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2015届河北省正定中学高三上学期第五次月考(数学)


高三年级第一学期第五次月考 数学试卷
第I卷
一、选择题:本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.每一小题给出的四个选项中只有一项是符 合题目要求的. 1.已知集合 M ? {?1,0,1}, N ? {x | x ? ab, a, b ? M , 且 a ? b} ,则集合 M 与集合 N 的关系是 A. M ? N B. M

N?N

C. M

N?N

D. M

N ??

2. 已知复数 a ? bi ? A. ?2

1 (其中 a, b ? R , i 是虚数单位) ,则 a ? b 的值为 i(1 ? i) B. ?1 C. 0 D. 2

3.下列四个函数中,既是定义域上的奇函数又在区间 (0,1) 内单调递增的是 A. y ?

x

B. y ? x sin x

C. y ? lg

1? x 1? x

D. y ? e x ? e? x

4.已知角 ? 的终边经过点 P(m,4) ,且 cos ? ? ? A. ?3 B. ?

3 ,则 m ? 5
D. 3

9 2

C.

9 2

?x ? 0 ? 5. 已知实数 x 、 y 满足 ? x ? y ? 2 ? 0 ,则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ?x ? y ?1 ? 0 ?
A.

1 2

B. 1

C. 2

D. 4

6.如图是一个无盖器皿的三视图,正视图、侧视图和俯视图中的正方形边长为 2,正视图、侧视图 中的虚线都是半圆,则该器皿的表面积是 A. ? ? 24 B. ? ? 20 C. 2? ? 24 D. 2? ? 20 7.已知甲、乙两组数据如茎叶图所示,若它们的中位数相同,平均数也相 同,则图中的 A.

m ? n
B. 8 C. 9 D.

1 8

8 . 设 函 数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? )(? ? 0, ?

?
2

?? ?

?
2

1 9

) 的图象关于直线

x?

2? 对称,它的周期为 ? ,则 3

A. f ( x ) 的图象过点 (0, ) B. f ( x ) 在 [

, ] 上是减函数 12 3 5? , 0) C. f ( x ) 的一个对称中心是 ( 12
D.将 f ( x ) 的图象向右平移 | ? | 个单位得到 y ? 2sin ? x 的图象 9. 某程序框图如右图所示,该程序运行后输出的 S 为

? 2?

1 2

1 D. 2 3 10.已知三棱锥 A ? BCD 中, AB ? AC ? BD ? CD ? 2 , BC ? 2 AD ,直线 AD 与底面 BCD 所
A. ?

1 2

B. ?3

C.

成角为

? ,则此时三棱锥外接球的体积为 3
B.

A. 8?

2? 3

C.

4 2? 3

D.

8 2 ? 3

?3? x , x?0 11.设函数 f ( x) ? ? ,若 f ( x) ? x ? a 有且仅有三个解,则实数 a 的取值范围是 ? f ( x ? 1), x ? 0
A. (??, 2) B. ( ??, 2] C. [1, 2] D. [1, ??)

12.已知直线 AB 与抛物线 y 2 ? 2 x 交于 A, B 两点, M 是 AB 的中点, C 是抛物线上的点,且使 得 CA ? CB 取最小值,抛物线在点 C 处的切线为 l ,则 A. CM ? AB B. CM ? CB C. CM ? CA D. CM ? l

第 II 卷
二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分,将答案填在答题卡中的相应位置. 13. 某工厂生产 A 、 B 、 C 三种不同型号的产品,产品的数量之比依次为 2 : 3 : 5 ,现用分层抽样 的方法抽出样本容量的 n 的样本,样本中 A 型产品有 16 件,那么样本容量 n 为 14. 若正数 a , b 满足 ________.

1 1 1 4 ? ? 1 ,则 ? 的最小值为________. a b a ?1 b ?1

15.已知 F1 , F2 是双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的左、右焦点,若点 F2 关于直线 a2 b2

y?

b x 的对称点 M 也在双曲线上,则该双曲线的离心率为________. a

16.设圆 C : x2 ? y 2 ? 3 ,直线 l : x ? 3 y ? 6 ? 0 ,点 P( x0 , y0 ) ? l ,若存在点 Q ? C , 使得 ?OPQ ? 60 (O 为坐标原点) ,则 x0 的取值范围为________. 三、解答题(本大题共 6 个小题,共 70 分,解答须写出必要的文字说明、证明过程和演算步骤). 17. (本小题满分 10)

x x ? 2 cos ? 0 . 2 2 tan x (1)求 的值; cos 2 x
已知 sin (2)求

2 cos( ? x) ?sin x 4

?

