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河南省许昌部分学校高二数学上学期期末联考试题 文

许昌市 2011—2012 学年第一学期期末部分学校联考试卷 高二数学(文科)
一.选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分。在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的。请把答案填在答卷上. 1.数列 1,-3,5,-7,9, 的一个通项公式为 A. an ? 2n ? 1 C. an ? (?1) n (2n ? 1) 2.已知 ?an ? 是等比数列, a 2 ? 2,a 5 ? A. ?






B. an ? (?1) n (1 ? 2n) D. an ? (?1) n (2n ? 1)

1 ,则公比 q =( 4
C.2 )

) D.

1 2
1 4

B. ? 2

1 2

3.若?ABC 中,sinA:sinB:sinC=2:3:4,那么 cosC=( A. ? B.

1 4

C. ?

2 3
)

D.

2 3

4.已知命题 p:3≥3,q:3>4,则下列判断正确的是( A.p ? q 为真,p ? q 为真, ? p 为假 B.p ? q 为真,p ? q 为假, ? p 为真 C.p ? q 为假,p ? q 为假, ? p 为假 D.p ? q 为真,p ? q 为假, ? p 为假

5.△ABC 的两个顶点为 A(-4,0),B(4,0),△ABC 周长为 18,则 C 点轨迹为( A. C.
x2 y2 ? ? 1 (y≠0) 25 9
x2 y2 ? ? 1 (y≠0) 16 9
2 2

)

B. D.

y2 x2 ? ? 1 (y≠0) 25 9
y2 x2 ? ? 1 (y≠0) 16 9

6.方程 mx -my =n 中,若 mn<0,则方程的曲线是( A.焦点在 x 轴上的椭圆 C.焦点在 y 轴上的椭圆 7.在下列命题中,真命题是(
2

)

B.焦点在 x 轴上的双曲线 D.焦点在 y 轴上的双曲线 )
2

A. “x=2 时,x -3x+2=0”的否命题; B.“若 b=3,则 b =9”的逆命题; C.若 ac>bc,则 a>b; A.充分不必要条件; C.充要条件 ;
3

D.“相似三角形的对应角相等”的逆否命题 ) B.必要不充分条件 ; D.既不充分也不必要条件 )

8.已知 P:|2x-3|<1, Q:x(x-3)<0, 则 P 是 Q 的(

9.函数 f(x)=x -ax+1 在区间(1,+ ? )内是增函数,则实数 a 的取值范围是( A.a<3 ; B.a>3 ;
2

C.a ? 3;

D.a ? 3

10.已知 M 为抛物线 y ? 4 x 上一动点, F 为抛物线的焦点,定点 P?3 , 1? ,则

| MP | ? | MF | 的最小值为(
A.3 B.4

) C.5 D.6 ( )

11.函数 f ( x) ? 2 x ? sin x 在 (??,??) 上

A.是增函数

B.是减函数

C.有最大值

D.有最小值

12.已知函数 f(x)的导函数 f ?? x ? 的图像如左图所示,那么函数 f ?x ? 的图像最有可能的 是( )

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,请把答案写到答题卡上 13. f ?( x ) 是 f ( x) ? sin x 的导函数,则 f ?(0) 的值是 14.若抛物线 y ? 2 px 的焦点与双曲线
2

. .

x2 ? y 2 ? 1 的左焦点重合,则实数 p = 3

15. 命题“若 a ? 3 ,则 a ? 5 ”的逆命题是____________________ 16.有下列四个命题: (1) “若 b ? 3 ,则 b2 ? 9 ” ; (2) “全等三角形的面积相等”的逆否命题; (3) “若 c ? 1 ,则 x2 ? 2 x ? c ? 0 有实根” ; (4) “若 A ? B ? A ,则 A ? B ” 。 其中为真命题的是________________(所有的真命题序号都写上) 三.解答题:本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 17. (本小题满分 12 分) 已知数列 {an } 是一个等差数列,且 a2 ? 1 , a5 ? ?5 。 (Ⅰ)求 {an } 的通项 an ; (Ⅱ)求 {an } 前 n 项和 Sn 的最大值.

18. (本小题满分 12 分) 某种汽车购买时费用为 14.4 万元,每年应交付保险费、养路费及汽油费共 0.9 万元, 汽车的维修费为:第一年 0.2 万元,第二年 0.4 万元,第三年 0.6 万元,……,依等差数列 逐年递增. (Ⅰ)设使用 n 年该车的总费用(包括购车费用)为 f(n),试写出 f(n)的表达式; (Ⅱ)求这种汽车使用多少年报废最合算(即该车使用多少年平均费用最少) 。

19.(本题满分 10 分) 已知函数 f ( x) ? x ? c 的图象经过点 A(1, 2) .
2

(I)求 c 的值; (II)求 f ( x) 在 A 点处的切线方程.

