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海南省儋州市第一中学2018-2019学年高一上学期期中考试数学试题(附解析)

2018-2019 学年度第一学期高一年级期中考试试题 数 学

注意事项: 1.本次考试的试卷分为试题卷和答题卷,本卷为试题卷,请将答案和解答写在答题卷指定的位置,在试题 卷和其它位置解答无效. 2.本试卷满分 150 分,考试时间 120 分钟. 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,满分 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题 目要求的) 1.下列关系正确 的是( .. A. 【答案】A 【解析】 由集合与元素的关系可得: 由集合与集合的关系可得: 结合所给选项可知只有 A 选项正确. 本题选择 A 选项. 2.集合 A. 2 个 【答案】B 【解析】 试题分析: 中含有元素 的子集有: ,共四个,故选 B. 的子集中,含有元素 的子集共有 B. 4 个 C. 6 个 D. 8 个 , , B. ) C. D.

考点:集合的子集. 3.已知 A. 3 B. 13 C. 8 则 =( D. 18 )

【答案】C 【解析】 .
-1-

4.若 A. 4,3

则当 B. 3,3

取最小值时,此时 x,y 分别为( C. 3,4 D. 4,4

)

【答案】C 【解析】 【分析】 根据题意,分析可得 y=x 2≥2 【详解】根据题意,y=x 又由 x>2,则 y=(x﹣2) (x﹣2) 2,由基本不等式的性质可得 y=(x﹣2)

2=4,同时可得 x 的值,即可得答案. (x﹣2) 2≥2 2, 2=4,

当且仅当 x﹣2=1 时,即 x=3 时等号成立, 即 x=3,y=4; 故选:C. 【点睛】本题考查了基本不等式的性质,关键是掌握基本不等式的形式. 5.不等式 A. 【答案】B 【解析】 【分析】 分当 a=2 时,符合题意与 a≠2 时,则 a 需满足: 【详解】当 a=2 时,﹣4<0,∴符合题意; ,解得 a 的范围即可. B. C. 对于 恒成立,那么 的取值范围是( D. )

a≠2 时,则 a 需满足:
,解得﹣2<a<2; ∴﹣2<a≤2; 故选 B. 【点睛】考查二次函数的最大值的计算公式,注意讨论二次项的系数是否为 0 的情况,注意结合二次函数图 象,属于中等题. 6.已知
-2-

,其中 a,b 为常数,若

,则

等于(

)

A. -26 【答案】D 【解析】 【分析】

B. -18

C. 10

D. -10

先把 x=﹣2 代入代数式 ax +bx﹣4 得出 8a+2b 的值来,再把 x=2 代入 ax +bx﹣4,即可求出答案. 【详解】∵f(﹣2)=﹣8a﹣2b﹣4=2 ∴8a+2b=﹣6, ∴f(2)=8a+2b﹣4=﹣6﹣4=﹣10 故选:D. 【点睛】本题主要考查了函数的求值问题,在解题时要根据题意找出适量关系是解题的关键. 7.已知不等式 A. C. 【答案】D 【解析】 【分析】 不等式 ax +bx+2>0 的解集为{x|﹣1<x<2},ax +bx+2=0 的两根为﹣1,2,且 a<0,根据韦达定理,我们 易得 a,b 的值,代入不等式 2x +bx+a<0 易解出其解集. 【详解】∵不等式 ax +bx+2>0 的解集为{x|﹣1<x<2}, ∴ax2+bx+2=0 的两根为﹣1,2,且 a<0 即﹣1+2 (﹣1)×2 , ,
2 2 2 2

3

3

的解集为 或 D. B. 或

,则不等式

的解集为(

)

解得 a=﹣1,b=1 则不等式可化为 2x2+x﹣1<0 , 解得 故选:D. 【点睛】本题考查的知识点是一元二次不等式的解法,及三个二次之间的关系,其中根据三个二次之间的关 系求出 a,b 的值,是解答本题的关键. 8.已知函数 使函数值为 5 的 的值是( ) ,

-3-

A. -2 【答案】A 【解析】 【分析】

B. 2 或

C. 2 或-2

D. 2 或-2 或

利用分段函数的性质求解. 【详解】∵函数 y
2

,函数值为 5,

∴当 x≤0 时,x +1=5,解得 x=﹣2,或 x=2(舍) , 当 x>0 时,﹣2x=5,解得 x 故选:C. 【点睛】本题考查函数值的求法,是基础题,解题时要注意分段函数的性质的合理运用. 9.设 A. C. 【答案】A 【解析】 ∵a=4 =2 ,b=8
0.8 1.6 0.46

, (舍) .

,则 B. D.

