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专题12 选讲部分-各类考试必备之高三数学(文)全国各地优质金卷 Word版含解析(数理化网)

【2018 高三数学各地优质二模试题分项精品】

专题十二
一、解答题 1. 【2018 广东高三二模】选修 4-4:坐标系与参数方程

选讲部分

在直角坐标系

中,直线 的参数方程为

( 为参数) ,圆 的标准方程为

.

以坐标原点为极点, 轴正半轴为极轴建立极坐标系. (1)求直线 和圆 的极坐标方程; (2)若射线 与 的交点为 ,与圆 的交点为 , ,且点 恰好为线段 的极 坐标方程 为 ; (2) . ,圆 的中点,求 的值. 的 极坐标方 程为

【 答 案 】( 1 ) 直 线

详解: (1)在直线 的参数方程中消去 可得, 将 , 代入以上方程中, . .



所以,直线 的极坐标方程为 同理,圆 的极坐标方程为

(2)在极坐标系中,由已知可设





.

联立 所以 因为点 恰好为 所以 . 的中点, ,即 .

可得



1

把 得 所以 .

代入 ,



点睛:消去参数方程中的参数,就可把参数方程化为普通方程,消去参数的常用方法有:①代入消元法; ②加减消元法;③乘除消元法;④三角恒等式消元法,极坐标方程化为直角坐标方程,只要将 换成 和 即可. 2. 【2018 衡水金卷高三二模】选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中,已知曲线 的参数方程为 ( 为参数) ,以原点 为极点, 轴的正半 . 和

轴为极轴建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 (1)求曲线 的普通方程与 的直角坐标方程; (2)判断曲线 是否相交,若相交,求出相交弦长.

【答案】 (1) 曲线 的普通方程为

, 曲线 的直角坐标方程为

; (2)

.

试题解析: (1)由题知,将曲线 的参数方程消去参数 , 可得曲线 的普通方程为 .

由 得 将 得 即 ,

, . 代入上式, , . .

故曲线 的直角坐标方程为

2

(2)由(1)知,圆 的圆心为

,半径



因为圆心到直线 的距离 所以曲线 相交,



所以相交弦长为

.

3. 【2018 安徽安庆高三二模】选修 4-4:坐标系与参数方程 已知在极坐标系中,点 , , 是线段 的中点,以极点为原点,极轴为 轴的正半轴,并在 ( 为参数).

两坐标系中取相同的长度单位,建立平面直角坐标系,曲线 的参数方程是 (1)求点 的直角 坐标,并求曲线 的普通方程; (2)设直线 过点 交曲线 于 【答案】 (Ⅰ) , 两点,求 的值.

. (Ⅱ)12.



消去参数 ,得

,即为曲线

的普通方程.

(Ⅱ)解法一:直线 的参数方程为 代入 设点 、 ,整理得: 对应的参数值分别为 、 . 解法二:过点作圆 : .则

( 为参数, . ,

为直线 的倾斜角)

的切线,切点为



3

连接

,因为点由平面几何知识得:

, 所以 .

4. 【2 018 黑龙江齐齐哈尔高三二模】选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 中,以坐标原点 为极点,以 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 的极坐标方程为 ,点 的曲线 上运动. (I)若点 在射线 (Ⅱ)设 ,求 上,且 ,求点 的轨迹的直角坐标方程;

面积的最大值. .

【答案】 (Ⅰ) (Ⅱ) .

试题解析: (Ⅰ)设 又 , , ,则 ,

4

, , . 将 (Ⅱ)设 代入上式可得点 的直角坐标方程为 ,则 .

, 的面积 ,

当且仅当

,即

时等号成立 .

面积的最大值为

(用直角坐标方程求解,参照给分) 5. 【2018 东莞高三二模】选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 中,曲线 的参数方程为 . 为参数),以坐标原点 为极点,以 轴正

半轴为极轴,建立极坐标系,点 的极坐标为 (Ⅰ)求曲线 的极坐标方程; (Ⅱ)若点 在曲线 上, 【答案】(Ⅰ) .(Ⅱ) ,求 或 .