的值.

18. (本小题满分 12 分)
2 已知各项均为正数的数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,对任意 n ? N ,总有 an , Sn , an 成等差数列.
*

(1)求数列 {an } 的通项公式; (2)令 bn ?

an ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn . 2n

19.(本小题满分 12 分) 某工厂生产 A 、B 两种元件, 某质量按测试指标划分, 指标大于或等于 82 为正品, 小于 82 为次品, 现随机抽取这两种元件各 100 件进行检测,检测结果统计如下:

(1)试依据以频率估计概率的统计思想,分别估计元件 A ,元件 B 为正品的概率; (2)生产一件元件 A ,若是正品可盈利 40 元,若是次品则亏损 5 元;生产一件元件 B ,若是正品 可盈利 50 元,若是次品则亏损 10 元,在(1)的前提下: (i)记 X 为生产一件元件 A 和 1 件元件 B 所得的总利润,求随机变量 X 的分布列和数学期望; (ii)求生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元的概率.

20. (本小题满分 12 分) 如图,在三棱锥 S ? ABC 中,底面 ABC 为直角三角形,且

?ABC ? 90 , SA ? 底面 ABC ,且 SA ? AB ,点 M 是 SB 的

中点, AN ? SC 且交 SC 于点 N . (1)求证: SC ? 平面 AMN ; (2)当 AB ? BC 时,求二面角 N ? MA ? C 的余弦值. 21. (本小题满分 12 分) 已知 A(?1, 0), B (1, 0) ,动点 M 满足 ?AMB ? 2? ,| AM | ? | BM | ? cos2 ? ? 3 ,设 M 的轨迹为曲线

C.
(1)求曲线 C 的方程; (2)过 A 的直线 l1 与曲线 C 交于 E 、 F 两点,过 B 与 l1 平行的直线 l2 与曲线 C 交于 G 、 H 两点, 求四边形 EFGH 的面积的最大值.

22.(本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? ln x ? ln a, g ( x) ? ae x , 其中 a 为常数,函数 y ? f ( x) 和 y ? g ( x) 的图象在它们与 坐标轴交点的切线互相平行. (1)求函数 F ( x) ? f ( x) ? g ( x ? 1) 的单调区间; (2)若不等式 xf ( x) ? k ( x ? 1) f [ g ( x ? 1)] ? 0 在区间 [1, ??) 上恒成立,求实数 k 的取值范围.

2015 届高三第五次月考 数学参考答案及评分标准
一、选择题 1-5 BCDAC 6-10 ABCAD 11-12 AD 二、填空题 13.80 三、解答题 17.解: (1) 14.4 15. 5 16. [0, ]

6 5

sin

x x x ? 2 cos ? 0 ,则 cos ? 0 , 2 2 2

? tan

x ?2 2

????????2 分

x 2 ? 2? 2 ? ? 4 ? tan x ? x 1 ? 22 3 1 ? tan 2 2 2 tan

????????4 分

(2)原式 ?

cos 2 x ? sin 2 x 2 2 2( cos x ? sin x) sin x 2 2

??????6 分

?

(cos x ? sin x)(cos x ? sin x) cos x ? sin x ? (cos x ? sin x)sin x sin x

?????8 分

4 1? 1 ? tan x 3?1 ? ? 4 4 tan x ? 3
【注】其他方法比照上述方法酌情给分.

?????10 分

2 2 18.解: (1)由已知 n ? N * 时, 2Sn ? an ? an ,?2Sn?1 ? an?1 ? an (n ? 2) ?1
2 2 两式相减,得 2an ? an ? an ? an?1 ? an ?1

?????2 分

?an ? an?1 ? (an ? an?1 )(an ? an?1 )


an , an?1 为正数,?an ? an?1 ? 1(n ? 2)

????4 分

?{an } 是公差为 1 的等差数列,
2 当 n ? 1 时, 2S1 ? a1 ? a1 得 a1 ? 1 或 a1 ? 0 (舍去)

? an ? 1 ? (n ?1) ?1 ? n
(2) bn ?

????6 分

an n ? n n 2 2 ? bn ?

?Tn ? b1 ? b2 ?

1 2 3 n ? 2 ? 3 ? ? n ??① 2 2 2 2 1 1 1 2 3 n 由① ? 得 Tn ? 2 ? 3 ? 4 ? ? n ?1 ???② ???8 分 2 2 2 2 2 2 1 1 1 1 1 n 由①-②得 Tn ? ? 2 ? 3 ? ? n ? n ?1 2 2 2 2 2 2 1 1 (1 ? n ) 2 ? n ???????? 10 分 ?2 n ?1 1 2 1? 2 n?2 ? Tn ? 2 ? n ???????? 12 分 2

【注】答案形式不唯一.

