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【2014-2015学年高中数学(人教A版,选修2-2)练习:3章综合检测


第三章综合检测
时间 120 分钟,满分 150 分。 一、选择题(本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中 只有一个是符合题目要求的) 1.(2014· 浙江理,2)已知 i 是虚数单位,a、b∈R,则“a=b=1”是“(a+bi)2=2i”的 ( ) A.充分不必要条件 C.充分必要条件 [答案] A [解析] 本题考查充分条件、必要条件及复数的运算,当 a=b=1 时,(a+bi)2=(1+i)2 =2i,反之,(a+bi)2=a2-b2+2abi=2i,则 a2-b2=0,2ab=1,解 a=1,b=1 或 a=-1, b=-1,故 a=1,b=1 是(a+bi)2=2i 的充分不必要条件,选 A. - 2.已知复数 z1=3+4i,z2=t+i,且 z1· z 2 是实数,则实数 t 等于( 3 A. 4 4 C.- 3 [答案] A - - [解析] z1· z 2=(3+4i)(t-i)=(3t+4)+(4t-3)i.因为 z1· z 2 是实数,所以 4t-3=0,所 3 以 t= .因此选 A. 4 3 . (2014· 长安一中、高新一中、交大附中、师大附中、西安中学一模 ) 已知复数 z = i+i2+i3+?+i2013 ,则复数 z 在复平面内对应的点位于( 1+i A.第一象限 C.第三象限 [答案] A i n=4k+1, ? ?-1 n=4k+2, ∵i =? -i n=4k+3, ? ?1 n=4k,
n

B.必要不充分条件 D.既不充分也不必要条件

)

4 B. 3 3 D.- 4

)

B.第二象限 D.第四象限

[解析]

k∈Z,∴i+i2+i3+?+i2013=503×(i+i2+i3+

i4)+i2013=503×0+i=i, i?1-i? 1+i i 1 1 ∴z= = = ,在复平面内的对应点( , )在第一象限. 2 2 2 1+i ?1+i??1-i?

1 3 4.(2014· 东北三省三校联考)已知复数 z=- + i,则 z +|z|=( 2 2 1 3 A.- - i 2 2 1 3 C. + i 2 2 [答案] D 1 3 1 3 [解析] 因为 z=- + i,所以 z +|z|=- - i+ 2 2 2 2 1 3 B.- + i 2 2 1 3 D. - i 2 2

)

1 3 1 3 ?- ?2+? ?2= - i. 2 2 2 2 )

3π 5π? 5.若 θ∈? ? 4 , 4 ?,则复数(cosθ+sinθ)+(sinθ-cosθ)i 在复平面内所对应的点在( A.第一象限 C.第三象限 [答案] B 3π 5π? [解析] θ∈? ? 4 , 4 ?时, sinθ+cosθ<0,sinθ-cosθ>0, 故对应点(cosθ+sinθ,sinθ-cosθ)在第二象限. B.第二象限 D.第四象限

3π 5π? [点评] 由于 θ∈? ? 4 , 4 ?时,据选项知,此复数对应点只能在某一象限,∴取 θ=π 检 验知,对应点在第二象限. z1 6.已知复数 z1=m+2i,z2=3-4i,若 为实数,则实数 m 的值为( z2 8 A. 3 8 C.- 3 [答案] D [解析] = z1 m+2i ?m+2i??3+4i? = = z2 3-4i ?3-4i??3+4i? 3 B. 2 3 D.- 2 )

3m-8+?6+4m?i 为实数, 25

3 所以 6+4m=0?m=- ,故选 D. 2 7.若 z=cosθ+isinθ(i 为虚数单位),则使 z2=-1 的 θ 值可能是( π A. 6 π C. 3 [答案] D π B. 4 π D. 2 )

? ?cos2θ=-1, [解析] ∵z2=cos2θ+isin2θ=-1,∴? ?sin2θ=0. ?

∴2θ=2kπ+π (k∈Z), π ∴θ=kπ+ .令 k=0 知,D 正确. 2 8.若关于 x 的方程 x2+(1+2i)x+3m+i=0 有实根,则实数 m 等于( 1 A. 12 1 C.- 12 [答案] A [解析] 设方程的实数根为 x=a(a 为实数), 则 a2+(1+2i)· a+3m+i=0,
2 ? ?a +a+3m=0, ∴? ∴ ?2a+1=0, ?