的大小.

试题解析:(Ⅰ)∵曲线 的普通方程为 曲线 的极坐标方程为 (Ⅱ) 或 或 ,且 或 , .
5

,即 . ,

,

6. 【2018 黑龙江大庆高三二模】选修 4-4:坐标系与参数方程 在直角坐标系 xoy 中,以坐标原点 O 为极点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,圆 C1 的方程为

? . x2 ? y 2 ? 4x ? 8 y ? 0 ,直线 C2 的极坐标方程为 ? = (? ? R) 3
(I )写出 C1 的极坐标方程和 C2 的平面直角坐标方程; (Ⅱ) 若直线 C3 的极坐标方程为 ? = (? ? R) ,设 C2 与 C1 的交点为 O、M,C3 与 C1 的交点为 O、N 求

?

6

?OMN 的面积.
【答案】 (Ⅰ)圆 C1 的极坐标方程为 ? =4cos? ? 8sin? , C2 的平面直角坐标方程为 y ? (Ⅱ) 8+5 3 .

3 x; 3

? = x2 ? y 2 x ? ? cos? 试题解析: (Ⅰ)直角坐标与极坐标互化公式为 { , { y , y ? ? sin? tan? ? x
∵圆 C1 的普通方程为 x ? y ? 4x ? 8 y ? 0 ,
2 2

∴把 x ? ? cos? , y ? ?sin? 代入方程得,

? 2 -4?cos? ? 8?sin? ? 0 ,
3 x; 3

∴ C1 的极坐标方程为 ? =4cos? ? 8sin? , C2 的平面直角坐标方程为 y ? (Ⅱ)分别将 ? =

?
3

,? =

?
6

代入 C1 的极坐标方程 ? =4cos? ? 8sin? 得;

?1 =2+4 3 , ?2 =4+2 3 .

∴ ?OMN 的面积为 S?OMN ? ∴ ?OMN 的面积为 8+5 3 .

1 1 ?? ? ? OM ? ONsin?MON ? ? 2 ? 4 3 ? 4 ? 2 3 ? sin ? ? ? ? 8 ? 5 3 2 2 ?3 6?

?

? ?

?

7. 【2018 贵州高三适应性考试】[选修 4-4:坐标系与参数方程]
6

1 ? cos? 2 在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 { ( ? 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴 3 y?? ? sin? 2 x?
的正半轴为极轴建立极坐标系,曲线 C2 的方程为 ? ? 2 3sin ? ? ? (1)求 C1 与 C2 交点的直角坐标; (2)过原点 O 作直线 l ,使 l 与 C1 , C2 分别相交于点 A , B ( A , B 与点 O 均不重合) ,求 AB 的最 大值. 【答案】(1)

? ?

??

?. 3?

? 0, 0 ? 和 ? ? 2 ,?
?

?3

3? ? .(2)4. 2 ? ?

试题解析: (1)曲线 C1 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? x ? 3 y ? 0 , 曲线 C2 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 3x ? 3 y ? 0 .

联立 {

x ? y ? x ? 3y ? 0
2 2

x 2 ? y 2 ? 3x ? 3 y ? 0

,解得 {

x?0 y?0

x?
或{

3 2

3 y?? 2

.

所以 C1 与 C2 交点的直角坐标为 ? 0, 0 ? 和 ?

?3 3? ? 2 ,? 2 ? ?. ? ?

(2)曲线 C1 的极坐标方程为 ? ? 2cos ? ? ?

? ?

??

?. 3?

设直线 l 的极坐标方程为 ? ? ? (0 ? ? ? ? , ? ? R) .

7

则点 A 的极坐标为 ? 2cos ? ? ?

? ?

? ?

??

? ? ?? ? ? ? , ? ? ,点 B 的极坐标为 ? 2 3sin ? ? ? ? , ? ? . 3? ? 3? ? ? ?

