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2014年福建省高考数学试卷(理科)答案与解析

2014 年福建省高考数学试卷(理科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 小题,每小题 5 分,共 50 分.在每个题给出的四个选项中,只 有一项是符合要求的. 1. (5 分) (2014?福建)复数 z=(3﹣2i)i 的共轭复数 等于( A.﹣2﹣3i B.﹣2+3i C.2﹣3i 考点: 复数代数形式的乘除运算. 专题: 数系的扩充和复数. 分析: 直接由复数代数形式的乘法运算化简 z,则其共轭可求. 解答: 解:∵z=(3﹣2i)i=2+3i,
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) D.2+3i

∴ . 故选:C. 点评: 本题考查了复数代数形式的乘法运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 2. (5 分) (2014?福建)某空间几何体的正视图是三角形,则该几何体不可能是( A.圆柱 B.圆锥 C.四面体 D.三棱柱 考点: 由三视图还原实物图. 专题: 计算题;空间位置关系与距离. 分析: 直接从几何体的三视图:正视图和侧视图或俯视图判断几何体的形状,即可. 解答: 解:圆柱的正视图为矩形, 故选:A 点评: 本题考查简单几何体的三视图,考查逻辑推理能力和空间想象力,是基础题.
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3. (5 分) (2014?福建)等差数列{an}的前 n 项和为 Sn,若 a1=2,S3=12,则 a6 等于( A.8 B.10 C.12 D.14 考点: 等差数列的前 n 项和. 专题: 等差数列与等比数列. 分析: 由等差数列的性质和已知可得 a2,进而可得公差,可得 a6 解答: 解:由题意可得 S3=a1+a2+a3=3a2=12, 解得 a2=4,∴公差 d=a2﹣a1=4﹣2=2, ∴a6=a1+5d=2+5×2=12, 故选:C. 点评: 本题考查等差数列的通项公式和求和公式,属基础题.
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4. (5 分) (2014?福建)若函数 y=logax(a>0,且 a≠1)的图象如图所示,则下列函数图象 正确的是( )

1

A.

B.

C.

D.

考点: 对数函数的图像与性质. 专题: 函数的性质及应用. 分析: 由题意可得 a=3,由基本初等函数的图象和性质逐个选项验证即可. 解答: 解:由题意可知图象过(3,1) , 故有 1=loga3,解得 a=3,
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选项 A,y=a =3 =
3

﹣x

﹣x

单调递减,故错误;

选项 B,y=x ,由幂函数的知识可知正确; 3 3 选项 C,y=(﹣x) =﹣x ,其图象应与 B 关于 x 轴对称,故错误; 选项 D,y=loga(﹣x)=log3(﹣x) ,当 x=﹣3 时,y=1, 但图象明显当 x=﹣3 时,y=﹣1,故错误. 故选:B. 点评: 本题考查对数函数的图象和性质,涉及幂函数的图象,属基础题. 5. (5 分) (2014?福建) 阅读如图所示的程序框图, 运行相应的程序, 输出的 S 的值等于 ( )

A.18

B.20

C.21
2

D.40

考点: 循环结构. 专题: 计算题;算法和程序框图. 1 2 n 分析: 算法的功能是求 S=2 +2 +…+2 +1+2+…+n 的值,计算满足条件的 S 值,可得答案. 1 2 n 解答: 解:由程序框图知:算法的功能是求 S=2 +2 +…+2 +1+2+…+n 的值,
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∵S=2 +2 +1+2=2+4+1+2=9<15,S=2 +2 +2 +1+2+3=2+4+8+1+2+3=20≥15. ∴输出 S=20. 故选:B. 点评: 本题考查了直到型循环结构的程序框图, 根据框图的流程判断算法的功能是解题的关 键. 6. (5 分) (2014?福建) 直线 l: y=kx+1 与圆 O: x +y =1 相交于 A, B 两点, 则“k=1”是“△ OAB 的面积为 ”的( ) B. 必要而不充分条件 D.既不充分又不必要条件
2 2

1

2

1

2

3

A.充分而不必要条件 C. 充分必要条件

考点: 必要条件、充分条件与充要条件的判断;直线与圆相交的性质. 专题: 直线与圆;简易逻辑. 分析: 根据直线和圆相交的性质,结合充分条件和必要条件的定义进行判断即可得到结论. 2 2 解答: 解:若直线 l:y=kx+1 与圆 O:x +y =1 相交于 A,B 两点,
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则圆心到直线距离 d=

,|AB|=2



若 k=1,则|AB|= 即充分性成立.