)

1 B. i 12 1 D.- i 12

?a=-2, ? 1 ?m=12.

1

故选 A.

y 9.已知复数 z=(x-2)+yi(x、y∈R)在复平面内对应的向量的模为 3,则 的最大值是 x ( ) A. 3 2 B. 3 3

1 C. 2 [答案] D [解析]

D. 3

因为|(x-2)+yi|= 3,所以(x-2)2+y2=3,所以点(x,y)在

y 以 C(2,0)为圆心,以 3为半径的圆上,如图,由平面几何知识知- 3≤ x ≤ 3. a+i 10.(2014· 河北衡水中学模拟)设 a∈R,i 是虚数单位,则“a=1”是“ 为纯虚数” a-i 的( ) A.充分不必要条件 C.充要条件 [答案] A 1+i ?1+i?2 [解析] 当 a=1 时, = =i 为纯虚数. 2 1-i 当 a+i ?a+i?2 a2-1+2ai = = 为纯虚数时, a-i a2+1 a2+1 B.必要不充分条件 D.既不充分又不必要条件

a2=1 即 a=± 1,故选 A. a 11.已知复数 a=3+2i,b=4+xi(其中 i 为虚数单位,x∈R),若复数 ∈R,则实数 x b 的值为( A.-6 8 C. 3 [答案] C [解析] 8-3x a 3+2i ?3+2i??4-xi? 12+2x ? 8-3x ? 8 = = = +? i∈R,∴ =0,∴x= . 2?· b 4+xi 3 16+x2 16+x2 ?16+x ? 16+x2 ) ) B.6 8 D.- 3

12.设 z=(2t2+5t-3)+(t2+2t+2)i,t∈R,则以下结论正确的是( A.z 对应的点在第一象限 C. z 对应的点在实轴的下方 [答案] C [解析] ∵t2+2t+2=(t+1)2+1>0, ∴z 对应的点在实轴的上方. 又∵z 与 z 对应的点关于实轴对称. ∴C 项正确. B.z 一定不为纯虚数 D.z 一定为实数

二、填空题(本大题共 4 个小题,每小题 4 分,共 16 分,把正确答案填在题中横线上) 1 1 13.已知 x+ =-1,则 x2014+ 2014的值为________. x x [答案] -1 1 [解析] ∵x+ =-1,∴x2+x+1=0. x 1 3 ∴x=- ± i,∴x3=1. 2 2 ∵2014=3×671+1,∴x2014=x, ∴x2014+ 1 1 =x+ =-1. x2014 x

14.已知复数 z1=cosα+isinα,z2=cosβ+isinβ,则复数 z1· z2 的实部是________ [答案] cos(α+β) [解析] z1· z2=(cosα+isinα)(cosβ+isinβ) cosαcosβ-sinαsinβ+(cosαsinβ+sinαcosβ)i =cos(α+β)+sin(α+β)i 故 z1· z2 的实部为 cos(α+β). 15.若(3-10i)y+(-2+i)x=1-9i,则实数 x、y 的值分别为________.

[答案] x=1,y=1 [解析] 原式可以化为 (3y-2x)+(x-10y)i=1-9i, 根据复数相等的充要条件,有
?3y-2x=1, ?x=1, ? ? ? 解得? ? ? ?x-10y=-9. ?y=1.

16.设 θ∈[0,2π],当 θ=________时,z=1+sinθ+i(cosθ-sinθ)是实数. [答案] π 5 或 π 4 4

[解析] 本题主要考查复数的概念. z 为实数, 则 cosθ=sinθ, 即 tanθ=1.因为 θ∈[0,2π], π 5 所以 θ= 或 π. 4 4 三、解答题(本大题共 6 个大题,共 74 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 17.(本题满分 12 分)(2014· 郑州网校期中联考)已知复数 z=(2m2-3m-2)+(m2-3m+ 2)i. (1)当实数 m 取什么值时,复数 z 是:①实数;②纯虚数; z2 (2)当 m=0 时,化简 . z+5+2i [解析] (1)①当 m2-3m+2=0 时,即 m=1 或 m=2 时,复数 z 为实数.
?2m2-3m-2=0, ? ②若 z 为纯虚数,则? 2 ?m -3m+2=0, ?