所以 AB ? 2 3sin ? ? ?

? ?

??

?? ? ? ? 2cos ? ? ? ? 3? 3? ?

?? ? ? 4 sin ? ? ? ? . 6? ?
当? ?

?
3

时, AB 取得最大值,最大值是 4.此时, A , B 与点 O 均不重合.

8. 【2018 广东惠州高三 4 月模拟】选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xoy 中,曲线 C 的参数方程为 {

x ? a ? acosβ ( β 为参数,且 a> 0 ) ,以 O 为极点, x y ? asinβ ? ?

轴的正半轴为极轴,建立极坐标系,直线 l 的极坐标方程为 ? cos ? ? ? (1)若曲线 C 与 l 只有一个公共点,求 a 的值; (2) A , B 为曲线 C 上的两点,且 ?AOB ? 【答案】(1)a=1;(2)见解析.

??

3 ?? . 3? 2

?
3

,求△ OAB 的面积最大值.

试题解析: (1)由题意可得曲线 C 是以 ? a, 0 ? 为圆心,以 a 为半径的圆; 直线 l 的直角坐标方程为 x ? 3 y ? 3 ? 0 .

由直线 l 与圆 C 只有一个公共点,则可得 ∴ a ? ?3 (舍)或 a ? 1

a ?3 2

?a.

8

∴a ?1 (2)法一:由题意,曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 2acos? (a ? 0) . 设

A









?



B









??

?
3







S?OAB ?

1 ? 3 ?? ?? ? ? OB ? OA sin ? 2acos? ? 2acos ?? ? ? ? 3a 2 cos? ? cos ?? ? ? 2 3 4 3? 3? ? ?
? ?

∵ cos? ? cos ? ? ?

??

1 ?? 1 ? ? ? cos ? 2? ? ? ? 3? 2 3? 4 ?
3 1 ?? 1 ? cos ? 2? ? ? ? 取得最大值为 . 4 2 3? 4 ?

∴当 ? ? ?

?
6

时,

∴ ?OAB 的面积最大值为

3 3a 2 . 4

法二:∵曲线 C 是以 ? a, 0 ? 为圆心,以 a 为半径的圆,且 ?AOB ?

?
3

.

∴由正弦定理得:

AB sin

?
3


? 2a ,即 AB ? 3a .















AB ? 3a 2 ? OA ? OB ? OA OB ? OA OB

2

2

2







S?OAB ?

1 ? 1 3 3 3a 2 ,当且仅当 OA ? OB 时取等号. OB ? OA sin ? ? 3a 2 ? ? 2 3 2 2 4 3 3a 2 . 4

∴ ?OAB 的面积最大值为

9. 【2018 陕西咸阳高三二模】在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的方程是: 原点为极点,

? x ? 5?

2

? y 2 ? 10 ,以坐标

x 轴正半轴为极轴建立极坐标系.

(1)求曲线 C 的极坐标方程; (2)设过原点的直线 l 与曲线 C 交于 A , B 两点,且 AB ? 2 ,求直线 l 的斜率.
2 【答案】 (1) ? ?10?cos? ? 15 ? 0 ; (2) k ? ?

3 . 4

9

法 3:设直线 l : y ? kx ,与圆的方程联立,结合圆锥曲线的弦长公式可得直线 l 的斜率为 k ? ?

3 . 4

法 4:设直线 l : y ? kx ,结合弦长公式可得圆心 C ? 5,0? 到直线 l 距离 d ? 3 ,利用点到直线距离公式解 方程可得直线 l 的斜率为 k ? ? 试题解析: (1)曲线 C :

3 . 4

? x ? 5?