19.解: (1)原件 A 为正品的概率约为

40 ? 32 ? 8 4 ? ????1 分 100 5 40 ? 29 ? 6 3 ? 原件 B 为正品的概率约为 ????2 分 100 4
????3 分

(2) (i)随机变量 X 的所有取值为 ?15,30, 45,90 .

1 1 1 4 1 1 p( X ? ?15) ? ? ? ; p ( X ? 30) ? ? ? ; 5 4 20 5 4 5 1 3 3 4 3 3 p( X ? 45) ? ? ? ; p ( X ? 90) ? ? ? . ?????7 分 5 4 20 5 4 5
所以,随机变量 X 的分布列为:

????8 分

? EX ? (?15) ?

1 1 3 3 ? 30 ? ? 45 ? ? 90 ? ? 66 . 20 5 20 5
19 , 6

????9 分

(ii)设生产的 5 件元件 B 中正品有 n 件,则次品有 5 ? n 件, 以题意,得 50n ? 10(5 ? n) ? 140 ,解得 n ? 所以, n ? 4 或 n ? 5

?????11 分

设“生产 5 件元件 B 所获得的利润不少于 140 元”为事件 C 则 p(C ) ? C5 ( ) ?
4 4

3 4

1 3 5 81 ?( ) ? . ????12 分 4 4 128
SA ? 底面 ABC ,? BC ? SA ,又 BC ? AB

20.解: (1)证明

SA AB ? A,? BC ? 平面 SAB ,


AM ? 平面 SAB ,? AM ? SB ,????2 分

SA ? AB, M 是 SB 的中点,? AM ? SB , SB

BC ? B

? AM ? 平面 SBC , AM ? SC ,????2 分
又已知 AN ? SC , AN

AM ? A

? SC ? 平面 AMN .?????6 分
(2)解法一:有(1)可知: AM ? 平面 NCM ,

? 平面 NCM 是二面角 C ? AM ? N 的垂面,

??CMN 为二面角 C ? AM ? N 的平面角

????8 分

设 SA ? AB ? BC ? 1 ,在 Rt ?SAB 中, AM ? BM ?

1 2 SB ? 2 2

?CM ? BC 2 ? BM 2 ?

6 2

在 Rt ?SAC , SA ? 1, AC ? 2, SC ? 3

? AN ?

2 1? 3

?

2 3 6 2 2 ,则 CN ? AC ? AN ? ????10 分 3 3
2 2

在 Rt ?CNM 中, MN ? CM ? CN ?

6 6

6 MN 1 ? cos ?CMN ? ? 6 ? CM 6 3 2
1 ? 二面角 N ? MN ? C 的余弦值为 .?????12 分 3

(2)解法二:如图,以 A 为坐标原点, AB 为 x 轴, AS 为 z 轴,建立空间直角坐标系 A ? xyz , 设 AB ? SA ? 1 ,则 A(0,0,0), B(1,0,0), C(1,1,0), S (0,0,1) ,

1 1 M ( , 0, ) , 2 2 1 1 ? AM ? ( , 0, ), AC ? (1,1, 0) ,????8 分 2 2
设平面 ACM 的一个法向量为 n ? ( x, y, z)

?x ? y ? 0 ?n ? AC ? 0 ? ? 则? ,即 ? 1 , 1 x ? z ? 0 n ? AM ? 0 ? ? ? ?2 2
令 z ? 1 ,可得 n ? (?1,1,1) ,????10 分 由(1)可知 CS 是平面 AMN 的法向量,且 CS ? (?1, ?1,1)

? cos CS , n ?

CS ? n 1 ? | CS || n | 3

1 ? 二面角 N ? MN ? C 的余弦值为 .????12 分 3
21.解: (1)设 M ( x, y ) ,在 ?MAB 中, | AB |? 1, ?AMB ? 2? 由余弦定理得 | AM |2 ? | BM |2 ?2 | AM || BM | cos 2? ? 4 ,????2 分 即 (| AM | ? | BM |)2 ? 2 | AM || BM | ?2 | AM || BM | cos 2? ? 4

(| AM | ? | BM |)2 ? 2 | AM || BM | (1 ? cos 2? ) ? 4 (| AM | ? | BM |)2 ? 4 | AM || BM | cos2 ? ? 4
又 AM ? BM cos ? ? 3 ,所以 AM ? BM ? 4 . ????4 分
2

