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江苏省扬州中学2017-2018学年高二上学期10月月考数学试卷


扬州中学 2017-2018 年度上学期高二年级阶段测试





2017-10-7

一、填空题(每小题 5 分,共 14 小题)
1. 空间中,点(2,0,1)位于 平面上(填“xOy” “yOz”或“xOz” )

x2 y 2 ? ? 1 的离心率是 9 4 3.已知两点 A(0,10) ,B(a,-5)之间的距离为 17,则实数 a 的值为
2. 椭圆 4. 过点 (1,0) 且与直线 x ? 2 y ? 2 ? 0 平行的直线方程是 5.圆 x2 ? y 2 ? x ? 2 y ? 20 ? 0 与圆 x 2 ? y 2 ? 25 相交所得的公共弦所在直线方程为

6. 已知点 A(1,3)关于直线 l 的对称点为 B(-5,1),则直线 l 的方程为

x2 y2 ? ? 1 表示焦点在 y 轴上的椭圆,则实数 m 的取值范围是 7 已知方程 m ?1 2 ? m

8. 椭圆

x2 y 2 ? ? 1 上横坐标为 2 的点到右焦点的距离为 16 7

9. 直线 ax ? by ? c ? 0(ab ? 0) 截圆 x 2 ? y 2 ? 5 所得弦长等于 4,则以|a|、|b|、|c|为边长 的三角形一定是 .

10. 若直线 l:y=kx 经过点 P(sin

2? 2? , cos ) ,则直线 l 的倾斜角为 α = 3 3



11. 圆心在直线 y ? ?4 x 上,且与直线 x ? y ? 1 ? 0 相切于点 P(3,?2) 的圆的标准方程 为 .
1

12. 已知圆 x2 ? y 2 ? 4 ,直线 l: y ? kx ? b 与圆交于点 A,B(异于原点 O) ,直线 AO、直 线 l 与直线 BO 的斜率依次成等比数列,则 k=

13. 已知椭圆 C:

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 ,F2 ,点 P 在椭圆 C 上, a 2 b2

线段 PF2 与圆: x2 ? y 2 ? b2 相切于点 Q,若 Q 是线段 PF2 的中点,e 为 C 的离心 率,则

a 2 ? e2 的最小值是______________ 3b

x2 ? y 2 ? 1 上任意一点 M ( x0 , y0 ) 作一半径为 r 的圆 M,过原点 O 向圆 M 14.过椭圆 C: 3
作两条切线,若两条切线的斜率之积为定值,则半径 r ?

二、解答题(共 6 大题,分值 14 分+14 分+14 分+16 分+16 分+16 分)
15.已知圆 C 方程为 x 2 ? y 2 ? 2 x ? 4 y ? m ? 0 。 (1)求 m 的取值范围; (2)若直线 x ? 2 y ? 1 ? 0 与圆 C 相切,求 m 的值。

16. 如图,已知等腰直角三角形 APB 的一条直角边 AP 在 y 轴上,A 点位于 x 轴的下方,B 点位于 y 轴的右方,斜边 AB 的长为 3 2 ,且 A、B 两点在椭圆 C :

x2 y2 ? ? 1(a ? b ? 0) 上。 a2 b2

(1)若点 P(0,1) ,求椭圆方程; (2)若 P(0, t )(t ? R) ,求 A、B 两点在椭圆 C 上 时 t 的取值范围。
2

17. 已知两条直线 l1 : ax ? by ? 4 ? 0 , l 2 : (a ? 1) x ? y ? b ? 0 ,求分别满足下列条件的 a,b 的值: (1)直线 l1 过点(-3,-1),并且直线 l1 与直线 l 2 垂直; (2)直线 l1 与直线 l 2 平行,并且坐标原点到 l1 , l 2 的距离相等。

18.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,已知圆 C : x 2 ? y 2 ? 4 x ? 0 及点 A(?1,0) , B(1, 2) . (1)若直线 l 平行于 AB ,与圆 C 相交于 M , N 两点, MN ? AB ,求直线 l 的方程; (2)在圆 C 上是否存在点 P ,使得 PA2 ? PB 2 ? 12 ?若存在,求点 P 的个数;若不 存在,说明理由.

3

19. 某宾馆在装修时,为了美观,欲将客房的窗户设计成半径为 1m 的圆形,并用四根木条 将圆分成如图所示的 9 个区域,其中四边形 ABCD 为中心在圆心的矩形,现计划将 矩形 ABCD 区域设计为可推拉的窗口. (1)若窗口 ABCD 为正方形,且面积大于 的取值范围; (2)若四根木条总长为 6 m ,求窗口 ABCD 面积的最大值.

1 2 m (木条宽度忽略不计) ,求四根木条总长 4

20. 已知焦距为 2

的椭圆 C:

+

=1(a>b>0)的右顶点为 A,直线 y= 与椭圆

C 交于 P、Q 两点(P 在 Q 的左边) ,Q 在 x 轴上的射影为 B,且四边形 ABPQ 是平行四边形. (1)求椭圆 C 的方程; (2)斜率为 k 的直线 l 与椭圆 C 交于两个不同的点 M,N. (i)若直线 l 过原点且与坐标轴不重合,E 是直线 3x+3y﹣2=0 上一点, 且△EMN 是以 E 为直角顶点的等腰直角三角形,求 k 的值 (ii)若 M 是椭圆的左顶点,D 是直线 MN 上一点,且 DA⊥AM,点 G 是 x 轴上异于点 M 的点,且以 DN 为直径的圆恒过直线 AN 和 DG 的交点,求证: 点 G 是定点.

