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线性代数 习题

习题:

1.矩阵的初等变换 (利用初等变换的矩阵语言) 6.
? 1 0 0 ? ? 1 1 ?1? ? 1 0 0 ? ? ? ? ?? ? ?0 1 1? ?3 1 2 ? ?0 1 1? ? ?0 0 1? ?0 1 1 ? ?0 0 1? ? ? ? ?? ?
3

? ? ? ? ?

? ? ? ? ?

10.设 A为3阶矩阵,将A的第二行加到第一行得 到B,再将B 的第一列的 (?1) 倍加到第 2 列得到 C,记
?1 1 0? ? ? P ? ?0 1 0? ?0 0 1? ? ?
(A) C ? P ?1 AP 则: ( B) C ? PAP ?1

(C) C ? PT AP

( D)

C ? PAPT

补充: (★利用初等变化的方法求 P,逆矩阵,矩阵方程的解)

设 A= (1)

? 2 ?1 ?1 ? ? ? 1 1 ? 2 ? ? ? 4 ?6 2 ? ? ?

的行最简型矩阵为 F,求 F 并且求一个

可逆矩阵 P 使得 PA=F

设 A=, (2)

? 0 ?2 1 ? ? ? 3 0 ? 2 ? ? ? ?2 3 0? ? ?

证明 A 可逆并求 A 的逆矩阵

(3)求矩阵方程 AX=B 的解,其中 A 为 ? 2 1 ?3 ? ,B 为 ? 1 ?1? ? ? ? ? ? 2 0? ? 1 2 ?2 ? ? ?2 5 ? ? ?1 3 2 ? ? ? ? ?

2.矩阵的秩 (利用秩的定义) 10.设 A,B 均为 n 阶非零矩阵,且 AB=0,则 A 和 B 的秩( (A) 必有一个等于零 (C) 都等于 n )

(B)一个等于 n,一个小于 n (D) 都小于 n

13.A 是 m×n 矩阵, r(A)=r 则 A 中必(

)

(A)没有等于零的 r-1 阶子式至少有一个 r 阶子式不为零 (B)有不等于零的 r 阶子式所有 r+1 阶子式全为零 (C)有等于零的 r 阶子式没有不等于零的 r+1 阶子式 (D)任何 r 阶子式都不等于零任何 r+1 阶子式都等于零 (利用初等行变换求秩或者已知秩求未知数)
?1 1 1 ? ? ? 1 ? 的秩为 2,则 ? =( 25.设矩阵 A= ? 1 2 ?2 3 ? ? 3? ? ?



A.2

B.1

C.0

D.-1

(利用秩的性质即不等式或者结论求解经过运算后的矩阵) 设 A 是 3 ? 4 矩阵, 2.
? 0 2 ?1 ? ? ? B ? ?1 1 2? ? ?1 ?1 ?1 ? ? ?
R? A? ? 2,

,则 R?BA? ? ________

7.

设 ai ? 0, bi ? 0, i ? 1, 2,3,

则 矩 阵

? a1 b1 ? A ? ? 2a 1 b ?a b ? 3 1

a1 b2 ? a 的 秩 1 b3 ? 2a 2b ? 2a 3b a3 b2 ? ? a3 b3





补充: (利用初等行变换求秩或者已知秩求未知数;同 25)

(1)



? 1 ?2 3k ? ? ? A=,问 k 为何值时,可以使得: ? 1 2 k ? 3 ? ? ? k ?2 3 ? ? ?