1 ? ?m=-2或m=2, 1 解得? ∴m=- . 2 ? ?m≠1且m≠2, 1 即 m=- 时,复数 z 为纯虚数. 2 (2)当 m=0 时,z=-2+2i, -8i -8i?3-4i? z2 32 24 = = =- - i. 25 25 25 z+5+2i 3+4i 18. (本题满分 12 分)已知复数 x2+x-2+(x2-3x+2)i(x∈R)是复数 4-20i 的共轭复数, 求实数 x 的值. [解析] 因为复数 4-20i 的共轭复数为 4+20i,由题意得 x2+x-2+(x2-3x+2)i=4+ 20i, 根据复数相等的充要条件,得
?x2+x-2=4, ① ? ? 2 ? ?x -3x+2=20. ②

方程①的解为 x=-3 或 x=2. 方程②的解为 x=-3 或 x=6. 所以实数 x 的值为-3. 19.(本题满分 12 分)(2014· 洛阳市高二期中)(1)已知复数 z 在复平面内对应的点在第四 - 象限,|z|=1,且 z+ z =1,求 z; 5m 2 (2)已知复数 z= -(1+5i)m-3(2+i)为纯虚数,求实数 m 的值. 1-2i [解析] (1)设 z=a+bi(a、b∈R),
?a2+b2=1, ? 由题意得? ? ?2a=1.

1 3 解得 a= ,b=± . 2 2 ∵复数 z 在复平面内对应的点在第四象限,∴b=- 1 3 ∴z= - i. 2 2 (2)z= 5m2 -(1+5i)m-3(2+i)=(m2-m-6)+(2m2-5m-3)i,依题意,m2-m-6=0, 1-2i 3 . 2

解得 m=3 或-2. ∵2m2-5m-3≠0.∴m≠3. ∴m=-2. 1 20.(本题满分 12 分)虚数 z 满足|z|=1,z2+2z+ <0,求 z. z [解析] 设 z=x+yi (x、y∈R,y≠0),∴x2+y2=1. 1 1 则 z2+2z+ =(x+yi)2+2(x+yi)+ z x+yi =(x2-y2+3x)+y(2x+1)i. 1 ∵y≠0,z2+2z+ <0, z
?2x+1=0, ① ? ∴? 2 2 ? ?x -y +3x<0, ②

又 x2+y2=1.

③ 1

?x=-2, 由①②③得 ? 3 ?y=± 2 .

1 3 ∴z=- ± i. 2 2

5 21.(本题满分 12 分)满足 z+ 是实数,且 z+3 的实部与虚部是相反数的虚数 z 是否存 z

在?若存在,求出虚数 z,若不存在,请说明理由. [解析] 存在. 设虚数 z=x+yi(x、y∈R,且 y≠0). 5y 5 5 5x z+ =x+yi+ =x+ 2 2+?y-x2+y2?i. z ? x+yi x +y ? 5y ? ?y-x2+y2=0, 由已知得? ? ?x+3=-y.
2 2 ? ? ? ?x +y =5, ?x=-1, ?x=-2, ∵y≠0,∴? 解得? 或? ?x+y=-3. ? ?y=-1. ? ?y=-2, ?

∴存在虚数 z=-1-2i 或 z=-2-i 满足以上条件. 22.(本题满分 14 分)将一颗质地均匀的正方体骰子(六个面的点数分别为 1、2、3、4、 5、6)先后抛掷两次,记第一次出现的点数为 a,第二次出现的点数为 b. (1)设复数 z=a+bi(i 为虚数单位),求事件“z-3i 为实数”的概率; a-b+2≥0, ? ? (2)求点 P(a,b)落在不等式组?0≤a≤4, ? ?b≥0.

表示的平面区域内(含边界)的概率.

[解析] (1)z=a+bi(i 为虚数单位),z-3i 为实数,则 a+bi-3i=a+(b-3)i 为实数, 则 b=3. 1 依题意得 b 的可能取值为 1、2、3、4、5、6,故 b=3 的概率为 . 6 1 即事件“z-3i 为实数”的概率为 . 6 (2)连续抛掷两次骰子所得结果如下表: 1 1 2 3 4 5 6 (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 2 (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) 3 (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) 4 (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) 5 (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) 6 (1,6) (2,6) (3,6) (4,6) (5,6) (6,6)

由上表知,连续抛掷两次骰子共有 36 种不同的结果. 不等式组所表示的平面区域如图中阴影部分所示(含边界).

