 翻 版 ” 。原 来 高 考 题 并 不 神 秘 ,就 在 我 们 的 探 求 之 中 , 学 生 们 兴 趣 盎 然 ,他 们 深 深 感 受 到 了 出 题 的 乐 趣 ,与 此 同 时 , 也激发了他们学习的主动性与积极性,在探究中培养了他们 的创新能力。 最 后 ,教 师 趁 热 打 铁 布 置 作 业 ,就 请 同 学 们 课 后 完 成 自 己 编 的 题 目 ,要 求 一 题 多 解 ,允 许 相 互 探 讨 。至 此 ,借 助 于 例 3 的探究性学习,一类抛物线焦点弦问题得到了圆满的解决。 ( 本 文 发 表 于 华 东 师 范 大 学 《 数 学 教 学 》 2002 年 第 4 期 )


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