,d=

,则△ OAB 的面积为 ×

= 成立,

若△ OAB 的面积为 ,则 S= 解得 k=±1,则 k=1 不成立,即必要性不成立. 故“k=1”是“△ OAB 的面积为 ”的充分不必要条件.

= ×2×

=

= ,

故选:A. 点评: 本题主要考查充分条件和必要条件的判断,利用三角形的面积公式,以及半径半弦之 间的关系是解决本题的关键.

7. (5 分) (2014?福建)已知函数 f(x)= A.f(x)是偶函数 C. f(x)是周期函数 考点: 余弦函数的单调性.

,则下列结论正确的是( B. f(x)是增函数 D.f(x)的值域为[﹣1,+∞)



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3

专题: 函数的性质及应用. 分析: 由三角函数和二次函数的性质,分别对各个选项判断即可. 解答: 解:由解析式可知当 x≤0 时,f(x)=cosx 为周期函数, 当 x>0 时,f(x)=x +1,为二次函数的一部分, 故 f(x)不是单调函数,不是周期函数,也不具备奇偶性, 故可排除 A、B、C, 对于 D,当 x≤0 时,函数的值域为[﹣1,1], 当 x>0 时,函数的值域为值域为(1,+∞) , 故函数 f(x)的值域为[﹣1,+∞) ,故正确. 故选:D 点评: 本题考查分段函数的性质,涉及三角函数的性质,属基础题.
2

8. (5 分) (2014?福建)在下列向量组中,可以把向量 =(3,2)表示出来的是( A. C. =(0,0) , =(3,5) , =(1,2) =(6,10) B. D. =(﹣1,2) , =(2,﹣3) , =(5,﹣2) =(﹣2,3)



考点: 平面向量的基本定理及其意义. 专题: 平面向量及应用. 分析: 根据向量的坐标运算, 解答: 解:根据 ,

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,计算判别即可.

选项 A: (3,2)=λ(0,0)+μ(1,2) ,则 3=μ,2=2μ,无解,故选项 A 不能; 选项 B: (3,2)=λ(﹣1,2)+μ(5,﹣2) ,则 3=﹣λ+5μ,2=2λ﹣2μ,解得,λ=2, μ=1,故选项 B 能. 选项 C: (3,2)=λ(3,5)+μ(6,10) ,则 3=3λ+6μ,2=5λ+10μ,无解,故选项 C 不能. 选项 D: (3,2)=λ(2,﹣3)+μ(﹣2,3) ,则 3=2λ﹣2μ,2=﹣3λ+3μ,无解,故选 项 D 不能. 故选:B. 点评: 本题主要考查了向量的坐标运算,根据 列出方程解方程是关键,属于 基础题.
2 2 2

9. (5 分) (2014?福建)设 P,Q 分别为圆 x +(y﹣6) =2 和椭圆 Q 两点间的最大距离是( A.5 B. ) + C.7+

+y =1 上的点,则 P,

D.6

考点: 椭圆的简单性质;圆的标准方程. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程.

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4

分析: 求出椭圆上的点与圆心的最大距离,加上半径,即可得出 P,Q 两点间的最大距离. 解答: 解:设椭圆上的点为(x,y) ,则 2 2 ∵圆 x +(y﹣6) =2 的圆心为(0,6) ,半径为 , ∴椭圆上的点(x,y)到圆心(0,6)的距离为 = = ≤5 ,