20. (本小题满分 12 分) 设 x=1 和 x=2 是函数 f(x)=alnx+bx +x 的两个极值点 (1)求 a,b 的值; (2)求 f(x)的单调区间。
2

21. (本小题满分 12 分) 已知椭圆的两焦点是 F1(0,-1),F2(0,1),离心率 e= (1)求椭圆方程; (2)若 P 在椭圆上,且|PF1|-|PF2|=1,求 cos∠F1PF2。
1 2

22. (本小题满分 12 分) 已知椭圆中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e= 若 OP⊥OQ,求椭圆方程。(O 为原点)。
3 ,它与直线 x+y+1=0 交于 P、Q 两点, 2

许昌市 2011—2012 学年第一学期期末部分学校联考试卷 高二数学(文科)参考答案及评分建议 1B 2D 3A 4D 5A 6D 7D 8A 9C 10B 11A 12A 13.0 14.-4 15.若 a ? 5 ,则 a ? 3 16 (1)(2)(3) 17、 (本小题满分 12 分)解: (Ⅰ)设 ?an ? 的公差为 d ,由已知条件, ? 出 a1 ? 3 , d ? ?2 . 所以 an ? a1 ? (n ?1)d ? ?2n ? 5 . (Ⅱ) S n ? na1 ?

?a1 ? d ? 1 ,解 ?a1 ? 4d ? ?5

n(n ? 1) d ? ?n 2 ? 4n ? 4 ? (n ? 2)2 .前两项和最大为 4 2

18.(本小题满分 12 分) (Ⅰ)依题意 f(n)=14.4+(0.2+0.4+0.6+…+0.2n)+0.9n

? 14.4 ?

0.2n(n ? 1) ? 0.9n 2

? 0.1n 2 ? n ? 14.4

(Ⅱ)设该车的年平均费用为 S 万元,则有

S?

1 1 f (n) ? (0.1n 2 ? n ? 14.4) n n n 14.4 ? ? ? 1 ? 2 1.44 ? 1 10 n

? 2 ?1.2 ? 1 ? 3.4
19. (本小题满分 10 分)解: (I)因为图象过 A(1, 2) , 所以 f (1) ? 12 ? c ? 2 …2 分.

? c ? 1 .……3 分
(II)由(I)得 f ( x) ? x 2 ? 1 ………………4 分 ∴ f ? ? x ? ? 2x . …… 6 分 ∴ f ? ?1? ? 2 . … 7 分 ∴ y ? 2 ? 2( x ? 1) 即
?a ? 2b ? 1 ? 0 ? ?1 ? 2 a ? 4b ? 1 ? 0 ?

y ? 2 x .……10 分
20. (本小题满分 12 分) (1) f ?( x ) ?
2 ? ?a ? ? 3 ? ? ?b ? ? 1 ? 6 ?

a ? 2bx ? 1 x

f ?(1) ? 0

f ?( 2) ? 0

2 1 ? x ? 1 ? 0( x ? 0) x 2 ? 3 x ? 2 ? 0( x ? 0) 1 ? x ? 2 3x 3 ∴f(x)在(2,+∞)及(0,1)上是减函数,在(1,2)上为增函数

(2) f ?( x ) ? ?

21. (本小题满分 12 分)(1)c=1
?| PF 2 | ? | PF1 |? 1 (2) ? ?| PF 2 | ? | PF1 |? 4

c 1 ? a 2 5 ? | PF 2 |? ? ? 2 ?? ?| PF |? 3 1 ? 2 ?
x2

a?2

b? 3

椭圆方程为

y2 x2 ? ?1 4 3

5 3 ( )2 ? ( )2 ? 22 3 2 cos ?F1 PF 2 ? 2 ? 5 3 5 2? ? 2 2
y2

? 3 c? a ? c 3 ? 2 22. (本小题满分 12 分)设椭圆方程为 2 ? 2 ? 1 ,由 ? 得? a 2 a b ?b ? 1 a ? 2 ?

∴椭圆方程为 设

x2 4b 2

?

y2 b2

? 1 ,即 x +4y =4b

2

2

2

P(x1,y1),Q(x2,y2),





OP



OQ

?

x1x2=-y1y2

? ? y ? ?1 ? x ? 5 x 2 ? 8 x ? 4 ? 4b 2 ? 0 ? 2 2 2 ? ? x ? 4 y ? 4b

1 5 2 4 ? 4b 8 1 ? 4b 2 = ? (? ) ? 1 ? 5 5 5 2 2 4 ? 4b 1 ? 4b ∴ ? ?0 5 5

由 △ >0 ? b >

2

x1x2=

4 ? 4b 2 5

y1y2=(x1+1) (x2+1)=x1x2+x1+x2+1

b=

2

5 1 ? 8 5

∴椭圆方程为

x2 y2 ? ?1 5 5 2 8


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