2

? y 2 ? 10 ,即 x2 ? y 2 ?10 x ? 15 ? 0 ,

将 x 2 ? y 2 ? ? 2 , x ? ? cos? 代入得 曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ?10?cos? ? 15 ? 0 .
2 2 2 (2)法 1:由圆的弦长公式 2 r ? d ? 2 及 r ? 10 ,得圆心 C ? 5,0? 到直线 l 距离 d ? 3 ,

如图,在 Rt ?OCD 中,易得 tan?DOC ? 直线 l 的斜率为 ?

3 ,可知 4

3 . 4

法 2:设直线 l : {

x ? tcos? y ? tsin?

2 ( t 为参数) ,代入 ? x ? 5 ? ? y ? 10 中得 ? tcos? ? 5 ? ? ? tsin? ? ? 10 ,整 2 2 2

2 理得 t ? 10tcos? ? 15 ? 0 ,

由 AB ? 2 得 t1 ? t2 ? 2 ,即

?10cos? ?

2

? 4 ?15 ? 2 ,
10

解得 cos? ? ?

4 3 ,从而得直线 l 的斜率为 tan? ? ? . 5 4
2

2 法 3:设直线 l : y ? kx ,代入 ? x ? 5 ? ? y ? 10 中得

? x ? 5?

2

? ? kx ? ? 10 ,即 1 ? k 2 x 2 ? 10 x ? 15 ? 0 ,
2

?

?

由 AB ? 2 得 1 ? k

2

x1 ? x2 ? 2 ,即 1 ? k
3 . 4

2

102 ? 60 1 ? k 2 1? k
2

?

?

? 2,

解得直线 l 的斜率为 k ? ?

法 4:设直线 l : y ? kx ,则圆心 C ? 5,0? 到直线 l 的距离为 d ?

5k k 2 ?1



2 2 2 由圆的弦长公式 2 r ? d ? 2 及 r ? 10 ,得圆心 C ? 5,0? 到直线 l 距离 d ? 3 ,

所以

5k k ?1
2

? 3 ,解得直线 l 的斜率为 k ? ?

3 . 4

10. 【2018 湖南衡阳高三二模】已知直线 l 的参数方程为 {

x ? t cos ? y ? t sin ?

(其中 t 为参数),以坐标原点 O 为极

点,以 x 轴正半轴为极轴,建立极坐标系,曲线 C 的极坐标方程为 ? 2 ? 2m? cos? ? 4 ? 0(其中 m ? 0 ). (1)若点 M 的直角坐标为 ? 3,3? ,且点 M 在曲线 C 内,求实数 m 的取值范围; (2)若 m ? 3 ,当 α 变化时,求直线 l 被曲线 C 截得的弦长的取值范围. 【答案】 (1) ?

?7 ? (2) ? 4, 2 13 ? . , ?? ? ; ? ? ?3 ?

函数的有界性可得结果. 试题解析:(1)由 {

x ? ? cos ? 得曲线 C 对应的直?角坐标?方程为: y ? ? sin ?
2

? x ? m?

2

? y 2 ? m2 ? 4

2 由点 M 在曲线 C 的内部, ? ? 3 ? m ? ? 9 ? m ? 4 ,

11

求得实数 m 的取值范围为 ?

?7 ? , ?? ? . ?3 ?

(2)直线 l 的极坐标?方程为 ? ? ? ,代入曲线 C 的极坐标?方程整理?得 ? 2 ? 6? cos ? ? 4 ? 0, 设直线 l 与曲线 C 的两个交点对应的极径分别为 ?1,?2,?1 ? ?2 ? 6cos ?,?1?2 ? ?4 , 则直线 l 截得曲线 C 的弦长为:

?1 ? ?2 ?
?

? ?1 ? ?2 ?
?

2

?. ? 4?1?2 ? 36cos2? ? 16ò ? ?4, 2 13 ?

即直线 l 与曲线 C 截得的弦长的取值范围是 ? 4, 2 13 ? . 11. 【2018 陕西咸阳高三一模】在平面直角坐标系 xOy 中,以坐标原点为极点, 坐标系,已知曲线 C 的极坐标方程为 ? ? 4cos ? ? ?

x 轴正半轴为极轴建立极

? ?

