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2014届高三数学冲刺高考真题训练6(文)


2014 届 高 三 数 学 冲 刺 高 考 真 题 训 练 6( 文 )
一、填空题(本大题共有 14 题,满分 56 分)考生应在答题纸相应编号的空格内直 接填写结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分. x ? 0 的解为 1.不等式 . 2x ?1
2.在等差数列 ?an ? 中,若 a1 ? a2 ? a3 ? a4 ? 30 ,则 a2 ? a3 ? . .

2 2 3.设 m ? R , m ? m ? 2 ? m ? 1 i 是纯虚数,其中 i 是虚数单位,则 m ?

?

?

4.若

x 2 x y ?0, ? 1 ,则 x ? y ? 1 1 1 1



5.已知 ?ABC 的内角 A 、 B 、 C 所对的边分别是 a , b , c .若 a ? ab ? b ? c ? 0 ,则角
2 2 2

(结果用反三角函数值表示) . 6.某学校高一年级男生人数占该年级学生人数的 40%.在一次考试中,男、女生平均分数分 别为 75、80,则这次考试该年级学生平均分数为 .

C 的大小是

a? ? 7 7.设常数 a ? R .若 ? x 2 ? ? 的二项展开式中 x 项的系数为-10,则 a ? x? ?
8.方程
x

5



9 ? 1 ? 3x 的实数解为 . 3 ?1 1 9.若 cos x cos y ? sin x sin y ? ,则 cos ? 2x ? 2 y ? ? . 3 10.已知圆柱 ? 的母线长为 l ,底面半径为 r , O 是上地面圆心, A 、 B 是下底面圆周上两个 π 1 不同的点, BC 是母线,如图.若直线 OA 与 BC 所成角的大小为 ,则 ? . 6 r
11.盒子中装有编号为 1,2,3,4,5,6,7 的七个球,从中任意取出两个,则这两个球的编号之积为偶 数的概率是 (结果用最简分数表示) . 12.设 AB 是椭圆 ? 的长轴,点 C 在 ? 上,且 ?CBA ? 两个焦点之间的距离为 13.设常数 a ? 0 ,若 9 x ? .

π .若 AB ? 4 , BC ? 2 ,则 ? 的 4

a2 ? a ? 1对一切正实数 x 成立,则 a 的取值范围为 x



14. 已知正方形 ABCD 的边长为 1. 记以 A 为起点, 其余顶点为终点的向量分别为 a1 、 a2 、a3 ; 以 C 为起点,其余顶点为终点的向量分别为 c1 、 c2 、 c3 .若 i, j, k , l ?? 1,2,3? 且 i ? j, k ? l , 则 ai ? a j ? ck ? cl 的最小值是

?

??

?



1

二、选择题(本大题共有 4 题,满分 20 分)每题有且只有一个正确答案,考生应在答题纸的相 应编号上,将代表答案的小方格涂黑,选对得 5 分,否则一律得零分. 15.函数 f ? x ? ? x2 ?1? x ? 1? 的反函数为 f ?1 ? x ? ,则 f ?1 ? 2 ? 的值是( (A) 3 (B) ? 3 (C) 1 ? 2 (D) 1 ? 2 )

16.设常数 a ? R ,集合 A ? x | ? x ?1?? x ? a ? ? 0 , B ? ?x | x ? a ?1 ? .若 A

?

?

B ? R ,则

a 的取值范围为(
(A) ? ??,2?

) (B) ? ??, 2? (C) ? 2, ??? (D) ? 2, ??? )

17.钱大姐常说“好货不便宜” ,她这句话的意思是: “好货”是“不便宜”的( (A)充分条件 (B)必要条件 (C)充分必要条件 (D)既非充分又非必要条件 18 .记椭圆

x2 ny 2 ? ? 1 围成的区域(含边界)为 ?n ? n ? 1, 2, 4 4n ? 1
,则 lim M n ? (
n ??

? ,当点 ? x, y ? 分别在


?1 , ?2 ,
A.0

上时, x ? y 的最大值分别是 M1 , M 2 , B.

1 4

C.2

D. 2 2

三.解答题(本大题共有 5 题,满分 74 分)解答下列各题必须在答题纸相应编号 的规定区域写出必要的步骤. 19. (本题满分 12 分)如图,正三棱锥 O ? ABC 底面边长为 2 ,高为 1 ,求该三棱锥的体积及
表面积.
O

B

A

C

第19题图

20. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题.第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 甲厂以 x 千米/小时的速度匀速生产某种产品(生产条件要求 1 ? x ? 10 ) ,每小时可获得 的利润是 100(5 x ? 1 ? ) 元. (1)求证:生产 a 千克该产品所获得的利润为 100a (5 ?