的大小关系是( )

=2
1.6

1.38

,c=( ) >2 .
1.2

-1.2

=2 ,

1.2

又∵1.6>1.38>1.2,∴2 >2 即 a>b>c.故选 A.

1.38

10.已知 A. C. 【答案】B 【解析】 【分析】 利用配方法,把 f( 【详解】∵f( ∴f(
-4-

,则 B. D.

的解析式是(

)

1)的解析式配方,求出 f(x)的解析式与定义域.

1)=x+2 , 1﹣1 1,

1)=x+2

∴f(x)=x ﹣1; 又∵ 0,∴ 1≥1,

2

∴f(x)的定义域是{x|x≥1}; 即 f(x)的解析式为 f(x)=x2﹣1(x≥1) . 故选:B. 【点睛】本题考查了求函数定义域的问题及函数解析式的求法,解题时应根据函数的解析式特点选择适当的 方法,是基础题. 11.定义在 R 上的偶函数 满足:对任意的 ,有 ,且 ,则不等

式 A. C. 【答案】A 【解析】

解集是( ) B. D.

试题分析:∵对任意的

∈(-∞,0](

) ,有



∴此时函数 f(x)为减函数, ∵f(x)是偶函数,∴当 x≥0 时,函数为增函数, 则不等式 等价为 ,即 xf(x)<0,

∵f(-2)=-f(2)=0, ∴作出函数 f(x)的草图: 则 xf(x)<0 等价为 即 x<-2 或 0<x<2, 故不等式的解集为(-∞,-2)∪(0,2) . 考点:函数单调性的性质 12.已知函数 满足对任意 ,都有 成立,则 的取值范围是 或 ,

A. 【答案】A
-5-

B.

C.

D.

【解析】

试题分析:由题意可得函数为减函数,则有

,解得



考点:函数单调性应用. 二、填空题(每小题 4 分,满分 20 分,将答案填在答题卡上) 13.已知函数 【答案】 【解析】 试题分析:根据题意,由于函数 口向上,可知只要 4 考点:二次函数的单调性 点评:主要是考查了二次函数单调性的运用,属于基础题。 14.若 【答案】 【解析】 【分析】 利用分离参数法即可求解. 【详解】 故 f(x) 故答案为 , . 2 , ,则 的值域是______________________.(请用区间表示) 在区间 即可,故可知答案为 上是减函数,且其对称轴为 x=1-a,那么开 在 上是减函数,则实数 的取值范围是________.

【点睛】本题考查了分式型函数的值域的求法,属于基础题. 15.已知 是定义在 上的偶函数,且 对 恒成立,当 时, ,则

=__________. 【答案】 【解析】 【分析】 利用函数的周期性,可得 f( ) ,再利用奇偶性即可得出. ) .

【详解】f(x+2)=f(x)对 x∈R 恒成立,∴f(
-6-

∵f(x)是定义在 R 上的偶函数, ∴ . ) .

当 x∈[0,1]时,f(x)=2x,则 f( 故答案为: .

【点睛】本题考查了函数的周期性与奇偶性,考查了推理能力计算能力,属于中档题. 16.已知函数 在定义域 上是奇函数又是减函数,若 ,则 的取值范围是_________.

【答案】(-2,1) 【解析】 【分析】 根据定义域先建立两个不等关系式,再结合函数的单调性和奇偶性建立关系式,解之即可. 【详解】因为函数 f(x)的定义域是 所以有﹣3 1﹣m 3 ﹣3 1﹣m2 3 ① ② ,又是奇函数,所以有 =-3,a=5.

又 f(x)是奇函数,所以 f(1﹣m)+f(1﹣m2)<0 可变为 f(1﹣m)<f(m2﹣1) 又 f(x)在(﹣1,1)内是减函数,所以 1﹣m>m ﹣1 由①、②、③得 故答案为(-2,1). 【点睛】本题主要考查了函数单调性与奇偶性的应用,以及不等式的求解,属于中档题. 三、解答题:(本大题共 6 小题,共计 70 分。解答应写出文字说明.证明过程或演算步骤) 17.已知全集 (1)求 (2)求 【答案】 (1) 【解析】 试题分析:集合的交集为两集合的相同元素构成的集合,集合的并集为两集合所有元素构成的集合,集合的 补集为全集中除去集合中的元素,剩余的元素构成的集合,本题(1)中先求得 中先求得 B,C 两集合的补集,再求其并集 试题解析: (1)依题意有: ∴ (2)由
-72





, ; . (2)





.

再求与 A 的并集, (2)

,故有 ;故有



考点:集合的交并补运算 18.求下列函数的定义域 (1) 【答案】(1) 【解析】 【分析】 (1)根据函数成立的条件有 (2)由 ,即可求出函数的定义域. (2) (2)

,即可求出函数的定义域. ,得 x 且 x≠-2,

【详解】解:(1)由题意知, 所以函数 (2)由 所以函数 的定义域是 ,得 x≥0 且 的定义域是 .