∴P,Q 两点间的最大距离是 5 + =6 . 故选:D. 点评: 本题考查椭圆、圆的方程,考查学生分析解决问题的能力,属于基础题. 10. (5 分) (2014?福建)用 a 代表红球,b 代表蓝球,c 代表黑球,由加法原理及乘法原理, 从 1 个红球和 1 个蓝球中取出若干个球的所有取法可由(1+a) (1+b)的展开式 1+a+b+ab 表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球,而“ab”则表示把红球和蓝球 都取出来.以此类推,下列各式中,其展开式可用来表示从 5 个无区别的红球、5 个无区别 的蓝球、5 个有区别的黑球中取出若干个球,且所有的蓝球都取出或都不取出的所有取法的 是( ) 5 5 2 3 4 5 5 A.(1+a+a2+a3+a4+a5) B. (1+a5) (1+b ) (1+c) (1+b+b +b +b +b ) (1+c) 5 2 3 4 5 5 5 5 2 3 4 5 C. (1+a) (1+b+b +b +b +b ) (1+c ) D.(1+a ) (1+b) (1+c+c +c +c +c ) 考点: 归纳推理;进行简单的合情推理. 专题: 推理和证明. 分析: 根据“1+a+b+ab 表示出来,如:“1”表示一个球都不取、“a”表示取出一个红球,而“ab” 则表示把红球和蓝球都取出来”,分别取红球蓝球黑球,根据分步计数原理,分三步, 每一步取一种球,问题得以解决. 解答: 解:从 5 个无区别的红球中取出若干个球,可以 1 个球都不取、或取 1 个、2 个、3 2 3 4 5 个、4 个、5 个球,共 6 种情况,则其所有取法为 1+a+a +a +a +a ;从 5 个无区别的 5 蓝球中取出若干个球,由所有的蓝球都取出或都不取出,得其所有取法为 1+b ;从 5 个有区别的黑球中取出若干个球,可以 1 个球都不取、或取 1 个、2 个、3 个、4 个、 5个
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球,共 6 种情况,则其所有取法为 1+

c+

c+

2

c+
2 3

3

c+
4 5

4

c =(1+c) ,根据
5 5

5

5

分步乘法计数原理得,适合要求的所有取法是(1+a+a +a +a +a ) (1+b ) (1+c) . 故选:A. 点评: 本题主要考查了分步计数原理和归纳推理,合理的利用题目中所给的实例,要遵循其 规律,属于中档题. 二、填空题:本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分.把答案填在答题卡的相应位置

11. (4 分) (2014?福建)若变量 x,y 满足约束条件

,则 z=3x+y 的最小值

为 1 . 考点: 简单线性规划.

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5

专题: 不等式的解法及应用. 分析: 作出不等式对应的平面区域,利用线性规划的知识,通过平移即可求 z 的最小值. 解答: 解:作出不等式对应的平面区域如图, 由 z=3x+y,得 y=﹣3x+z, 平移直线 y=﹣3x+z,由图象可知当直线 y=﹣3x+z,经过点 A(0,1)时,直线 y=﹣ 3x+z 的截距最小, 此时 z 最小.此时 z 的最小值为 z=0×3+1=1, 故答案为:1

点评: 本题主要考查线性规划的应用,利用数形结合是解决线性规划题目的常用方法. 12. (4 分) (2014?福建) 在△ ABC 中, A=60°, AC=4, BC=2 , 则△ ABC 的面积等于 2 .

考点: 正弦定理. 专题: 解三角形. 分析: 利用三角形中的正弦定理求出角 B,再利用三角形的面积公式求出△ ABC 的面积. 解答: 解:∵△ABC 中,A=60°,AC=4,BC=2 ,
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由正弦定理得: ∴ 解得 sinB=1, ∴B=90°,C=30°, ∴△ABC 的面积= ,





故答案为: . 点评: 本题着重考查了给出三角形的两边和其中一边的对角,求它的面积.正余弦定理、解 直角三角形、三角形的面积公式等知识,属于基础题. 13. (4 分) (2014?福建)要制作一个容器为 4m ,高为 1m 的无盖长方形容器,已知该容器 的底面造价是每平方米 20 元,侧面造价是每平方米 10 元,则该容器的最低总造价是 160 (单位:元)
3

6

考点: 棱柱、棱锥、棱台的侧面积和表面积. 专题: 不等式的解法及应用. 分析: 此题首先需要由实际问题向数学问题转化,设池底长和宽分别为 a,b,成本为 y,建 立函数关系式,然后利用基本不等式求出最值即可求出所求. 解答: 解:设池底长和宽分别为 a,b,成本为 y,
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则∵长方形容器的容器为 4m ,高为 1m, 故底面面积 S=ab=4,y=20S+10[2(a+b)]=20(a+b)+80, ∵a+b≥2 =4, 故当 a=b=2 时,y 取最小值 160, 即该容器的最低总造价是 160 元, 故答案为:160 点评: 本题以棱柱的体积为载体,考查了基本不等式,难度不大,属于基础题. 14. (4 分) (2014?福建)如图,在边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形中随机撒一粒 黄豆,则它落到阴影部分的概率为 .