由于 AM ? BM ? 4 ? 2 ? AB , 因此点 M 的轨迹是以 A, B 为焦点的椭圆,同时该椭圆的长半轴 a ? 2 ,焦距 2c ? 2 ,

所以,曲线 C 的方程为

x2 y 2 ? ? 1; 4 3

????????? 5 分

(2)由题意可知四边形 EFGH 为平行四边形,结合对称性,则 SEFGH ? 4S?OEF 设直线 EF 的方程为 x ? my ? 1, 且 E( x1 , y1 ), F ( x2 , y2 )

? x ? my ? 1 ? 2 2 由 ? x2 y 2 ,得 (3m ? 4) y ? 6my ? 9 ? 0 , ?1 ? ? 3 ?4
? y1 ? y2 ? S?OEF 6m 9 , y1 y2 ? ? 2 ,且 ? ? 0 成立, 2 3m ? 4 3m ? 4 1 ? S?OAE ? S?OAF ? | OA || y1 ? y2 | 2

?

1 m2 ? 1 , ( y1 ? y2 )2 ? 4 y1 y2 ? 6 2 (3m2 ? 4)2

令 m ? 1 ? t ,则 t ? 1 ,? S?OEF ? 6
2

t 1 ?6 , 2 1 (3t ? 1) 9t ? ? 6 t

又? g (t ) ? 9t ? 在 [1, ??) 上单调递增,

1 t

? g (t ) ? g (1) ? 10 ,? S?OEF 的最大值为

3 , 2

? SEFGH 的最大值为 6 ,此时 m ? 0 .
【注】其他方法比照上述方法酌情给分. 22.解: (1) f ( x ) 与坐标轴交点为 ( a, 0) , f ?( a ) ?

1 , a

g ( x) 与坐标轴交点为 (0, a ) , g ?(0) ? a
?a ? 1 解得 a ? ?1 ,又 a ? 0 ,故 a ? 1 ?????2 分 a

? f ( x) ? ln x, g ( x) ? e x , F ( x) ? ln x ? e x?1 , x ? (0, ??)
? F ?( x) ? 1 x ?1 1 ? xe x ?1 ?e ? x x

令 h( x) ? 1 ? xex?1 ,显然函数 h( x) 在区间 (0, ??) 上单调递减,且 h(1) ? 0 ????4 分 当 x ? (0,1) 时, h( x) ? 0 ,? F ?( x) ? 0 ,? F ( x) 在 (0,1) 上单调递增???5 分 当 x ? (1, ??) 时, h( x) ? 0 ,? F ?( x) ? 0 ,? F ( x) 在 (1, ??) 上单调递减 故 F ( x ) 的单调递增区间为 (0,1) ,单调递减区间为 (1, ??) . ?????6 分

(2)原不等式等价于: x ln x ? k ( x2 ?1) ? 0 在区间 [1, ??) 上恒成立. 设 ? ( x) ? x ln x ? k ( x ?1)( x ? 1)
2

则 ? ?( x) ? ln x ? 1 ? 2kx

????7 分

令 u( x) ? ? ?( x) ? ln x ? 1 ? 2kx( x ? 1)

? u ?( x) ?

1 1 ? 2k ? 2k ? x x

????8 分

① k ? 0 时, u?( x) ? 0, ? ?( x) 在区间 [1, ??) 上单调递增,

? ?( x) ? ? ?(1) ? 1 ? 2k ? 0
?? ( x) 在 [1, ??) 上单调递增, ? ( x) ? ? (1) ? 0
不符合题意,舍去. ②当 0 ? k ? ?????9 分

1 1 时,若 x ? (1, ), u?( x) ? 0 2 2k 1 ) 上单调递增, ? ?( x) ? ? ?(1) ? 1 ? 2k ? 0 则 ? ?( x ) 在 (1, 2k

?? ( x) 在 [1, ??) 上单调递增, ? ( x) ? ? (1) ? 0
不符合题意,舍去. ③当 k ? ?????10 分

1 时, u?( x) ? 0 在 [1, ??) 恒成立, 2

?? ?( x) 在 [1, ??) 上单调递减?? ?( x) ? ? ?(1) ? 1 ? 2k ? 0 ?? ( x) 在 [1, ??) 上单调递减

? ( x) ? ? (1) ? 0 即 x ln x ? k ( x2 ?1) ? 0 对 x ? [1, ??) 恒成立,
综上所述,实数 k 的取值范围是 [ , ??) .??????12 分 【注】其他方法比照上述方法酌情给分.

1 2


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