.

【点睛】本题主要考查函数的定义域的求解,要求熟练掌握常见函数成立的条件. 19.已知二次函数 (1) 求 (2)当 (3)若方程 【答案】(1) 【解析】 【分析】 (1)设 f(x)=ax2+bx+c,a≠0,由 f(0)=1 可求 c,代入 f(x+1)﹣f(x)=2x 可求 a,b,进而可求 f(x). (2)由(1)得:g(x)= (3)方程 【详解】(1)设 可变为 解得 所以 , 解析式为 ; , ,x∈[﹣1,1],结合二次函数的图象及性质可求 g(x)的值域. 没有实数根,利用判别式直接求得 m 的范围. 得 , , 满足 ,且 .

解析式; 时, ,求 的值域;

没有实数根,求实数 m 取值范围. ;(2) ;(3)

没有实数根就是 ,由

代入化简为

(2)由(1)可得
-8-

∵ 且 即

的对称轴

>1,∴ ,



上 随 的增大而减小,

的值域为

; 没有实数根就是 ,∴ ,∴ 没有实数根, ∴ 的取值范围是 .

(3)方程 所以,

【点睛】本题主要考查用待定系数法求函数的解析式,函数零点的判定定理、二次函数的性质应用,属于基 础题. 20.已知函数 (1)判断函数的奇偶性,并加以证明; (2)用定义证明 (3)函数 在 在 上是减函数;

上是单调增函数还是单调减函数?(直接写出答案,不要求写证明过程) . 为奇函数; (Ⅱ)略; (Ⅲ) 在(﹣1,0)上是减函数.

【答案】 (Ⅰ)函数 【解析】

试题分析: (Ⅰ)首先求函数

定义域并验证其定义域是否关于原点对称,再根据奇函数的定义验证 且 时,总有 即证; (Ⅲ)

即证; (Ⅱ)根据减函数的定义,证明当 由(Ⅰ)可知函数 试题解析: (Ⅰ)函数 易知函数 又 在定义域上是奇函数. (Ⅱ)设 且 ,则 为奇函数,其图像关于原点对称,得 为奇函数,理由如下: ,关于坐标原点对称.

在(﹣1,0)上是减函数。

的定义域为:

∵0<x1<x2<1,∴x1x2<1,x1x2﹣1<0, 又∵x2>x1∴x2﹣x1>0. ∴ 因此函数 (Ⅲ) ,即 在(0,1)上是减函数. 在(﹣1,0)上是减函数.

考点:1、奇、偶函数的判定方法;2、函数单调性的判定方法;3、函数的单调区间.
-9-

21.某工厂生产的某种产品,当年产量在 间的关系可近似地表示成 【答案】年产量为 【解析】

吨至

吨之间时,年生产总成本 (万元)与年产量 (吨)之

,问年产量为多少时,每吨的平均成本最低?并求出该最低成本.

吨时,每吨的平均成本最低,最低为 万元.

分析:利用函数的解析式求出平均成本的表达式,利用基本不等式求解即可. 详解: 设每吨的平均成本 (万元/ ) , 则 当且仅当 , , ( )的每吨平均成本最低,且最低成本为 万元.

点睛:本题考查函数的模型的实际应用,基本不等式的应用,考查转化思想以及计算能力. 22.已知函数 是定义在 上的偶函数,且当 时, .

(1)已画出函数 区间; ⑵写出函数

在 轴左侧的图像,如图所示,请补出完整函数

的图像,并根据图像写出函数

的增

的解析式和值域. 的增区间是 . , .

【答案】 (1)函数 (2) 【解析】

试题分析: (1)因为函数为偶函数,故图象关于 y 轴对称,由此补出完整函数 f(x)的图象即可,再由图象 直接可写出 f(x)的增区间; (2)可由图象利用待定系数法求出 x>0 时的解析式,也可利用偶函数求解析 式,值域可从图形直接观察得到 试题解析: (1)因为函数为偶函数,故图象关于 y 轴对称,补出完整函数图象如图:………3 分 所以 f(x)的递增区间是(﹣1,0) , (1,+∞) .………………5 分

- 10 -

(2)设 x>0,则﹣x<0, 所以 f(﹣x)=x2﹣2x, 因为 f(x)是定义在 R 上的偶函数, 所以 f(﹣x)=f(x) , 所以 x>0 时,f(x)=x ﹣2x,………………9 分 故 f(x)的解析式为 值域为{y|y≥﹣1}………………12 分 考点:二次函数的图象;函数的值域;函数解析式的求解及常用方法;函数的单调性及单调区间 ………………10 分
2

- 11 -

- 12 -


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