koorio.com
海量文库 文档专家
当前位置:首页 >> 数学 >>

正切函数的图像与性质第一课时PPT课件-人教A版数学高一必修4第一章1.4.3_图文


第一章 三角函数 1.4 三角函数的图象与性质
1.4.3正切函数的图象与性质

学习目标
? 1. 会用单位圆中的正切线作正切函数的图 象,会用描点法作正切函数的简图. ? 2.掌握正切函数的性质,会求正切函数的 定义域、值域及周期,会用函数的图象与 性质解决综合问题.(重点、难点)

新知探究
正切函数的图象
【问题导思】

1.我们能用“五点法”简便地画出正弦、余弦函数的简图, 你能类似地画出函数 y=tan
? π π? ? - , x,x∈? ? 2 2?的简图吗?怎样画. ? ?

【提示】

?π ? ? π ? 能.三个关键点:?4,1?(0,0),?-4,-1?,两条 ? ? ? ?

π π 平行线:x=2,x=-2.

π y=tan x(x∈R 且 x≠2+kπ,k∈Z)的图象

图 1-3-7

正切函数的性质
π 1.正切函数的定义域为 x∈R,且 x≠2+kπ,k∈Z.
. 2.诱导公式 tan(π+x)=tan x 说明了正切函数的 周期性性质 . 3.诱导公式 tan(-x)=-tan x 说明了正切函数的奇偶性 性质

4.y=tan x 的性质

(1)定义域是 . (2)值域是 R,即正切函数既无最大值,也无最小值. (3)周期性:正切函数是周期函数,最小正周期是 π. (4)奇偶性:正切函数是 奇函数 . (5)单调性:正切函数在每一个开区 π π 间 kπ-2,kπ+2(k∈Z) 内都是增函数.

? ? ? π ?x?x≠kπ+ 2 ? ? ?

? ? ,k∈Z? ? ?

典例剖析
与正切函数有关的定义域问题
【例 1】求函数 y= tan x+1+lg(1-tan x)的定义域.

【分析】 由函数定义,得关于“tan x”的不等式组,结合正 切函数的性质,求 x 的取值范围.

? ?tan x+1≥0 【解析】 由题意得? ,即-1≤tan x<1. ? ?1-tan x>0 在
? π π? ? - , x∈? ? 2 2?时,x ? ? ? π π? ? - , 的范围为? ? 4 4?. ? ?

又 y=tan x 的周期为 π,
? π π? ? ∴函数的定义域为?kπ-4,kπ+4? ?,k∈Z. ? ?

【方法探究】 1.求三角函数参与构成的函数的定义域,自变量必须满足以 π 下几个方面:(1)若函数含有 tan x,则 x≠ +kπ,k∈Z.(2)分式形 2 式的分母不等于零 .(3)偶次根式的被开方数不小于零 .(4)对数式 中真数大于零. 2.此类问题常常归结为解三角不等式(组)问题,这时可以利 用基本三角函数的图象或单位圆中的三角函数线直观地求解集.

跟踪训练 1 求下列函数的定义域: 1 (1)y= ;(2)y=lg( 3-tan x). 1+tan x
1 解 (1)要使函数y= 有意义, 1+tan x 1+tan x≠0, ? ? 只需? π x≠ +kπ ? ? 2 (k∈Z).

∴函数的定义域为 ? ? π π ? ? ?x|x∈R,x≠kπ+ 且x≠kπ- ,k∈Z?. 2 4 ? ? ? ?

(2)由 3-tan x>0,得tan x< 3. π π 根据正切函数图象,得- +kπ<x< +kπ (k∈Z), 2 3 ? ? π π ? ? ? ∴函数的定义域是 x|-2+kπ<x<3+kπ,k∈Z?. ? ? ? ?

正切函数的单调性及应用
【例 2】 (1)比较下列两个数的大小(用“>”或“<”填空): 2π 10π ①tan ________tan . 7 7
? 13π? 6π ? - ②tan ________tan? ? ?. 5 5 ? ?

(2)求函数

?π ? ? y=3tan?4-2x? ?的单调区间. ? ?