??

? ? ,直线过点 P 0, ? 3 且倾斜角为 3 . 3?

?

?

(1)求曲线 C 的直角坐标方程和直线 l 的参数方程; (2)设直线 l 与曲线 C 交于两点 A,B,求 PA ? PB 的值. 【答案】(1)见解析;(2)7.

试题解析: (1)曲线 C : ? ? 4cos ? ? ?

? ?

??

? ? ? ? 4cos? cos ? 4sin? sin , 3? 3 3

?

?

所以 ? 2 ? 2?cos? ? 2 3?sin? ,即 x2 ? y 2 ? 2x ? 2 3 y , 得曲线 C 的直线坐标方程为 ? x ? 1? ? y ? 3
2

?

?

2

? 4,

x?
直线 l 的参数方程为 {

1 t 2

3 y? t? 3 2

(t 为参数).

12

2 ? ?1 ? ? 3 (t 为参数)代入圆的方程,得 ? t ? 1? ? ? (2)将 { t ?2 3? ? ??4, 3 ?2 ? ? 2 ? y? t? 3 2

x?

1 t 2

整理得 t 2 ? 7t ? 9 ? 0 ,所以 PA ? PB ? t1 ? t2 ? 7 . 12. 【2018 安徽宣城高三二调】选修 4-4:坐标系与参数方程 已知曲线 C 的极坐标方程是 ? ? 4sin? .以极点为平而直角坐标系的原点,极轴为 x 轴的正半轴,建立平面 直角坐标系,直线 l 的参数方程是 {

x ? tcos? ( ? 为参数) y ? 1 ? tsin?

(Ⅰ)将曲线 C 的极坐标方程化为直角坐标方程; (Ⅱ)若直线 l 与曲线 C 相交于 A 、 B 两点,且 AB ? 15 ,求直线 l 的倾斜角 ? 的值.
2 【答案】 (1) x ? ? y ? 2 ? ? 4 (2) ? ? 2

?
3



2? . 3

试题解析: (1)由 ? ? 4sin? 得 ? 2 ? 4?sin? ∵ x 2 ? y 2 ? ? 2 , x ? ? cos? , y ? ? sin? ,
2 ∴曲线 C 的直角坐标方程为 x2 ? y 2 ? 4 y ? 0 ,即 x ? ? y ? 2 ? ? 4 . 2

(2)将 {

x ? tcos? 2 代入圆的方程,化简得 t ? 2tsin? ? 3 ? 0 . y ? 1 ? tsin?

设 A, B 两点对应的参数分别为 t1 、 t 2 ,则 { ∴ AB ? t1 ? t2 ?
2 ∴ 4sin ? ? 3

t1 ? t2 ? 2sin? , t1t2 ? ?3.

?t1 ? t2 ?

2

? 4t1t2 ? 4sin 2? ? 12 ? 15 .

∵ ? ? 0, ? ?

?

13

∴ sin? ?

? 2? 3 ,即 ? ? 或 . 3 3 2

13. 【2018 广东高三二模】选修 4-5:不等式选讲 已知 (1)当 (2)当 , , . 时,求不等式 时, ; (2) 的解集; ,求 的取值范围.

的图象与 轴围成的三角形面积大于 .

【答案】 (1)

不等式

等价于



或 解得 或 ,即 .所以不等式 的解集是 .

(2)由题设可得,

所以函数 所以三角形 由题设知,

的图象与 轴围成的三角形的三个顶点分别为 的面积为 ,解得 . .





.

点睛:求解含两个绝对值的不等式时,往往利用零点分段讨论法去掉绝对值符号,将问题转化为分段函数 对应的不等式组进行求解. 14. 【2018 安徽安庆高三二模】选修 4-5:不等式选讲 已知 ,不等式 的解集是 .
14

(1)求集合 ; (2)设 【答案】 (Ⅰ) ,证明: . . (Ⅱ)见解析.