3 x

1 3 ? ); x x2

(2)要使生产 900 千克该产品获得的利润最大,问:甲厂应该如何选取何种生产速度?并求此 最大利润.
2

21. (本题满分 14 分)本题共有 2 个小题.第 1 小题满分 6 分,第 2 小题满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x) ,其中常数 ? ? 0 . (1)令 ? ? 1 ,判断函数 F ( x) ? f ( x) ? f ( x ?

?
2

) 的奇偶性并说明理由;

(2)令 ? ? 2 ,将函数 y ? f ( x) 的图像向左平移

? 个单位,再往上平移 1 个单位,得到函数 6

y ? g ( x) 的图像.对任意的 a ? R ,求 y ? g ( x) 在区间 [a, a ? 10? ] 上零点个数的所有可能值.

22. (本题满分 16 分)本题共有 3 个小题.第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 5 分,第 3 小题 满分 8 分. 已知函数 f ( x) ? 2? | x | .无穷数列 {an } 满足 an?1 ? f (an ), n ? N * . (1)若 a1 ? 0 ,求 a2 , a3 , a4 ; (2)若 a1 ? 0 ,且 a1 , a2 , a3 成等比数列,求 a1 的值; (3)是否存在 a1 ,使得 a1 , a2 , a3 ,…, an …成等差数列?若存在,求出所有这样的 a1 ; 若不存在,说明理由.

3

23. (本题满分 18 分)本题共有 3 个小题.第 1 小题满分 3 分,第 2 小题满分 6 分,第 3 小题 满分 9 分. 如图,已知双曲线 C1 :

x2 ? y 2 ? 1,曲线 C2 : | y |?| x | ?1 . P 是平面内一点,若存在过 2

点 P 的 直 线 与 C1 、 C2 都 有 公 共 点 , 则 称 P 为 “ C1 ? C2 型点”. (1)在正确证明 C1 的左焦点是“ C1 ? C2 型点”时,要 使用一条过该焦点的直线,试写出一条这样的直线的 方程(不要求验证) ; (2)设直线 y ? kx 与 C2 有公共点,求证 | k |? 1 ,进 而证明原点不是“ C1 ? C2 型点; (3)求证:圆 x ? y ?
2 2

1 内的点都不是“ C1 ? C2 型点”. 2

4

参考答案 一、选择题 1. (0, ) 2.15

1 2

【解析】 x(2 x ? 1) ? 0 ? x ? (0, )

1 2

【解析】 a1 ? a 2 ? a3 ? a 4 ? 2(a 2 ? a3 ) ? 30 ? a 2 ? a3 ? 15
2 ? ?m ? m ? 2 ? 0 ? m ? ?2 【解析】 m ? m ? 2 ? (m ? 1)i是纯虚数 ? ? 2 ? ?m ? 1 ? 0 2 2

3. m ? ? 2

4.1 【解析】已知

x 2 1 1

? x ? 2 ? 0 ? x ? 2,又

x 1 1

y

? x ? y ? 1 ,联立上式解之得

x ? 2, y ? 1
5.

2? 3

【解析】 a ? ab ? b - c ? 0 ? cos C ?
2 2 2

a2 ? b2 - c2 ?1 2 ? ?C ? ? 2ab 2 3

6.78 7. ? 2

【解析】 平均成绩 ?

40 60 ? 75 ? ? 80 ? 78 100 100 r 2 5? r a r 解: Tr ?1 ? C5 ( x ) ( ) , 2(5 ? r ) ? r ? 7 ? r ? 1 , x

1 故 C5 a ? ?10 ? a ? ?2 .

8. x= log3 4

【解析】
9.?

7 9

9 9 ? 1 ? 3x ? x ? 3 x ? 1 ? 3 x ? 1 ? ?3 ? 3 x ? ?3 ? 1 ? 0 ? 3 x ? 4 ? x ? log 3 4 3 ?1 3 ?1 1 7 【解析】 cos x cos y ? sin x sin y ? cos( x ? y ) ? ? cos 2( x ? y ) ? 2 cos 2 ( x ? y ) ? 1 ? ? 3 9
x

10.