【分析】

(1)首先把角转化到同一单调区间上,再根据单

调性比较大小;(2)运用整体代换的思想求单调区间. 10 3 3 【解析】 (1)①tan π=tan(π+ π)=tan π. 7 7 7
? π? 2 3π π 2 ? ? ∵0< π< < ,且 y=tan x 在?0,2?上单调递增,∴tan π 7 7 2 7 ? ?

3 2π 10π <tan π.即 tan <tan . 7 7 7

6 π π ②tan π=tan(π+ )=tan , 5 5 5
? 13 ? 2 2 tan?- 5 π?=tan(-3π+5π)=tan5π. ? ? ? π? π 2π π ∵0<5< 5 <2且 y=tan x 在?0,2?上单调递增, ? ?

π 2π 6 13π ∴tan <tan ,即 tan π<tan(- ). 5 5 5 5

【答案】 ①< ②< π π (2)令 z= -2x,则 y=3tan( -2x)=3tan z. 4 4 由于函数 y=3tan z
? π ? π ? 在?-2+kπ,2+kπ? ?(k∈Z)上是增函数, ? ?

π π π π 且 z= -2x 是减函数得:- +kπ< -2x< +kπ,k∈Z,即- 4 2 4 2 π kπ 3π kπ - <x< - ,k∈Z. 8 2 8 2

所以函数

?π ? ? π kπ 3π kπ? y=3tan?4-2x?的单调减区间为?-8- 2 , 8 - 2 ? ? ? ? ?

π kπ 3π kπ (k∈Z),也即(-8+ 2 , 8 + 2 )(k∈Z),无单调增区间.

【方法探究】 1.比较正切函数大小的步骤: (1)运用诱导公式将角化到同一单调区间内; (2)运用单调性比较大小关系. 2.对于求函数 y=Atan(ωx+φ)(A、ω、φ 为常数)的单调区间 π 问题,可先由诱导公式把 x 的系数化为正值,再由 kπ- <ωx+ 2 π φ<kπ+ ,求得 x 的范围即可. 2

跟踪训练 2: (1)求函数 (2)比较
?π x? ? - y=3tan? ?6 4?的单调区间及周期; ? ? ? 13π? ? - tan? ? ?的大小. 7 ? ?

? 6π? ? - tan? ? ?与 5 ? ?

π x π π 【解】 (1)由 kπ-2<4-6<kπ+2(k∈Z)? 4π 8π 4kπ- 3 <x<4kπ+ 3 (k∈Z),
? x π? ? 4π 8π? 3tan?4-6?在?4kπ- 3 ,4kπ+ 3 ?(k∈Z)内单调递增, ? ? ? ? ?π x ? ? 4π 8π? ∴y=3tan?6-4?在?4kπ- 3 ,4kπ+ 3 ?(k∈Z)内单调递减. ? ? ? ?

π π ∵T=|ω|,∴T=1=4π, 4 即周期为 4π.

? 6π? ? ? π? π? (2)∵tan?- 5 ?=tan?-π-5?=tan?-5?, ? ? ? ? ? ? ? 13π? ? π? π ? ? ? ? tan - 7 =tan -2π+7 =tan7, ? ? ? ?

又函数 y=tan x

? π π? 在?-2,2?上是增函数, ? ?

π π π π 而- <- < < . 2 5 7 2
? π? π ? ? ∴tan -5 <tan7,即 ? ? ? 6π? ? 13π? tan?- 5 ?<tan?- 7 ?. ? ? ? ?

正切函数图象的应用
【例 3】画出函数 y=|tan x|的图象,并根据图象判断其单调 区间、奇偶性、周期性.
【分析】 画 y=tan x 图象→y=|tan x|图象→研究性质

【解析】 由 y=|tan x|得, π ? kπ≤x<kπ+ ?k∈Z?, ?tan x, 2 y=? ?-tan x, -π+kπ<x<kπ?k∈Z?, 2 ? 其图象如图:

由图象可知,函数 y=|tan x|是偶函数, 函数 y=|tan x|的周期 T=π. 函数 y=|tan
? π? x|的单调递增区间?kπ,kπ+2?(k∈Z), ? ?