3

考点: 几何概型. 专题: 综合题;概率与统计. 分析: 利用定积分计算阴影部分的面积,利用几何概型的概率公式求出概率. x 解答: 解:由题意,y=lnx 与 y=e 关于 y=x 对称,
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∴阴影部分的面积为 2

(e﹣e )dx=2(ex﹣e )

x

x

=2,
2

∵边长为 e(e 为自然对数的底数)的正方形的面积为 e , ∴落到阴影部分的概率为 故答案为: . .

点评: 本题考查几何概型,几何概型的概率的值是通过长度、面积、和体积的比值得到. 15. (4 分) (2014?福建)若集合{a,b,c,d}={1,2,3,4},且下列四个关系: ①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4 有且只有一个是正确的,则符合条件的有序数组(a,b,c, d)的个数是 6 . 考点: 集合的相等. 专题: 计算题;集合. 分析: 利用集合的相等关系,结合①a=1;②b≠1;③c=2;④d≠4 有且只有一个是正确的,即
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7

可得出结论. 解答: 解:由题意,a=2 时,b=1,c=4,d=3;b=3,c=1,d=4; a=3 时,b=1,c=4,d=2;b=1,c=2,d=4;b=2,c=1,d=4; a=4 时,b=1,c=3,d=2; ∴符合条件的有序数组(a,b,c,d)的个数是 6 个. 点评: 本题考查集合的相等关系,考查分类讨论的数学思想,正确分类是关键. 三、解答题:本大题共 4 小题,共 80 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤 16. (13 分) (2014?福建)已知函数 f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣ . (1)若 0<α< ,且 sinα= ,求 f(α)的值;

(2)求函数 f(x)的最小正周期及单调递增区间. 考点: 三角函数中的恒等变换应用;三角函数的周期性及其求法. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: (1)利用同角三角函数关系求得 cosα 的值,分别代入函数解析式即可求得 f(α)的 值. (2)利用两角和公式和二倍角公式对函数解析式进行恒等变换,进而利用三角函数 性质和周期公式求得函数最小正周期和单调增区间. 解答: 解: (1)∵0<α< ,且 sinα= ,
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∴cosα=



∴f(α)=cosα(sinα+cosα)﹣ , = ×( + )﹣

= . (2)f(x)=cosx(sinx+cosx)﹣ . =sinxcosx+cos x﹣ = sin2x+ cos2x = sin(2x+ =π, ≤2x+ ≤2kπ+ ,k∈Z,得 kπ﹣ ,kπ+ ≤x≤kπ+ ],k∈Z. ,k∈Z, ) ,
2

∴T= 由 2kπ﹣

∴f(x)的单调递增区间为[kπ﹣

8

点评: 本题主要考查了三角函数恒等变换的应用.考查了学生对基础知识的综合运用. 17. (13 分) (2014?福建)在平面四边形 ABCD 中,AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD, 将△ ABD 沿 BD 折起,使得平面 ABD⊥平面 BCD,如图. (1)求证:AB⊥CD; (2)若 M 为 AD 中点,求直线 AD 与平面 MBC 所成角的正弦值.

考点: 直线与平面所成的角;空间中直线与直线之间的位置关系. 专题: 空间角. 分析: (1)利用面面垂直的性质定理即可得出; (2)建立如图所示的空间直角坐标系.设直线 AD 与平面 MBC 所成角为 θ,利用线
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面角的计算公式 sinθ=|cos

|=

即可得出.