3
5 7

【解析】 由题知, tan

?
6

?

r 3 l ? ? ? 3 l 3 r
2 C4 5 ? . 2 C7 7

11.

解:7 个数 4 个奇数,4 个偶数,根据题意所求概率为 1 ?

【解析】考查排列组合;概率计算策略:正难则反。

从4个奇数和3个偶数共7个数中任取2个,共有C 72 ? 21个
2 2个数之积为奇数 ? 2个数分别为奇数,共有C 4 ? 6个.
2 C4 6 5 ? 1? ? 2 21 7 C7

所以2个数之积为偶数的概率P ? 1 ?
4 6 3

12 .

解:不妨设椭圆 ? 的标准方程为

x2 y 2 ? ? 1 , 于 是 可 算 得 C (1,1) , 得 4 b2
5

4 4 6 . b 2 ? , 2c ? 3 3
法二: 【解析】 如右图所示。 C

A

D

B

设D在AB上,且CD ? AB, AB ? 4, BC ? 2 , ?CBA ? 45? ? CD ? 1, DB ? 1, AD ? 3 ? C (1,1)
? 2a ? 4, 把C (1, 1)代入椭圆标准方程得 ? 2c ?
1 5

1 1 4 8 ? 2 ? 1, a 2 ? b 2 ? c 2 ? b 2 ? , c 2 ? 2 3 3 a b

4 6 3
【解析】 考查均值不等式的应用。

13. [ , ??)

由题知,当x ? 0时, f ( x) ? 9 x ?
14. ?5

a2 a2 1 ? 2 9x ? ? 6a ? a ? 1 ? a ? x x 5

【解析】 根据对称性,

当向量(ai ? a j )与(c k ? cl )互为相反向量,且它们的模最大时 , (ai ? a j )(c k ? cl )最小。这时ai ? AC , a j ? AD, c k ? CA, cl ? CB, (ai ? a j )(c k ? cl ) ? ? | ai ? a j ) | 2 ? ?5
15.A

【解析】 由反函数的定义可知,x ? 0,2 ? f ( x) ? x 2 ? 1 ? x ?

3

16.B 解:集合 A 讨论后利用数轴可知, ?

? a ?1 ? a ?1 或? ,解答选项为 B. ? a ? 1 ? 1 ?a ? 1 ? a

法二:代值法,排除法。当 a=1 时,A=R,符合题意;当 a=2 时,

? B ? [1,??), A ? (??,1] ? [??),2) ? A ? B ? R, 符合题意。
综上,选 B 标准解法如下: ? B ? [a ? 1,??), A ? B ? R ? A ? (??, a ? 1)

由( x ? 1)( x ? a) ? 0 ? 当a ? 1时,x ? R, 当a ? 1符合题意;当a ? 1时x ? (??,1] ? [a,??), ? 1 ? a ? 1解得1 ? a ? 2; 当a ? 1时x ? (??, a ] ? [1,??) ? a ? a ? 1 ? a ? 1 .

综上,a ? 2
6

17.A

【解析】 便宜没好货 ? 便宜则不是好货 ? 好货则不便宜

所以“好货”是“不便宜”的充分条件 选 A
18.D

【解析】 椭圆方程为: ?

x2 4

ny 2 x2 y2 x2 y2 ? 1 ? lim ? ? ? ?1 n ? ? ?? 4 1 4n ? 1 4 4 4? n

? x2 y2 ?1 ? ? 联立? 4 ? x 2 ? (u ? x) 2 ? 4 ? 2 x 2 ? 2ux ? u 2 ? 4 ? 0 ? ? ? 4u 2 ? 8(u 2 ? 4) ? 0 4 ?u ? x ? y ?
? u 2 ? 2(u 2 ? 4) ? 0 ? 8 ? u 2 ? u ? [?2 2 ,2 2 ], 所以x ? y的最大值为,2 2
选D
19. 【解析】 三棱锥O ? ABC的体积VO ? ABC ?

1 1 ? S ?ABC ? 1 ? ? 3 3 3

设O在面ABC中的射影为Q, BC的中点为E , 则OQ ? 1,QE ?
3 2 4 2 ) ? ? OE ? 3 3 3

3 ,在RT?OQE中 3

,OE 2 ? OQ 2 ? EQ 2 ? 12 ? (

三棱锥O ? ABC的表面积S O ? ABC ? 3S ?OBC ? S ?ABC ? 3 ?
所以, 三棱锥O ? ABC的体积VO ? ABC ?

