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《正切函数的图像与性质》 教案及说明

课题:正切函数的图像与性质 教材:上海教育出版社高中一年级第二学期(试用本) 第六章第二节 教学目标 (1)理解正切函数的定义及正切函数的图像特征,研究并掌握正切函数的基本性质. (2)在探究正切函数基本性质和图像的过程中,渗透数形结合的思想,形成发现问题、提 出问题、解决问题的能力,养成良好的数学学习习惯. (3)在解决问题的过程中,体验克服困难取得成功的喜悦. 教学重点 掌握正切函数的基本性质. 教学难点 正切函数的单调性及证明. 教学方法 教师启发讲授,学生积极探究. 教学手段 计算机辅助. 教学过程 一、 设置疑问,引入新课 1、正切函数的定义 有同学,类比正弦函数、余弦函数的定义,定义了一个正切函数: 对于任意一个实数 x ,都有唯一确定的值 tan x 与它对应,按照这个对应法则所建立的 函数,表示为 y ? tan x ,叫做正切函数. 大家认为这个定义是否完善? 1 强调: x ? k? ? ? 2 ,k ?Z . (设计意图: x ? k? ? 解不能取 k? ? ? 2 , k ? Z ,是学生容易出错的地方,通过学生之间的自我纠错,理 ? 2 , k ? Z 的理由) 今天我们就要研究正切函数 y ? tan x ( x ? k? ? 2、作函数图像的常用的方法是什么? (1)描点法是作函数图像最基本的方法; (2)利用基本初等函数图像的变换作图. 大家认为应该选择哪种方法呢? 学生的回答会选择(1) . ? 2 , k ? Z )的图像与性质. 教师引导:描点应该结合函数的性质,描关键点、特殊点. 所以,首先研究函数的基本性质. 二、 主动探究,解决问题 (一)利用定义,研究函数的性质 学生自主研究探索正切函数的性质 1、 定义域: ? x | x ? R, x ? k? ? 学生可以迅速解决. 2、 值域:R 请学生回答,并讲清楚理由,从而引出对正切线的复习. 复习正切线: ? ? ? ? ,k ?Z?. 2 ? 正切线是角 x 与 tanx 关系的直观体现,正切函数的性质融于其中. 3、 奇偶性:奇函数. 学生会利用 tan(? x) ? ? tan x 迅速做出判断. 2 问:该函数是偶函数吗? (可举反例说明不是偶函数) 4、 周期性: ? 是最小正周期. 学生会利用 tan(? ? x) ? tan x ,得到 ? 是函数的周期. 教师提问:能否说明 ? 是最小正周期? 引导学生思考能否利用周期函数的定义证明呢? 反证法: 假设存在 T0 (0 ? T0 ? ? ) 是 y ? tan x 的周期,则 ?x ? ? x | x ? R, x ? k? ? 都有 tan( x ? T0 ) ? tan x .取 x ? 0 ,则 tan T0 ? tan 0 ? 0 . ? ? ? ? ,k ?Z? 2 ? ? T0 ? k? , k ? Z . ?0 ? T0 ? ? , ?0 ? k ? 1 ,这与 k ? Z 矛盾. 从而, ? 是正切函数的最小正周期. 5、 单调性:函数在整个定义域上既不是增函数也不是减函数. 有学生可能会在正切线的复习中,认为是个增函数. 若学生这样回答,则可以请同学思考,是否正确?如何说明? 有学生可能说因为是周期函数,所以不是单调函数,就请同学继续思考,周期函数不 是单调函数的原因. (举反例: x1 ? ? 4 , x2 ? 5? , x1 ? x2 , tan x1 ? tan x2 .这与单调性的定义矛盾) 4 对每一个 k ? Z ,在开区间 ? k? ? ? ? ? 2 , k? ? ?? ? 内,函数单调递增. 2? (可以先作图,通过图观察得到结论,然后证明) (二)结合性质,作出函数的图像 (1)根据正切函数的周期性,我们可以先画出一个合适的、长度为 ? 的区间上的图像, 选择哪一个呢? 选择区间 ? ? ? ? ?? , ? ;简单说明选择的理由. ? 2 2? 3 (2)借助于正切线,描点,然后用光滑的曲线顺次连接,得到函数在 ? ? ? ? ?? , ? 上的图像. ? 2 2? (3)根据正切函数的周期性,把上述图像向左、右扩展,得到正切函数 y ? tan x ( x ? R且x ? k? ? ? 2 , k ? Z ) 的图像. 5 4 3 2 1 -8 -6 -2 ? - 3? 2 -4 - 5? 4 -? - 3? 4 -2 - ? 2 - ? 4 O -1 ? 4 ? 2 2 3? 4 ? 4 5? 3? 2 7? 4 6 8 4 2? -2 -3 -4 -5 -6 -7 -8 (三)观察图像,进一步研究性质 请同学们认真观察正切函数的图像,发现有何特征? (正切函数的图像是它的性质的直观表现) 1、正切函数的图像是被相互平行的直线 x=k?+ 曲线组成的. 2、对每一个 k ? Z ,在开区间 ? k? ? (同学思考,完成证明) 3、正切函数的图像关于原点对称; (问:还有其他的对称中心吗?) ? ,k∈Z 所隔开的无穷多支形状完全相同的 2 ? ? ? 2 , k? ? ?? ? 内,函数单调递增. 2? 三、 通过练习,巩固基础 例 1.已知函数 y=tanx, (1)若 x ? [? ? ? , ] ,求 y 的取值范围; 3 4 (2)若 x ? ?0, ? ? ? ?? ? ? ? ? , ? ? ,求 y 的取值范围. ? 2? ?2 ? 说明: 4 (1) 利用函数在区间 [ ? ? ? , ] 上单调递增得到答案. 3 4 (2) 把 y=tanx 在区间 ?0, 数 y ? tan x ? ? ? ?? ? ? ? ? , ? ? 上的图像不断向左、右扩展,也可得到正切函

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