解答: (1)证明:∵平面 ABD⊥平面 BCD,平面 ABD∩平面 BCD=BD,AB?平面 ABD, AB⊥BD, ∴AB⊥平面 BCD,又 CD?平面 BCD,∴AB⊥CD. (2)解:建立如图所示的空间直角坐标系. ∵AB=BD=CD=1,AB⊥BD,CD⊥BD, ∴B(0,0,0) ,C(1,1,0) ,A(0,0,1) ,D(0,1,0) ,M ∴ =(0,1,﹣1) , =(1,1,0) , = . .

设平面 BCM 的法向量 =(x,y,z) ,则 令 y=﹣1,则 x=1,z=1. ∴ =(1,﹣1,1) . 设直线 AD 与平面 MBC 所成角为 θ. 则 sinθ=|cos |= = = .



9

点评: 本题综合考查了面面垂直的性质定理、线面角的计算公式 sinθ=|cos |= , 考查了推理能力和空间想象能力, 属于中档题.

18. (13 分) (2014?福建)为回馈顾客,某商场拟通过摸球兑奖的方式对 1000 位顾客进行 奖励,规定:每位顾客从一个装有 4 个标有面值的球的袋中一次性随机摸出 2 个球,球上所 标的面值之和为该顾客所获的奖励额. (1)若袋中所装的 4 个球中有 1 个所标的面值为 50 元,其余 3 个均为 10 元,求: ①顾客所获的奖励额为 60 元的概率; ②顾客所获的奖励额的分布列及数学期望; (2)商场对奖励总额的预算是 60000 元,并规定袋中的 4 个球只能由标有面值 10 元和 50 元的两种球组成, 或标有面值 20 元和 40 元的两种球组成. 为了使顾客得到的奖励总额尽可 能符合商场的预算且每位顾客所获的奖励额相对均衡, 请对袋中的 4 个球的面值给出一个合 适的设计,并说明理由. 考点: 离散型随机变量的期望与方差;离散型随机变量及其分布列. 专题: 概率与统计. 分析: (1)根据古典概型的概率计算公式计算顾客所获的奖励额为 60 元的概率,依题意得 X 得所有可能取值为 20,60,分别求出 P(X=60) ,P(X=20) ,画出顾客所获的奖励 额的分布列求出数学期望; (2)先讨论,寻找期望为 60 元的方案,找到(10,10,50,50) , (20,20,40,40) 两种方案,分别求出数学期望和方差,然后做比较,问题得以解决. 解答: 解: (1)设顾客所获取的奖励额为 X,
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①依题意,得 P(X=60)=



即顾客所获得奖励额为 60 元的概率为 , ②依题意得 X 得所有可能取值为 20,60, P(X=60)= ,P(X=20)= 即 X 的分布列为 X6020
10



P 所以这位顾客所获的奖励额的数学期望为 E(X)=20× +60× =40 (2)根据商场的预算,每个顾客的平均奖励额为 60 元,所以先寻找期望为 60 元的 可能方案. 对于面值由 10 元和 50 元组成的情况,如果选择(10,10,10,50)的方案,因为 60 元是面值之和的最大值,所以数学期望不可能为 60 元, 如果选择(50,50,50,10)的方案,因为 60 元是面值之和的最小值,所以数学期 望也不可能为 60 元, 因此可能的方案是(10,10,50,50)记为方案 1, 对于面值由 20 元和 40 元的组成的情况,同理可排除(20,20,20,40)和(40,40, 40,20)的方案,所以可能的方案是(20,20,40,40) ,记为方案 2, 以下是对这两个方案的分析: 对于方案 1,即方案(10,10,50,50)设顾客所获取的奖励额为 X1,则 X1 的分布 列为 X16020100 P X1 的数学期望为 E(X1)= X1 的方差 D(X1) = = , .

对于方案 2,即方案(20,20,40,40)设顾客所获取的奖励额为 X2,则 X2 的分布 列为 X2406080 P X2 的数学期望为 E(X2)= X2 的方差 D(X2)=差 D(X1) = . =60,

由于两种方案的奖励额的数学期望都符合要求,但方案 2 奖励额的方差比方案 1 小, 所以应该选择方案 2. 点评: 本题主要考查了古典概型、离散型随机变量的分布列、数学期望、方差等基础知识, 考查了数据处理能力, 运算求解能力, 应用意识, 考查了必然与或然思想与整合思想.

