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平面向量的运算及其应用


平面向量的运算及其应用 一 、 【精要知识点击】 1.相关概念: 向量 、 相等向量、 零向量、 单位向量、 向量的模、 平行向量 (共线向量) 、 直线的方向向量. 2.平面向量基本定理与基底的概念. 基底法:对于这一平面内的任一向量都可以用选定的一组基底线性表示. 3.向量的四种运算 熟悉每种运算的代数运算、几何运算(如加减法的平行四边形法则与三角形法则,数量积的 几何意义等)以及坐标运算. (1)向量的加减法在平行四边形中的统一性以及由此产生下列重要性质: ①|| a |-| b || ? | a ? b | ?| a |? | b | ② | a ? b | ? | a ? b | ? 2(| a | ? | b | ) 2 2 2 2 ? ? ? ? ③ | a ? b |?| a ? b |? 四边形 ABCD 是长方形 (2)实数与向量的积的概念及性质 (3)平面的数量积的概念以及几何意义和性质,用数量积解决夹角、距离等问题的方 法.易错点(1)夹角的范围; (2)数量积不满足结合律; (3)数量积的正负与夹角(锐角、 钝角)的关系;(4)平行向量不具有传递性;(5)零向量的特殊性. 4.平面向量的坐标与坐标运算 5.三种位置关系 (1)共线向量的充要条件 ①共线向量定理 ②设 a ? ( x1 , y1 ) b ? ( x 2 , y 2 ) ,则 a // b ? x1 y 2 ? x 2 y1 (交叉之积相等) (2)三点共线的充要条件 A , B , C 三 点 共 线 ? AB // AC ? AB ? ? AC ? OC ? ?1 OA ? ? 2 OB , 且 ?1 ? ? 2 ? 1 ( ?1 , ?2 ? R ) 为平面内任一点) (O (3)两向量垂直的充要条件:设 a ? ( x1 , x 2 ), b ? ( x 2 , y 2 ) , 则 a ? b ? a ? b ? 0 ? x1 x 2 ? y1 y 2 ? 0 (对应之积的和为零) 6.定比分点公式、中点坐标公式、三角形的重心坐标公式. 7.平移 ①点的平移公式; ②函数图象的平移 把函数 f ? x ? 的图象 C 按向量 a =(h,k)平移后得到 C 1 的解析式为 y1 ? f ?x1 ? h? ? k ③曲线 f ( x, y) ? 0 按向量 a ? ? h, k ? 平移得曲线 f ( x ? h, y ? k ) ? 0 1 ? ? 8. 热点探索 平面向量是高考的必考内容之一,主要考查向量的工具作用,向量的三种表示(几何, 基底,坐标)四种基本运算(加、减、数乘、数量积)以及三个基本关系(共线、垂直、夹 角) ,在选填题中,重点考查向量的基础认识,向量的平移与定比分点坐标公式,平面向量与 平面几何相结合的问题,在解答题中常与函数 、三角函数、立几、解几等知识的交汇处命 题 , 考查学生的综合运用能力, 在解题中通常将向量语言转化为坐标运算或用其几何意义. 二 、 【思维方法点津】 例 1(09 江苏 15)设向量 a ? (4cos ? ,sin ? ), b ? (sin ? , 4cos ? ), c ? (cos ? , ?4sin ? ) (1)若 a 与 b ? 2c 垂直,求 tan(? ? ? ) 的值; (2)求 | b ? c | 的最大值; ? ? ? ? ? ? ? ? (3)若 tan ? tan ? ? 16 ,求证: a ∥ b 思路分析: (1)? a ? (b ? 2c)

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