(i)R(A)=1

(ii) R(A)=2

(iii) R(A)=3

3. 线性方程组的解 (利用已知条件判断解的情况) 8.n 元线性方程组 AX=b,r(A,b)<n,那么方程 AX=b (A)无穷多组解 (B)有唯一解 (C)无解 ) (D)不确定

20.对于 n 元方程组,正确的命题是( (A)如 AX=0 只有零解, 则 AX=b 有唯一解 (B)AX=0 有非零解, 则 AX=b 有无穷解 (C)AX=B 有唯一解的充要条件是 A ? 0

(D)如 AX=b 有两个不同的解, 则 AX=b 有无穷多解

32.R(A)=n 是 n 元线性方程组 AX=b 有唯一解( (A)充分必要条件 (B) 充分条件 补充:

)

(C) 必要条件 (D) 无关的条件

(★已知解的情况利用解的充要条件求解方程组未知数) (1)设有线性方程组

问 ? 为何值时,

?(1 ? ? ) x1 ? x2 ? x3 ? 0 ? ? x1 ? (1 ? ? ) x2 ? x3 ? 3 ? x ? x ? (1 ? ? ) x ? ? 3 ? 1 2

此方程组(1)有唯一解(2)无解(3)有无限多解,并在有无限多解时求通解

4. 向量组及其线性组合& 5. 向量组的线性相关性&6.向量组的秩 (★已知向量组线性无关求解其经过运算后的相关性) 5.已知向量组 ?1 ,? 2 ,? 3 ,? 4 线性无关则向量组 ( (A) ?1 ? ? 2 ,? 2 ? ? 3 ,? 3 ? ? 4 ,? 4 ? ?1 线性无关 (B) ?1 ? ? 2 ,? 2 ? ? 3 ,? 3 ? ? 4 ,? 4 ? ?1 线性无关 (C) ?1 ? ? 2 ,? 2 ? ? 3 ,? 3 ? ? 4 ,? 4 ? ?1 线性无关 (D) ?1 ? ? 2 ,? 2 ? ? 3 ,? 3 ? ? 4 ,? 4 ? ?1 线性无关 )

补充: (1)已知向量组 a1 , a2 , a3 线性无关, b1 ? a1 ? a2 , b2 ? a2 ? a3, b3 ? a3 ? a1 ,
求证向量组 b1 , b2 , b3 线性无关

(关于线性无关相关的各种判定—根据秩与向量个数;小大相关等) 4.设 A 为 n×n 阶矩阵,如果 r(A)<n , 则 (A) A 的任意一个行(列)向量都是其余行(列)向量的线性组合 (B) A 的各行向量中至少有一个为零向量 (C)A 的行(列)向量组中必有一个行(列)向量是其余各行(列)向 量的线性组合 (D)A 的行(列)向量组中必有两个行(列)向量对应元素成比例 6.下列说法不正确的是( )

(A) 如 果 r 个 向 量 ?1, ? 2, ?, ? r 线 性 无 关 , 则 加 入 k 个 向 量
?1, ? 2, ?, ? k 后,仍然线性无关

(B) 如果 r 个向量 ?1, ? 2, ?, ? r 线性无关,则在每个向量中增加 k 个分量后所得向量组仍然线性无关 (C)如果 r 个向量 ?1, ? 2, ?, ? r 线性相关,则加入 k 个向量后,仍然 线性相关

(D)如果 r 个向量 ?1, ? 2, ?, ? r 线性相关,则在每个向量中去掉 k 个 分量后所得向量组仍然线性相关 7.设 A 是 m×n 矩阵,齐次线性方程组 AX=0 仅有零解的充分必要条 件是( )

(A)A 的列向量线性无关 (B)A 的列向量线性相关 (C)A 的行向量线性无关 (D)A 的行向量线性相关

11.下列命题正确的是(

)

(A) 若向量组线性相关, 则其任意一部分向量也线性相关 (B) 线性相关的向量组中必有零向量 (C) 向量组中部分向量线性无关, 则整个向量组必线性无关 (D) 向量组中部分向量线性相关, 则整个向量组必线性相关

19.若向量 ? 可由向量组 ?1 ,? 2 ,?,? s 线性表出,则(

)