? ? π 递减区间为?kπ-2,kπ?(k∈Z). ? ?

【方法探究】 1.可用“三点两线法”作正切函数的简图:“三点”是指点
? π ? ?π ? ? ? ? ? - ,- 1 , 1 , (0,0) , ? 4 ? ?4 ?,“两线”是指直线 ? ? ? ?

π π x=- ,x= . 2 2

2.为了画出函数图象,有时需对给出的函数式进行变形、化 简,在变形、化简过程中一定要注意等价变形.

变式训练 3: 若把例题中“函数 y=|tan x|”改为“函数 y=tan|x|”,请回 答同样的问题.

【解】 f(x)=tan|x|化为 π ? x≠kπ+2,x≥0?k∈Z? ?tan x, f(x)=? π ?-tan x, x≠kπ+2,x<0?k∈Z? ?

根据 y=tan x 的图象,作出 f(x)=tan|x|的图象, 如图所示:

由图象知, f(x) 不是周期函数,是偶函数,单调增区间为 ? ? π ? π? ? π 3 ? ?0, ? , ?kπ+ ,kπ+ π? (k ∈ N) ; 单 调 减 区 间 为 ?- ,0? , 2? ? 2 2 ? ? ? 2 ? ? 3 π? ?kπ- π,kπ- ?(k=0,-1,-2,?). 2 2? ?

易错警示
误认为正切函数在定义域内是增函数致误 关于正切函数的单调性,有下列命题: ①正切函数 y=tan x 是增函数; ②正切函数 y=tan x 在其定义域上是增函数;
? π ? π ③正切函数 y=tan x 在每一个开区间?-2+kπ,2+kπ?(k∈Z)内是 ? ?

增函数; ④正切函数 y=tan x
? π ? ?π ? 在?0,2?∪?2,π?上是增函数. ? ? ? ?

其中正确的是________(填序号).

【错因分析】 不能正确理解每个区间段内递增, 与整个定 义域内是否为增函数的联系.

【易错警示】

π 正切函数的图象被直线 x=kπ+ (k∈Z)隔 2

? π π? ? 开,所以它的单调区间只在?kπ-2,kπ+2? ?(k∈Z) 内,而不能说 ? ?

它在定义域内是增函数.

π 【正解】 (1)正切函数在定义域内不是增函数,如 x1=4, 5 x2=4π,x1<x2,但 tan x1=tan x2;(2)正切函数在每一个开区间内 π 3 图象从左向右是上升的,故③正确;(3)令 x1= ,x2= π,虽有 4 4 x1<x2,但 tan x1>tan x2,故④错误.从而正确的命题只有③.
【答案】 ③

1.正切函数的图象: π 正切曲线有无数多条渐近线,渐近线方程为 x=kπ+ ,k∈Z. 相邻 2 两条渐近线之间都有一支正切曲线,且单调递增. 2.正切函数的性质: π (1)函数 y=tan x 的定义域为{x|x≠kπ+ ,k∈Z},值域为 R. 2 (2)函数 y=tan x 的最小正周期为 π,函数 y=Atan(ωx+φ)(Aω≠0)的 π 最小正周期为 . |ω|
? π ? π ? (3)正切函数在整个定义域内不具有单调性, 但在?-2+kπ,2+kπ? ?(k ? ?

∈Z)上递增,正切函数无单调减区间.

当堂检测
1.f(x)=tan(x+π)是( A.奇函数 C.既是奇函数又是偶函数 ) B.偶函数 D.非奇非偶函数

【解析】 f(x)=tan(x+π)=tan x, 由 tan(-x)=-tan x 知 f(x) 为奇函数.
【答案】 A

2.(2014· 济南高一检测)函数 是( )
? ? π A.?kπ-4,0?,k∈Z ? ? ?kπ π ? C.? 2 -8,0?,k∈Z ? ?

? π? y=tan?2x+4?的图象的对称中心 ? ?

?kπ π ? B.? 2 -4,0?,k∈Z ? ? ?kπ π ? D.? 4 -8,0?,k∈Z ? ?