试题解析: (Ⅰ)当

时,

.



,得

,所以

.



时,

.

由 综上可知,

,得

,所以 . ,所以 , ,即 , .

(Ⅱ)因为 , 所以

,故 点睛:含绝对值不等式的解法

.

法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想. 15. 【2018 湖南益阳高三 4 月调研】选修 4-5:不等式选讲 已知函数 (1)当 时,解不等式 . ; 在 上恒成立,求实数 的取值范围. .

(2)若关于 的不等式 【答案】(1) ;(2)

15

试题解析: (1)当 当 当 当 时,由 时,由 时,由

时, ,得 ,得 ,得 的解集为 ,得 . .

. ; ;

综上所述,不等式 (2)由

.

令 作出 的图象如图所示,

由题意知

的图象恒在函数 经过点 的图象经过 的图象经过

的图象的下方. 时,解得 或 .

由图象可知,当 当 当 所以 时, 时, ,

点,显然不成立; 点,成立,

即实数 的取值范围为

.

16. 【2018 东莞高三二模】选修 4-5:不等式选讲 已知 (Ⅰ)求实数 的取值范围; (Ⅱ)若正实数 【答案】(Ⅰ) 满足 .(Ⅱ) 见解析.
16

,且对任意的

恒成立.

,求证

.

试题解析: (Ⅰ) ∴实数 的取值范围为 (Ⅱ)依题意, 要证 即证 即证 . ,即证 , ,此式显然成立,∴原不等式成立. , .

,

17. 【2018 黑龙江大庆高三质检二】选修 4-5:不等式选讲 已知函数 (Ⅰ)求不等式 (Ⅱ)当 【答案】 (Ⅰ) (Ⅱ) . 的解集; 时,不等式 . 恒成立,求实数 的取值范围.

【解析】 试题分析: (Ⅰ) 分类讨论, 去掉绝对值, 分别求解不等式, 进而得到不等式的解集; (Ⅱ) 当 时, ,设 ,求出 在 上的最大值,即可求得实数 的取值范围. . ;

试题解析: (Ⅰ)由题意知,需解不等式 当 当 当 ∴ (Ⅱ)当 设 ∴ ,即 时,上式化为 时,上式化为 时,①式化为 的解集为 时, ,则 在 ,得 .
17

,解得 ,无解; ,解 得 或 ,则当 . .



恒成立. .

上的最大值为 .

∴实数 的取值范围为

18. 【2018 陕西咸阳高三二模】已知函数 f ? x ? ? x ? x ? 3 ? x ? R ? . (1)求 f ? x ? 的最大值 m ; (2)设 a, b, c ? R ? ,且 2a ? 3b ? 4c ? m ,求证: 【答案】 (1) m ? 3 ; (2)证明见解析.

1 1 1 ? ? ?3. 2a 3b 4c

(2)法 1:由题意可知

1 1 1 1 1 1 1 1 ? ? 1 ? ? ? ? 2a ? 3b ? 4c ? ? ? ? ? ? 3 .当 且仅当 a ? , b ? , 2a 3b 4c 2 3 3 ? 2a 3b 4c ?

c?


1 时取等号,题中的命题得证. 4
2 : 由 题 意 结 合 柯 西 不 等 式 有

3 ? 2a ?

1 1 1 ? 3b ? ? 4c ? 2a 3b 4c

? 2a ? 3b ? 4c ?
试题解析:

1 1 1 1 1 1 ? ? ? 3 ,命题得证. ? ? ,即 2a 3b 4c 2a 3b 4c

?3, x ? 0 3, x ? 3

(1)法 1:由 f ? x ? ? {2 x ? 3,0 ? x ? 3 知 f ? x ? ? ?3,3 ,即 m ? 3 .

?

?