BC ? OE ? 3 ? 3 3 2

3 , 表面积S O ? ABC ? 3 3 3

20.解: (1)每小时生产 x 克产品,获利 100 ? 5 x ? 1 ?

? ?

3? ?, x?

生产 a 千克该产品用时间为

a 3? a 1 3? ? ? ,所获利润为 100 ? 5 x ? 1 ? ? ? ? 100a ? 5 ? ? 2 ? . x x? x x x ? ? ?

(2)生产 900 千克该产品,所获利润为 90000 ? 5 ?

? ?

1 3? ? ? 1 1 ? 61? ? 2 ? ? 90000 ??3 ? ? ? ? ? x x ? ? ? x 6 ? 12 ?
7

所以 x ? 6 ,最大利润为 90000 ?

61 ? 457500 元。 12

21.法一:解: (1) F ( x) ? 2sin x ? 2sin( x ?

?

) ? 2sin x ? 2 cos x ? 2 2 sin( x ? ) 2 4

?

F ( x) 是非奇函数非偶函数。
∵ F (?

?

) ? 0, F ( ) ? 2 2 ,∴ F (? ) ? F ( ), F (? ) ? ? F ( ) 4 4 4 4 4 4 ? f ( x) ? f ( x ? ) 是既不是奇函数也不是偶函数。 2

?

?

?

?

?

∴函数 F ( x)

?

(2) ? ? 2 时, f ( x) ? 2sin 2 x , g ( x) ? 2sin 2( x ? 其最小正周期 T ? ? 由 2sin(2 x ?

?

) ? 1 ? 2sin(2 x ? ) ? 1 , 6 3

?

? 1 ) ? 1 ? 0 ,得 sin(2 x ? ) ? ? , 3 3 2 ? ? k? ? ? ? k? ? (?1) k ? , k ? Z ,即 x ? ? (?1) k ? ? , k ? Z ∴ 2x ? 3 6 2 12 6
区间 ? a, a ? 10? ? 的长度为 10 个周期, 若零点不在区间的端点,则每个周期有 2 个零点; 若零点在区间的端点,则仅在区间左或右端点处得一个区间含 3 个零点,其它区间仍是 2 个零 点; 故当 a ?

?

k? ? ? ? (?1) k ? ? , k ? Z 时,21 个,否则 20 个。 2 12 6

法二: 【解析】(1) ? ? 1时,f ( x) ? 2 sin x, F ( x) ? f ( x) ? f ( x ?

?
2

) ? 2 sin x ? 2 sin( x ?

?
2

)

? 2 sin x ? 2 cos x ? 2 2 sin( x ? ?图像左移

?
4

),? 周期T ?

2?

?
4

后得f ( x) ? 2 2 sin( x ?

?
4

?

? 2? , y ? 2 2 sin x是奇函数,

),即不是奇函数,也不是偶函数。

(2)ω =2,将函数 y=f(x)的图像向左平移

?
6

个单位,再向上平移 1 个单位,得到函数 y=g(x):

) ? 1, 最小正周期T ? ? . 6 6 ? 1 令f ( x) ? 0 ? sin 2( x ? ) ? ? 在一个周期内最多有3个零点,最少2个零点。 6 2 f ( x) ? 2 sin 2 x, g ( x) ? f ( x ? ) ? 1 ? 2 sin 2( x ?
所以 y=g(x)在区间[a, a+10π ]、其长度为 10 个周期上,零点个数可以取 20,21 个
22. 【解析】 (1)

?

?

由a n ?1 ? f (a n ) ? a n ?1 ? 2? | a n | .a1 ? 0 ? a 2 ? 2, a3 ? 0, a 4 ? 2
a2 2 ? 2- | a 2 |? a 2 ? a1 (2- | a 2 |),且a 2 ? 2- | a1 | a1
2

(2)? a1 , a 2 , a3 成等比 ? a3 ?