由图知, 点 P(a, b)落在四边形 ABCD 内的结果有: (1,1)、 (1,2)、 (1,3)、 (2,1)、 (2,2)、 (2,3)、 (2,4)、(3,1)、(3,2)、(3,3)、(3,4)、(3,5)、(4,1)、(4,2)、(4,3)、(4,4)、(4,5)、(4,6),共 18 种. 18 1 所以点 P(a,b)落在四边形 ABCD 内(含边界)的概率为 P= = . 36 2

- z - - - 1.设 z 的共轭复数为 z ,若 z+ z =4,z· z =8,则 等于( z A.i C.± 1 [答案] D B.-i D.± i

)

? ? ?2a=4, ?a=2, - [解析] 设 z=a+bi(a,b∈R),则 z =a-bi,由条件可得? 2 2 解得? ?a +b =8. ?b=± 2. ? ?

?z=2+2i, ?z=2-2i, 因此?- 或?- ? z =2-2i, ? z =2+2i.
- ?1-i?2 -2i z 2-2i 1-i 所以 = = = = =-i, z 2+2i 1+i ?1+i??1-i? 2 或 - ?1+i?2 z 2+2i 1+i 2i = = = = =i, z 2-2i 1-i ?1-i??1+i? 2

- z 所以 =± i. z m-2i 2.复数 z= (m∈R,i 为虚数单位)在复平面上对应的点不可能位于( 1+2i A.第一象限 C.第三象限 [答案] A m-2i ?m-2i??1-2i? 1 1 [解析] z= = = [(m-4)-2(m+1)i],其实部为 (m-4),虚部为- 5 1+2i ?1+2i??1-2i? 5 2 (m+1), 5 B.第二象限 D.第四象限 )

? ? ?m-4>0, ?m>4, 由? 得? 此时无解.故复数在复平面上对应的点不可能位于第一 ?-2?m+1?>0. ? ? ?m<-1.

象限. 3.已知 i 为虚数单位,a 为实数,复数 z=(1-2i)(a+i)在复平面内对应的点为 M,则 1 “a> ”是“点 M 在第四象限”的( 2 A.充分而不必要条件 C.充要条件 [答案] C [解析] z=(1-2i)(a+i)=a+2+(1-2a)i,所以复数 z 在复平面内对应的点 M 的坐标 1 为(a+2,1-2a),所以点 M 在第四象限的充要条件是 a+2>0 且 1-2a<0,解得 a> ,故选 2 C. 1 4.设 z=log2(1+m)+ilog (3-m)(m∈R). 2 (1)若 z 在复平面内对应的点在第三象限,求 m 的取值范围; (2)若 z 在复平面内对应的点在直线 x-y-1=0 上,求 m 的值. [解析] (1)由已知,得 log ?1+m?<0, ? ? 2 ? 1 ? ?log2?3-m?<0, 解①得-1<m<0. 解②得 m<2. 故不等式组的解集为{x|-1<m<0}, 因此 m 的取值范围是{x|-1<m<0}. 1 (2)由已知得,点(log2(1+m),log (3-m))在直线 x-y-1=0 上, 2 1 即 log2(1+m)-log (3-m)-1=0, 2 整理得 log2(1+m)(3-m)=1. 从而(1+m)(3-m)=2,即 m2-2m-1=0, 解得 m=1± 2,且当 m=1± 2时都能使 1+m>0,且 3-m>0. 故 m=1± 2. - - - - 5.设 z1、z2∈C,A=z1· z 2+ z 1· z2,B=z1· z 1+z2· z 2,问 A 与 B 是否可以比较大小? 为什么? [解析] 设 z1=a+bi,z2=c+di(a、b、c、d∈R), ① ② ) B.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件

- - 则 z 1=a-bi, z 2=c-di, - ∴A=z1·z2 +z2· z1 =(a+bi)(c-di)+(c+di)(a-bi) =ac-adi+bci-bdi2+ac-bci+adi-bdi2 =2ac+2bd∈R, - - B=z1· z 1+z2· z 2=(a+bi)(a-bi)+(c+di)(c-di)=a2+b2+c2+d2∈R, ∴A 与 B 可以比较大小.


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