法 2:由三角不等式 f ? x ? ? x ? x ? 3 ? x ? x ? 3 ? 3 得,即 m ? 3 . 法 3:由绝对值不等式的几何意义知 f ? x ? ? x ? x ? 3 ? ?3,3 ? x ? R ? ,即 m ? 3 . (2)法 1:∵ 2a ? 3b ? 4c ? 3(a, b, c ? 0) , ∴

?

?

1 1 1 1 1 1 ? ? 1 ? ? ? ? 2a ? 3b ? 4c ? ? ? ? ? 2a 3b 4c 3 ? 2a 3b 4c ?

1 ? 2a 3b ? ? 2a 4c ? ? 3b 4c ? ? [3 ? ? ? ? ? ? ? ? ?] ? 3 . ??? 3 ? 3b 2a ? ? 4c 2a ? ? 4c 3b ?
18

当且仅当 2a ? 3b ? 4c ,即 a ? 即

1 1 1 , b ? , c ? 时取等号, 2 3 4

1 1 1 ? ? ?3. 2a 3b 4c

法 2:∵ 2a ? 3b ? 4c ? 3(a, b, c ? 0) , ∴由柯西不等式得 3 ?

2a ?

1 1 1 1 1 1 , ? 2a ? 3b ? 4c ? ? ? ? 3b ? ? 4c ? 2a 3b 4c 2a 3b 4c

整理得

1 1 1 ? ? ?3, 2a 3b 4c 1 1 1 , b ? , c ? 时取等号. 2 3 4

当且仅当 2a ? 3b ? 4c ,即 a ? 点睛:绝对值不等式的解法:

法一:利用绝对值不等式的几何意义求解,体现了数形结合的思想; 法二:利用“零点分段法”求解,体现了分类讨论的思想; 法三:通过构造函数,利用函数的图象求解,体现了函数与方程的思想. 19. 【2018 新疆维吾尔自治区高三二模】选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ?| x ? p| . (I)当 p ? 2 时,解不等式 f ? x ? ? 4 ? x ?1 ; (II)若 f ? x ? ? 1 的解集为 ??, 0 ??? 2, ?? , 【答案】(1) ? ??, ?

?

?

1 2 ? ? p(m ? 0 , n ?1) ,求证: m ? 2n ? 11 . m n ?1

? ?

1 7 ??? , ?? ? ? (2)见解析 2 2 ?

试题解析: (I)当 p ? 2 时,不等式化为 x ? 2 ? x ? 1 ? 4

2 x ? 3, x ? 2 ∵ x ? 2 ? x ? 1 ? { 1,1 ? x ? 2 3 ? 2 x, x ? 1

19

∴不等式的解集为 ? ??, ?

? ?

1 7 ??? , ?? ? ? 2 2 ?

(II)根据 f ? x ? ? 1 得 x ? p ? 1 ? x ? p ?1 x ? p ? 1 ∵ f ? x ? ? 1 的解集为 ??, 0 ??? 2, ?? 故 { ∵m ? 0, n ? 0 ∴ m ? 2 ? n ? 1? ? ? ?m ? 2 ? n ? 1?? ??

?

?

p ?1 ? 0 1 2 ? 1, ? p ? 1,所以 ? m n ?1 p ?1 ? 2

2 ? 2m 2 ? n ? 1? ?1 ? ? ? 9, ? ? 2? n ?1 m ? m n ?1 ?

当且仅当 m ? 3 , n ? 4 时取等号 ∴ m ? 2n ? 11 20. 【2018 江西高三质监】选修 4-5:不等式选讲 已知函数 f ? x ? ? x ? 2a ? x ? 3a . (1)若 f ? x ? 的最小值为 2,求 a 的值; (2)若对 ?x ? R , ?a ? ?2,2 ,使得不等式 m ? m ? f ? x ? ? 0 成立,求实数 m 的取值范围.
2

?

?

【答案】(1) a ? ?2 ;(2) ?2 ? m ? 2 .