π kπ kπ π 【解析】 由 2x+4= 2 (k∈Z),得 x= 4 -8(k∈Z).∴函数
? ?kπ π ? π? y=tan?2x+4?的对称中心是? 4 -8,0?,k∈Z. ? ? ? ?

【答案】

D

3.函数 π A.6

? π? y=tan?2x+6?的最小正周期为( ? ?

)

π B.2

C.π

D.2π

π 【解析】 易知 T=2.
【答案】 B

4.求函数
【解】

π π kπ 5π 令 3x- ≠kπ+ (k∈Z),得 x≠ + (k∈Z), 3 2 3 18
? ? ? kπ ?x?x∈R,且x≠ 3 ? ? ? ? ? 5π + ,k∈Z?. 18 ? ?

? π? y=tan?3x-3?的定义域,并指出它的单调性. ? ?

∴函数的定义域为

π π π 令 kπ- <3x- <kπ+ (k∈Z), 2 3 2 kπ π kπ 5π 即 3 -18<x< 3 +18(k∈Z).
?kπ π kπ 5π? ∴函数的单调递增区间为? 3 -18, 3 +18?(k∈Z), ? ?

无单调递减区间.

课后延伸
已知函数 f(x)=x2+2xtanθ-1, x∈[-1, 3],其中
? π π? ? - , θ∈? ? 2 2?. ? ?

π (1)当 θ=- 时,求函数 f(x)的最大值与最小值. 6 (2)求 θ 的取值范围,使 y=f(x)在区间[-1, 3]上是单调函数.

【分析】 (1)转化为二次函数求最值;(2)先求出 tan θ 的取 值范围,进而求出 θ 的取值范围. π 【解析】 (1)当 θ=- 时, 6
? 2 3 3? ? ?2 4 f(x)=x - x-1=?x- ? - , 3 3? 3 ?
2

x∈[-1, 3], 3 4 ∴当 x= 时,f(x)的最小值为- ; 3 3 2 3 当 x=-1 时,f(x)的最大值为 . 3

(2)函数 f(x)=(x+tan θ)2-1-tan2 θ 的图象的对称轴为 x=- tan θ. ∵y=f(x)在区间[-1, 3]上是单调函数, ∴-tan θ≤-1 或-tan θ≥ 3,即 tan θ≥1 或 tan θ≤- 3, 又
? π π? θ∈?-2,2?, ? ?

∴θ

? π π ? ?π π ? 的取值范围是?-2,-3?∪?4,2?. ? ? ? ?


推荐相关:

...带答案)-人教A版数学高一必修4第一章1.4.3.doc

正切函数的图像与性质第一课时习题(带答案)-人教A版数学高一必修4第一章1.4.3_数学_高中教育_教育专区。正切函数的图像与性质第一课时习题与答案-人教A版数学...


2018版高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图....ppt

2018版高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象课件人教A版必修4_数学_高中教育_教育专区。第一章 §1.4 三角函数的图象与性质 1.4.3 正切函数的...


高中数学人教A版必修4课件:1.4.3 正切函数的性质与图像.ppt

高中数学人教A版必修4课件:1.4.3 正切函数的性质与图像_数学_高中教育_教育专区。1.4.3 正切函数的性质与图象 [提出问题] 问题 1:正切函数 y=tan x 的定义...


高一数学必修4课件:1.4.3_正切函数的性质与图像(新人教....ppt

高一数学必修4课件:1.4.3_正切函数的性质与图像(新人教A版) - 副本 - 高一数学必修4第一章 1.4.3 正切函数的性质与图象 探求新知 y ? 5? 2 ? 3? 2....


...版必修四课件:第一章 1-4 1-4-3 正切函数的性质与图....ppt

高中数学人教版必修四课件:第一章 1-4 1-4-3 正切函数的性质与图像 1.4.3 正切函数的性质与图象 [...


高中数学人教A版必修4课件:1.4.3-正切函数的性质与图像.ppt

高中数学人教A版必修4课件:1.4.3-正切函数的性质与图像 - 1.4.3 正切函数的性质与图象 [提出问题] 问题 1:正切函数 y=tan x 的定义域是什么? ? ? π ?...