10 月月考答案
4

1. xOz

2.

5 3

3. ? 8

4. x ? 2 y ? 1 ? 0

5. x ? 2 y ? 5 ? 0

6. 3x ? y ? 4 ? 0

7 (1, )

3 2

8.

5 2

9. 直角三角形

5? 10. 6

11.

? x ? 1? ? ? y ? 4?
2

2

?8

12. ? 1

13.

5 3

14.

3 2
7分

15. 解: (1) m ? 5 (2) m ?

9 7分 5 x2 y2 ? ?1 16.解: (1) 12 4

7分

(2) 0 ? t ?

3 2

7分 7分

17. 解: (1) a ? 2, b ? 2 (2) a ? 2, b ? ?2 或 a ?

2 ,b ? 2 3

7分

18. (1)圆 C 的标准方程为 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,所以圆心 C (2,0) ,半径为 2 . 因为 l∥AB , A(?1,0) , B(1, 2) ,所以直线 l 的斜率为 设直线 l 的方程为 x ? y ? m ? 0 , 则圆心 C 到直线 l 的距离为 d ?

2?0 ?1, 1 ? ( ?1)

2?0?m 2

?

2?m 2



因为 MN ? AB ? 22 ? 22 ? 2 2 , (2 ? m) 2 MN 2 ?2, 而 CM 2 ? d 2 ? ( ) ,所以 4 ? 2 2 解得 m ? 0 或 m ? ?4 , 故直线 l 的方程为 x ? y ? 0 或 x ? y ? 4 ? 0 . 8分 (2)假设圆 C 上存在点 P ,设 P ( x, y ) ,则 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 ,
5

PA2 ? PB2 ? ( x ? 1)2 ? ( y ? 0)2 ? ( x ? 1)2 ? ( y ? 2)2 ? 12 ,
即 x2 ? y 2 ? 2 y ? 3 ? 0 ,即 x2 ? ( y ? 1)2 ? 4 , 因为 | 2 ? 2 |? (2 ? 0)2 ? (0 ? 1) 2 ? 2 ? 2 , 所以圆 ( x ? 2)2 ? y 2 ? 4 与圆 x2 ? ( y ? 1)2 ? 4 相交, 所以点 P 的个数为 2 . 8分
2

19. 解(1)设一根木条长为 xcm ,则正方形的边长为 2 1 ? ? ?

x? 2 ? ? 4? x m ?2?

因为 S四边形ABCD ?

1 1 15 2 ,所以 4 ? x ? ,即 x ? 4 4 2

又因为四根木条将圆分成 9 个区域,所以 x ? 所以 4 2 ? x ? 2 15 ; 7分

2

(2)设 AB 所在木条长为 am , CD 所在木条长为 bm 由条件, 2a +2b ? 6 ,即 a ? b ? 3 因为 a, b ? ? 0,2? ,所以 b ? 3 ? a ? ? 0, 2? ,从而 a, b ? ?1, 2? 由于 AB ? 2 1 ?

b2 a2 b2 a2 , , BD ? 2 1 ? S矩形ABCD ? 4 1 ? ? 1 ? ? 4 ? b2 ? 4 ? a 2 4 4 4 4
8 ? ? a 2 ? b2 ? 2

因为

4?b ? 4?a ?
2 2

?

? a ? b? 8?
2 2

2

?

7 4

当且仅当 a ? b ?

3 7 ? ?1, 2 ? 时, S矩形ABCD ? 2 4
9分

7 2 m 答:窗口 ABCD 面积的最大值为 4

20. 解: (1)由题意可得 2c=2

,即 c=



6

直线 y= 代入椭圆方程可得

+

=1,

解得 x=±a



可得|AB|=a﹣a



由四边形 ABPQ 是平行四边形, 可得|AB|=|PQ|=2a 解得 b= ,a= + =2, =1; 5分 ,

可得椭圆的方程为

(2) (i)由直线 y=kx 代入椭圆方程,可得(1+2k2)x2=4, 解得 x=± ,

可设 M(



) ,

由△EMN 是以 E 为直角顶点的等腰直角三角形, 可设 E(m, ﹣m) ,E 到直线 kx﹣y=0 的距离为 d= 即有 OE⊥MN,|OM|=d, 即为 由 m= =﹣ , = , ,

,代入第二式,化简整理可得 7k2﹣18k+8=0, 5分
7

解得 k=2 或 ;

(ii)证明:由 M(﹣2,0) ,可得直线 MN 的方程为 y=k(x+2) , 代入椭圆方程可得, (1+2k2)x2+8k2x+8k2﹣4=0, 可得﹣2+xN=﹣ ,

解得 xN=



yN=k(xN+2)=

,即 N(



) ,

设 G(t,0) , (t≠﹣2) ,由题意可得 D(2,4k) ,A(2,0) , 以 DN 为直径的圆恒过直线 AN 和 DG 的交点, 可得 AN⊥DG, 即有 kAN?kDG=﹣1, 即为 解得 t=0. 故点 G 是定点,即为原点(0,0) . 6分 ? =﹣1,

8


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