(A) 存在一组不全为零的数 k1 , k 2 ,?, k s , 使等式 ? ? k1?1 ? k 2? 2 ? ? ? k s? s 成立 (B) 存在一组全为零的数 k1 , k 2 ,?, k s , 使等式 ? ? k1?1 ? k 2? 2 ? ? ? k s? s 成 立 (C)向量 ? ,?1 ,? 2 ,?,? s 线性相关 (D) 对 ? 的线性表示不唯一

21.设矩阵 Am?n 的秩为 r(A)=m<n, I m 为 m 阶单位矩阵,下述结论正 确的是() (A)A 的任意 m 个列向量必线性无关 (B)A 的任意个 m 阶子式不等于零 (C)A 通过初等变换, 必可化为( I m ,0)的形式 (D) 若矩阵 B 满足 BA ? 0 ,则 B ? 0 .

26 . 设 n 维 向 量 组 ?1 ,? 2 ,?,? r ( Ⅰ ) 中 每 一 个 向 量 都 可 由 向 量 组
?1 , ? 2 ,?, ? s (Ⅱ)线性表出,且有 r>s, 则(

)

(A) (Ⅱ)线性无关 (B) (Ⅱ)线性相关(C) (Ⅰ)线性无关(D) (Ⅰ)线性相关

28.矩阵 A 适合条件( (A)A 中任何 r+1 列线性相关 (C) A 中有 r 列线性无关

)时,它的秩为 r (B) A 中任何 r 列线性相关 (D) A 中线性无关的列向量最多有 r 个

(把一个向量表示成向量组的线性组合) 14 .能表成向量 ?1 ? ?0, 0, 0, 1? , ? 2 ? ?0, 1, 1, 1? , ? 3 ? ?1, 1, 1, 1? 的 线性组合的向量是( (A) ) (B)

?0,

0, 1, 1?

?2,

1, 1, 0?

(C)

?2,

3, 1, 0,?1?

(D)

?0,

0, 0, 0,0?

T T T T 8.设 ? ? ?1 2 ? 2? ,?1 ? ?1 1 1? ,? 2 ? ?1 1 ? 1? ,?3 ? ?1 ? 1 1? . 则 ? 是

否为向量组 ?1 ,? 2 ,? 3 的线性组合?

补充: (1) 把向量 ? 表示成向量组 a1 , a2 , a3 , a4的 线 性 组 合 , 其 中
, ? ? (0, 2, 0 ?, 1) a1 ? (1,1,1,1) ,

a2 ? (1,1,1,0)



a3 ? (1,1,0,0)

a4 ? (1,0,0,0)

(求向量组的未知数使得向量组相关或者无关) 14. 设向量组 ?1 ? ?1, k ,?1?,? 2 ? ?k ? 1,2,1?,? 3 ? ?1,?1, k ? , (1) k 为何值时, ?1 , ? 2 线性相关?线性无关? (2) k 为何值时, ?1 ,? 2 ,? 3 线性相关?线性无关? (3) 当 ?1 ,? 2 ,? 3 线性相关时,将 ? 3 表示为 ?1 , ? 2 的线性组合.

18. 设有三维向量

?k ?, ?1?, ?1?, ? 1 ?, 问 k 取何值时, ? ? ? ? ? ? ? ? ?1 ? ? 1 ? ? 2 ? ? k ? ? 3 ? ? 1 ? ? ? ? k ? ?1? ?1? ?2? ?k2 ? ? ? ? ? ? ? ? ?

(1) ?可由 ?1,?2 ,?3 线性表示, 且表达式惟一; (2) ?可由 ?1,?2 ,?3 线性表示, 但表达式不惟一;(3) ?不能由 ?1,?2 ,?3 线性表示.

补充: (★求矩阵最大无关组,利用最大无关组表示其他向量)

(1)

设矩阵 A=

?2 ? ?1 ?4 ? ?3

?1 1 ?6 6

?1 ?2 2 ?9

1 1 ?2 7

2? ? 4? 4? ? 9?