19. (13 分) (2014?福建)已知双曲线 E: l1:y=2x,l2:y=﹣2x. (1)求双曲线 E 的离心率;



=1(a>0,b>0)的两条渐近线分别为

11

(2)如图,O 为坐标原点,动直线 l 分别交直线 l1,l2 于 A,B 两点(A,B 分别在第一、 第四象限) ,且△ OAB 的面积恒为 8,试探究:是否存在总与直线 l 有且只有一个公共点的 双曲线 E?若存在,求出双曲线 E 的方程,若不存在,说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题. 专题: 压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)依题意,可知 =2,易知 c= a,从而可求双曲线 E 的离心率;
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(2) 由 (1) 知, 双曲线 E 的方程为



=1, 设直线 l 与 x 轴相交于点 C, 分 l⊥x

轴与直线 l 不与 x 轴垂直讨论,当 l⊥x 轴时,易求双曲线 E 的方程为



=1.当

直线 l 不与 x 轴垂直时,设直线 l 的方程为 y=kx+m,与双曲线 E 的方程联立,利用 由 S△ OAB= |OC|?|y1﹣y2|=8 可证得:双曲线 E 的方程为 ﹣ =1,从而可得答案.

解答: 解: (1)因为双曲线 E 的渐近线分别为 l1:y=2x,l2:y=﹣2x, 所以 =2.

所以 故 c= a,

=2.

从而双曲线 E 的离心率 e= =



(2)由(1)知,双曲线 E 的方程为



=1.

设直线 l 与 x 轴相交于点 C, 当 l⊥x 轴时,若直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点,则|OC|=a,|AB|=4a, 所以 |OC|?|AB|=8,

12

因此 a?4a=8,解得 a=2,此时双曲线 E 的方程为



=1.

以下证明:当直线 l 不与 x 轴垂直时,双曲线 E 的方程为 设直线 l 的方程为 y=kx+m,依题意,得 k>2 或 k<﹣2; 则 C(﹣ ,0) ,记 A(x1,y1) ,B(x2,y2) , 由 得 y1= ,同理得 y2= ,



=1 也满足条件.

由 S△ OAB= |OC|?|y1﹣y2|得: |﹣ |?| ﹣ |=8,即 m =4|4﹣k |=4(k ﹣4) .
2 2 2


2

得: (4﹣k )x ﹣2kmx﹣m ﹣16=0,

2

2

2

因为 4﹣k <0, 2 2 2 2 2 2 所以△ =4k m +4(4﹣k ) (m +16)=﹣16(4k ﹣m ﹣16) , 2 2 又因为 m =4(k ﹣4) , 所以△ =0,即直线 l 与双曲线 E 有且只有一个公共点. 因此,存在总与直线 l 有且只有一个公共点的双曲线 E,且 E 的方程为 ﹣ =1.

点评: 本题考查双曲线的方程与性质、直线与圆锥曲线的位置关系等基础知识,考查抽象概 括能力、推理论证能力、运算求解能力,考查特殊与一般思想、数形结合思想、分类 讨论思想、函数与方程思想. 在 21-23 题中考生任选 2 题作答,满分 21 分.如果多做,则按所做的前两题计分.作答时,先 用 2B 铅笔在答题卡上把所选题目对应题号右边的方框涂黑,并将所选题号填入括号中.选 修 4-2:矩阵与变换 x 20. (14 分) (2014?福建)已知函数 f(x)=e ﹣ax(a 为常数)的图象与 y 轴交于点 A,曲 线 y=f(x)在点 A 处的切线斜率为﹣1. (1)求 a 的值及函数 f(x)的极值; 2 x (2)证明:当 x>0 时,x <e ; 2 x (3)证明:对任意给定的正数 c,总存在 x0,使得当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x <ce . 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;利用导数研究函数的单调性. 专题: 综合题;导数的综合应用. 分析: (1)利用导数的几何意义求得 a,再利用导数的符号变化可求得函数的极值; x 2 (2)构造函数 g(x)=e ﹣x ,求出导数,利用(1)问结论可得到函数的符号,从 而判断 g(x)的单调性,即可得出结论;
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13

