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《正切函数的图像与性质》 教案及说明


课题:正切函数的图像与性质 教材:上海教育出版社高中一年级第二学期(试用本) 第六章第二节 教学目标 (1)理解正切函数的定义及正切函数的图像特征,研究并掌握正切函数的基本性质. (2)在探究正切函数基本性质和图像的过程中,渗透数形结合的思想,形成发现问题、提 出问题、解决问题的能力,养成良好的数学学习习惯. (3)在解决问题的过程中,体验克服困难取得成功的喜悦. 教学重点 掌握正切函数的基本性质. 教学难点 正切函数的单调性及证明. 教学方法 教师启发讲授,学生积极探究. 教学手段 计算机辅助. 教学过程 一、 设置疑问,引入新课 1、正切函数的定义 有同学,类比正弦函数、余弦函数的定义,定义了一个正切函数: 对于任意一个实数 x ,都有唯一确定的值 tan x 与它对应,按照这个对应法则所建立的 函数,表示为 y ? tan x ,叫做正切函数. 大家认为这个定义是否完善? 1 强调: x ? k? ? ? 2 ,k ?Z . (设计意图: x ? k? ? 解不能取 k? ? ? 2 , k ? Z ,是学生容易出错的地方,通过学生之间的自我纠错,理 ? 2 , k ? Z 的理由) 今天我们就要研究正切函数 y ? tan x ( x ? k? ? 2、作函数图像的常用的方法是什么? (1)描点法是作函数图像最基本的方法; (2)利用基本初等函数图像的变换作图. 大家认为应该选择哪种方法呢? 学生的回答会选择(1) . ? 2 , k ? Z )的图像与性质. 教师引导:描点应该结合函数的性质,描关键点、特殊点. 所以,首先研究函数的基本性质. 二、 主动探究,解决问题 (一)利用定义,研究函数的性质 学生自主研究探索正切函数的性质 1、 定义域: ? x | x ? R, x ? k? ? 学生可以迅速解决. 2、 值域:R 请学生回答,并讲清楚理由,从而引出对正切线的复习. 复习正切线: ? ? ? ? ,k ?Z?. 2 ? 正切线是角 x 与 tanx 关系的直观体现,正切函数的性质融于其中. 3、 奇偶性:奇函数. 学生会利用 tan(? x) ? ? tan x 迅速做出判断. 2 问:该函数是偶函数吗? (可举反例说明不是偶函数) 4、 周期性: ? 是最小正周期. 学生会利用 tan(? ? x) ? tan x ,得到 ? 是函数的周期. 教师提问:能否说明 ? 是最小正周期? 引导学生思考能否利用周期函数的定义证明呢? 反证法: 假设存在 T0 (0 ? T0 ? ? ) 是 y ? tan x 的周期,则 ?x ? ? x | x ? R, x ? k? ? 都有 tan( x ? T0 ) ? tan x .取 x ? 0 ,则 tan T0 ? tan 0 ? 0 . ? ? ? ? ,k ?Z? 2 ? ? T0 ? k? , k ? Z . ?0 ? T0 ? ? , ?0 ? k ? 1 ,这与 k ? Z 矛盾. 从而, ? 是正切函数的最小正周期. 5、 单调性:函数在整个定义域上既不是增函数也不是减函数. 有学生可能会在正切线的复习中,认为是个增函数. 若学生这样回答,则可以请同学思考,是否正确?如何说明? 有学生可能说因为是周期函数,所以不是单调函数,就请同学继续思考,周期函数不 是单调函数的原因. (举反例: x1 ? ? 4 , x2 ? 5? , x1 ? x2 , tan x1 ? tan x2 .这与单调性的定义矛盾)

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