? (2- | a1 |) 2 ? a1 [2? | 2- | a1 ||] ? (2 - a1 ) 2 ? a1 [2? | 2 - a1 |]
分情况讨论如何:
8

当2 - a1 ? 0时, (2 - a1 ) 2 ? a1 [2 ? (2 - a1) ? a1 ? a1 ? 1,且a1 ? 2 当2 - a1 ? 0时, (2 - a1 ) 2 ? a1 [2 ? (a1 ? 2) ? a1 (4 ? a1 ) ? 2a1 ? 8a1 ? 4 ? 0 ? a1 ? 4a1 ? 4 ? 2
? 2a1 ? 8a1 ? 4 ? 0 ? (a1 ? 2) 2 ? 2 ? a1 ? 2 ? 2,且a1 ? 2 综上,a1 ? 1,或a1 ? 2 ? 2
(3) 假设存在公差为d的等差数列{a n }满足题意, , 则:?n ? N *, a n ?1 ? 2? | a n |? a n ? d
2

2

2

2

? 2 ? d ? a n ? | a n | . 讨论如下: 当a n ? m即数列{a n }为常数数列时,d ? 0,2 ? 2a n ? a n ? 1 ? a1 ? 1 当数列{a n }不是常数数列时 ? a n ? 0, 2 ? d ? 0 ? d ? 2 ? ?a n ? 0, 所以不满足题意。 综上,存在a1 ? 1的等差数列{a n }, 且a n ? 1满足题意。
23. 【解析】(1) 由C1方程: ? y ? 1可知:a ? 2, b ? 1, c ? a ? b ? 3, F1 (? 3,0)
2 2 2 2 2 2

x2 2

显然, 由双曲线 C1 的几何图像性质可知, 过 F1的任意直线都与曲线 C1相交.在曲线 C 2 图 像上取点 P(0,1),则直线 PF C1、C2 均有交点。这时直线方程为 1与两曲线

y?

3 ( x ? 3) ? 3 y ? x ? 3 ? 0 3

所以,C1 的左焦点是“C1-C2 型点”.过该焦点的一条直线方程是 3 y ? x ? 3 ? 0 . (2) 先证明“若直线 y=kx 与 C2 有公共点,则 k >1”. 双曲线 C1的渐近线:y ? ?

b 1 x?? x. a 2 1 2 , 1 2 ) .

若直线y ? kx与双曲线C1有交点,则k ? A ? (-

若直线y ? kx与曲线C2有交点,则 k?B ? (- ?, -1 ) ? ( 1 ,?) .
所以,若直线 y = kx 与 C2 有公共点,则 k >1 . (证毕)

? A ? B ? ? ,? 直线y ? kx与曲线C1、C2 不能同时有公共交点 。
所以原点不是“C1-C2 型点” ; (完)
9

(3)设直线 l 过圆 x ? y ?
2 2

1 内一点,则斜率不存在时直线 l 与双曲线 C1 无交点。 2

设直线 l 方程为:y = kx + m,显然当 k=0 时直线 l 与双曲线 C1 不相交。 经计算,圆 x ? y ?
2 2

1 内所有点均在曲线 C2 y ? x ? 1 的延长线所围成的区域内,所以 2

当k ? ?

b 1 2 时,直线 l 与曲线 C1 不相交。若直线 l 与曲线 C 2 相交, 则 k ? 1 · · · · ·① ?? a 2

下面讨论 k ? ?

1 2

时的情况。

圆心到直线 l 的距离

|m| k ?1
2

?

1 2

· · · · · · · ·② ? 2m 2 ? 1 ? k 2 ·

? x2 ? ? y2 ? 1 假设直线 l 与曲线 C1 相交,联立方程: ? 2 ? x 2 ? 2(k 2 x 2 ? 2km x ? m 2 ) ? 2 , ? y ? kx ? m ?
? (2k 2 ? 1) x 2 ? 4km x ? 2m 2 ? 2 ? 0,k ? ?
? 2k 2 ? 1 ? m 2 · · · · · · · · · · · · · · ·③

1 2

? ? ? (4km) 2 ? 4(2k 2 ? 1)(2m 2 ? 2) ? 0

?2k 2 ? 2 2 2 2 ? ? ? 2 ?4m ? 2 ? 1 ? m ?m ? 1 2 由①②③得: ?2k ? 4m ? 2 ? ? ?? ? m ?? 2 2 ? ? ?2k 2 ? 1 ? m 2 ?2 ? 1 ? m ?1 ? m ? 1 2 2 所以,过圆 x ? y ? 内任意一点做任意直线,均不存在与曲线 C1 和 C 2 同时相交。即圆 2 1 x 2 ? y 2 ? 内的点都不是“C1-C2 型点”.(证毕) 2

10


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