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2011年—2018年新课标全国卷1文科数学分类汇编—13.坐标系与参数方程

新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编 13.坐标系与参数方程 一、解答题 【2018,22】在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的方程为 y ? k x ? 2 .以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 3 ? 0 . (1)求 C2 的直角坐标方程; (2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点,求 C1 的方程. ? x ? 3cos ? , 【2017,22】在直角坐标系 xOy 中,曲线 C 的参数方程为 ? ( ? 为参数) ,直线 l 的参数方程为 ? y ? sin ? , ? x ? a ? 4t , ( t 为参数) . ? ? y ? 1 ? t, (1)若 a ? ?1 ,求 C 与 l 的交点坐标; (2)若 C 上的点到 l 的距离的最大值为 17 ,求 a . 【2016,23】在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ? x ? a cost , ( t 为参数, a ? 0) .在以坐标 ? y ? 1 ? a sin t , 原点为极点, x 轴正半轴为极轴的极坐标系中,曲线 C2 : ? ? 4 cos? . (Ⅰ)说明 C1 是哪一种曲线,并将 C1 的方程化为极坐标方程; (Ⅱ) 直线 C3 的极坐标方程为 ? ? ? 0 , 其中 ? 0 满足 tan? 0 ? 2 , 若曲线 C1 与 C 2 的公共点都在 C3 上, 求a. 【2015,23】在直角坐标系 xOy 中,直线 C1 : x = ? 2,圆 C2 : ? x ? 1? ? ? y ? 2 ? ? 1 ,以坐标原点为极 2 2 点, x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系. (I)求 C1 , C2 的极坐标方程; (II)若直线 C3 的极坐标方程为 ? ? ? 4 ? ? ? R ? ,设 C2 与 C3 的交点为 M , N ,求 ?C2 MN 的面积. 【2014,23】已知曲线 C : ?x ? 2 ? t x2 y 2 ? ? 1 ,直线 l : ? ( t 为参数). 4 9 ? y ? 2 ? 2t (Ⅰ)写出曲线 C 的参数方程,直线 l 的普通方程; (Ⅱ)过曲线 C 上任一点 P 作与 l 夹角为 30 o 的直线,交 l 于点 A ,求 | PA | 的最大值与最小值. 【2013,23】已知曲线 C1 的参数方程为 ? ? x ? 4 ? 5cos t , (t 为参数),以坐标原点为极点,x 轴的正半轴为 ? y ? 5 ? 5sin t 极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ρ=2sin θ. (1)把 C1 的参数方程化为极坐标方程;(2)求 C1 与 C2 交点的极坐标(ρ≥0,0≤θ<2π). 【2012,23】已知曲线 C1 的参数方程为 ? ? x ? 2 cos? ( ? 为参数) ,以坐标原点为极点, x 轴的正半轴为 ? y ? 3 sin ? 极轴建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程是 ? ? 2 。正方形 ABCD 的顶点都在 C2 上,且 A,B,C,D 依 逆时针次序排列,点 A 的极坐标为(2, ? ) 。 3 (1)求点 A,B,C,D 的直角坐标; (2)设 P 为 C1 上任意一点,求 | PA |2 ? | PB |2 ? | PC |2 ? | PD |2 的取值范围。 【2011,23】在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ? ? x ? 2cos ? ( ? 为参数) ? y ? 2 ? 2sin ? M 是 C1 上的动点,P 点满足 OP ? 2OM ,P 点的轨迹为曲线 C2 (Ⅰ)求 C2 的方程;(Ⅱ)在以 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴的极坐标系中,射线 ? ? 极点的交点为 A,与 C2 的异于极点的交点为 B,求 AB . uu u v uuuv ? 3 与 C1 的异于 新课标全国卷Ⅰ文科数学分类汇编 13.坐标系与参数方程(解析版) 一、解答题 【2018,22】在直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的方程为 y ? k x ? 2 .以坐标原点为极点, x 轴正半轴为极轴 建立极坐标系,曲线 C2 的极坐标方程为 ? 2 ? 2? cos? ? 3 ? 0 . (1)求 C2 的直角坐标方程; (2)若 C1 与 C2 有且仅有三个公共点,求 C1 的方程. 解: (1)由 x ? ? cos? , y ? ? sin ? 得 C2 的直角坐标方程为 ( x ? 1)2 ? y 2 ? 4 . (2)由(1)知 C2 是圆心为 A( ?1, 0) ,半径为 2 的圆. 由题设知, C1 是过点 B(0, 2) 且关于 y 轴对称的两条射线.记 y 轴右边的射线为 l1 , y 轴左边的射线为 l2 . 由于 B 在圆 C2 的外面, 故 C1 与 C2 有且仅有三个公共点等价于 l1 与 C2 只有一个公共点且 l2 与 C2 有 两个公共点,或 l2 与 C2 只有一个公共点且 l1 与 C2 有两个公共点. 当 l1 与 C2 只有一个公共点时, A 到 l1 所在直线的距离为 2 ,所以 | ?k ? 2 | 2 ? 2 ,故 k ? ? 4 或 k ? 0 . 3 k ?1 4 经检验,当 k ? 0 时, l1 与 C2 没有公共点;当 k ? ? 时, l1 与 C2 只有一个公共点, l2 与 C2 有两个公共 3 点. 当 l2 与 C2 只有一个公共点时, A 到 l2 所在直线的距离为 2 ,所以 经检验,当 k ? 0 时, l1 与 C2 没有公共点;当 k ? |k ? 2| 2 ? 2 ,故 k ? 0 或 k ? 4 . 3 k ?1 4 时, l2 与 C2 没有公共点. 3 4 综上,所求 C1 的

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