求矩阵 A 的列向量组的一个最大无关组,并把不属于最大无关组 的列向量用最大无关组线性表示

7. 线性方程组解的结构 22.已知 ?1 ,? 2 ,? 3 是齐次线性方程组 AX=0 的基础解系,那么基础解 系还可以是( )

(A) k1?1 ? k 2? 2 ? k3? 3 (B) ?1 ? ? 2 ,? 2 ? ? 3 ,? 3 ? ?1 (C) ?1 ? ? 2 ,? 2 ? ? 3 , (D) ?1 ,?1 ? ? 2 ? ? 3 ,? 3 ? ? 2 ,
补充:

(求齐次和非齐次方程组的基础解系以及通解)
(1) 求齐次线性方程组

的基础解系以及通解

?x1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 0 ? ?2x1 ? 5x 2 ? 3x 3 ? 2x 4 ? 0 ? ?7x1 ? 7x 2 ? 3x 3 ? x 4 ? 0

? (2) 求解方程组 ?x 1 ? x 2 ? x 3 ? x 4 ? 0 ? ? ?x 1 ? x 2 ? x 3 ? 3x 4 ? 1 ? ?x ? x ? 2x ? 3x ? ? 1 2 3 4 ? ? 1 2

8. 方阵的特征值与特征向量 (利用特征值定义 Ax= ? x 求解) 35. B ? P ?1 AP , ?0 是 A,B 的一个特征值, ? 是 A 的关于 ?0 的特征向量, 则 B 的关于 ?0 的特征向量是( ) (A) ? (B) P ? (C) P ?1? (D) P ??

36.A 满足关系式 A2 ? 2 A ? E ? O ,则 A 的特征值是 (A) ? =2 (B) ? = -1 (C) ? = 1 (D) ? = -2

39. 设 A 为三阶矩阵,有特征值为 1,-1,2,则下列矩阵中可逆矩 阵是( (A) E-A ) (B) E+A (C) 2E-A
?2 1 1? ? ? A ? ?1 2 1? ?1 1 2? ? ?

(D) 2E+A

16. 已知向量 ? ? (1, k , 1) 是矩阵
T

的 逆 矩 阵 A ?1 的 特 征

向量,求常数 k

(求解带数值矩阵的特征值) 补充:求矩阵 A= ? ?1 1 0 ? 的特征值和特征向量
? ? ? ?4 3 0 ? ? 1 0 2? ? ?

(利用特征值的结论 iii)
1 34.A= ? ? ? 1? , 则 ? 2I ? 2 A ? A 2 的特征值为( ? ?1 1 ? ? ? ?

) (D) –4,-4;

(A) 2,2;

(B) –2,-2;

(C) 0,0;

11.三阶矩阵 A 的特征值为 ?1 ? 1, ?2 ? 2, ?3 ? 3 ,则 A ? 的特征值为___________。

? ?;A

?1

,A * ,A ?1 ? A 2

(已知特征值求矩阵中未知数 — 代入;利用迹)
0 37. 已知-2 是 A= ? ? ? 2 ? 2 ? 的特征值, 其中 b≠0 的任意常数, ? x ? 2? ? 2 ?? 2 2 b ? ? ?

则 x=( (A) 2

) (B) 4
4

(C) -2

(D) -4 )

7 38. 已知矩阵 A= ? ?

? 1? 有特征值 ?1 ? ?2 ? 3, ?3 ? 12, 则 x= ( ? 7 ? 1? ? 4 ?? 4 ? 4 x ? ? ?

(A) 2 补充:

(B) - 4

(C) -2

(D) 4

(1)设 A 是 n 阶矩阵,? ? 2,4,....,2n 是 A 的 n 个特征值,求行列 式 A ? 3E 的值

(已知特征向量求矩阵中未知数— 利用 Ax= ? x) 12. 设 矩 阵 三个特征值.
?k 1 0? 有 一 个 特 征 向 量 为 ? ? A ? ?1 2 1? ?0 1 k ? ? ?

? 1 ? A ? ? 求k 及 的 ? ? 2? ? 1 ? ? ?


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