试题解析: (Ⅰ) x ? 2a ? x ? 3a ? ? x ? 2a ? ? ? x ? 3a ? ? a , 当且仅当 x 取介于 2a 和 3a 之间的数时,等号成立, 故 f ? x ? 的最小值为 a , ? a ? ?2 ; (Ⅱ)由(Ⅰ)知 f ? x ? 的最小值为 a , 故 ?a ? ?2,2 ,使 m ? m ? a 成立,
2 2 即 m ? m ? 2 , ? m ?1

?

?

?

?? m ? 2 ? ? 0 , ??2 ? m ? 2 .

21. 【2018 海南高三二模】[选修 4 -5:不等式选讲]
20

设函数 f ? x ? ? x ? a ? 2a . (1)若不等式 f ? x ? ? 1 的解集为 {x | ?2 ? x ? 4} ,求 a 的值; (2)在(1)的条件下,若不等式 f ? x ? ? k ? k ? 4 恒成立,求 k 的取值范围.
2

【答案】 (1) a ? ?1 (2) ?1, 2

?

?

试题解析: 解: (1)因为 x ? a ? 2a ? 1 ,所以 x ? a ? 1 ? 2a , 所以 2a ? 1 ? x ? a ? 1 ? 2a ,所以 a ? 1 ? x ? 1 ? 3a . 因为不等式 f ? x ? ? 1 的解集为 {x | ?2 ? x ? 4} , 所以 {

a ? 1 ? ?2 1 ? 3a ? 4

,解得 a ? ?1 .
2

(2)由(1)得 f ? x ? ? x ?1 ? 2 .不等式 f ? x ? ? k ? k ? 4 恒成立, 只需 f ? x ?min ? k ? k ? 4 ,
2
2 2 所以 ?2 ? k ? k ? 4 ,即 k ? k ? 2 ? 0 ,

所以 k 的取值范围是 ?1, 2 . 22. 【2018 河南商丘高三二模】已知函数 (1)求不等式 (2)若不等式 的解集; 对于 恒成立,求实数 的取值范围. .

?

?

【答案】 (1)

; (2)

.

试题解析: (1)依题意,
21

故不等式

的解集为 时, 取最小值 ,

.

(2)由(1)可得,当 对于 ∴ ∴

恒成立, ,即 , , .

,解之得

∴实数 的取值范围是

点睛:含绝对值不等式的解法有两个基本方法,一是运用零点分区间讨论,二是利用绝对值的几何意义求 解.法一是运用分类讨论思想,法二是运用数形结合思想,将绝对值不等式与函数以及不等式恒成立交汇、 渗透,解题时强化函数、数形结合与转化化归思想方法的灵活应用,这是命题的新动向. 23. 【2018 安徽宣城高三二调】选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ? x ? ? 2x ? 7 ? 1 (Ⅰ)求不等式 f ? x ? ? x 的解集; (Ⅱ)若存在 x 使不等式 f ? x ? ? 2 x ?1 ? a 成立,求实数 a 的取值范围. 【答案】 (1)

8 ? x ? 6 (2) a ? ?4 3

【解析】 试题分析: (1) 结合不等式分类讨论即可求得不等式的解集; (2) 利用零点分段求得 f ? x ? ? 2 x ?1 的最小值,结合题意即可求得实数 a 的取值范围. 试题解析: (1) 2x ? 7 ?1 ? x ? 2x ? 7 ? x ?1 当 x ? 1 时,显然不成立
2 当 x ? 1 时,平方得: 3x ? 26 x ? 48 ? 0 ? ? x ? 6 ?? 3 x ? 8 ? ? 0 ?

8 ? x?6 3

综上:

8 ?x?6 3

(2)若存在 x 使不等式 2x ? 7 ? 2 x ?1 ? 1 ? a 成立,即 2x ? 7 ? 2 x ?1 ?1的最小值小于等于 a .

22

6 x ?1
∴ 2 x ? 7 ? 2 x ? 1 ? 1 ? { ?4 x ? 10 1 ? x ?

7 ,则 a ? ?4 2

?4

x?

7 2

23


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