高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象课件....ppt

高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象课件人教A版必修4(1) - 1.4.3 正切函数的性质与图象 学习目标思维脉络 1.能借助单位圆中的正切线画出 y...


高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象课件....ppt

高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象课件4新人教A版必修4 - 1.4.3正切函数的性质与图象 三角函数线 y o y M o P T P ? ? P M y o ....


高一数学人教A版必修4课件:1.4.3 正切函数的性质与图象.ppt

高一数学人教A版必修4课件:1.4.3 正切函数的性质与图象_数学_高中教育_教育专区。第一章 三角函数 §1.4 三角函数的图象与性质 内容 索引 01 明目标 知重点 ...


2017年高中数学必修4课堂同步学案第一章 1.4 1.4.3 正....ppt

2017年高中数学必修4课堂同步学案第一章 1.4 1.4.3 正切函数的性质与图像_数学_高中教育_教育专区。1.4 第一章 三角函数的图像与性质 1 理解教 材新知 1.4. ...


...人教A版必修4课件:1.4.3 正切函数的性质与图象.ppt

2018-2019学年高一数学人教A版必修4课件:1.4.3 正切函数的性质与图象_数学_高中教育_教育专区。第一章 1.4 三角函数 三角函数的图象与性质 正切函数的性质与图象...


高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象课件....ppt

高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的性质与图象课件人教A版必修4 - 1.4.3 正切函数的性质与图象 预习课本P42~45,思考并完成以下问题 (1)正切函数有哪些...


1.4.3《正切函数的性质与图象》课件4-优质公开课-人教A....ppt

1.4.3《正切函数的性质与图象》课件4-优质公开课-人教A版必修4精品 - 第一章 三角函数 第一章 1. 4 三角函数的图象与性质 第一章 1.4.3 正切函数的性质...


...数学第一章三角函数1.4.3正切函数的图象和性质(1)课....ppt

2017_2018学年高中数学第一章三角函数1.4.3正切函数的图象和性质(1)课件人教A版必修4 - §1.4.3 正切函数的图象和性质 (一) 我们的目标 1、掌握利用正...


高一数学必修4课件 1.4.3正切函数的图象与性质.ppt

高一数学必修4课件 1.4.3正切函数的图象与性质_数学...y 思考:如何画出


高一数学必修4课件:1.4.3 正切函数的性质与图像(新人教....ppt

高一数学必修4课件:1.4.3 正切函数的性质与图像(新人教A版)_高一数学_数学_高中教育_教育专区。高一数学必修4第一章 1.4.3 正切函数的性质与图象 探求新知 y...


高中数学人教A版必修4课件:1.4.3 正切函数的性质与图像.ppt

高中数学人教A版必修4课件:1.4.3 正切函数的性质与图像_数学_高中教育_教育专区。1.4.3 正切函数的性质与图象 [提出问题] 问题 1:正切函数 y=tan x 的定义...


高一数学必修4课件 1.4.3正切函数的图象与性质.ppt

高一数学必修4课件 1.4.3正切函数的图象与性质_高一数学_数学_高中教育_教育专区。 探究(一):正切函数的性质 思考1:正切函数的定义域是什么? { x | x ? R...


数学必修4(1.4.3正切函数的图象与性质课件).ppt

数学必修4(1.4.3正切函数的图象与性质课件)_高中教育_教育专区。高中数学必修4(1.4.3正切函数的图象与性质课件) 1.4.3 正切函数的图象与性质 问题提出 1.正、...


1.4.3正切函数的图像与性质课件(新人教A版必修4).ppt

1.4.3正切函数的图像与性质课件(新人教A版必修4) - 1.4.3 正切函数 的图象和性质 复习回顾 .正弦余弦函数的作图: 几何描点法(利用三角函数线) 五点法作...

网站首页 | 网站地图
All rights reserved Powered by 酷我资料网 koorio.com
copyright ©right 2014-2019。
文档资料库内容来自网络,如有侵犯请联系客服。zhit325@126.com