(3)令 x0= ,利用(2)的结论,得 e >x > x,即 x<ce .即得结论成立. 解答: 解: (1)由 f(x)=e ﹣ax,得 f′(x)=e ﹣a. 又 f′(0)=1﹣a=﹣1,解得 a=2, ∴f(x)=e ﹣2x,f′(x)=e ﹣2. 由 f′(x)=0,得 x=ln2, 当 x<ln2 时,f′(x)<0,f(x)单调递减;当 x>ln2 时,f′(x)>0,f(x)单 调递增; ln2 ∴当 x=ln2 时,f(x)有极小值为 f(ln2)=e ﹣2ln2=2﹣ln4.f(x)无极大值. x 2 x (2)令 g(x)=e ﹣x ,则 g′(x)=e ﹣2x, ln2 由(1)得,g′(x)=f(x)≥f(ln2)=e ﹣2ln2=2﹣ln4>0,即 g′(x)>0, 2 x ∴当 x>0 时,g(x)>g(0)>0,即 x <e ; (3)首先证明当 x∈(0,+∞)时,恒有 x <e . 证明如下: 令 h(x)= x ﹣e ,则 h′(x)=x ﹣e . 由(2)知,当 x>0 时,x <e , 从而 h′(x)<0,h(x)在(0,+∞)单调递减, 所以 h(x)<h(0)=﹣1<0,即 x <e , 取 x0= ,当 x>x0 时,有 x < x <e . 因此,对任意给定的整数 c,总存在 x0,当 x∈(x0,+∞)时,恒有 x <ce . 点评: 该题主要考查导数的几何意义、导数的运算及导数的应用等基础知识,考查学生的运 算求解能力、推理论证能力、抽象概括能力,考查函数与方程思想、有限与无限思想、 化归与转化思想.属难题.
﹣1

x

2

x

x

x

x

x

3

x

3

x

2

x

2

x

3

x

2

3

x

2

x

21. (7 分) (2014?福建)已知矩阵 A 的逆矩阵 A =( (1)求矩阵 A; (2)求矩阵 A
﹣1

) .

的特征值以及属于每个特征值的一个特征向量.

考点: 特征向量的定义. 专题: 计算题;矩阵和变换. ﹣1 分析: (1)利用 AA =E,建立方程组,即可求矩阵 A; (2)先根据特征值的定义列出特征多项式,令 f(λ)=0 解方程可得特征值,再由特 征值列出方程组即可解得相应的特征向量. 解答: ﹣1 解: (1)设 A= ,则由 AA =E 得 = ,
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解得 a= ,b=﹣ ,c=﹣ ,d= ,所以 A=



14

(2)矩阵 A

﹣1

的特征多项式为 f(λ)=
2

=(λ﹣2) ﹣1,

2

令 f(λ)=(λ﹣2) ﹣1=0,可求得特征值为 λ1=1,λ2=3, 设 λ1=1 对应的一个特征向量为 α= 则由 λ1α=Mα,得 x+y=0 得 x=﹣y,可令 x=1,则 y=﹣1, 所以矩阵 M 的一个特征值 λ1=1 对应的一个特征向量为 同理可得矩阵 M 的一个特征值 λ2=3 对应的一个特征向量为 , . ,

点评: 本题考查逆变换与逆矩阵,考查矩阵特征值与特征向量的计算等基础知识,属于基础 题. 五、选修 4-4:极坐标与参数方程 22. (7 分) (2014?福建)已知直线 l 的参数方程为 (t 为参数) ,圆 C 的参数方

程为

(θ 为常数) .

(1)求直线 l 和圆 C 的普通方程; (2)若直线 l 与圆 C 有公共点,求实数 a 的取值范围. 考点: 圆的参数方程;直线的参数方程. 专题: 选作题;坐标系和参数方程. 分析: (1)消去参数,把直线与圆的参数方程化为普通方程; (2)求出圆心到直线的距离 d,再根据直线 l 与圆 C 有公共点?d≤r 即可求出. 解答: 解: (1)直线 l 的参数方程为 ,消去 t 可得 2x﹣y﹣2a=0;
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圆 C 的参数方程为

,两式平方相加可得 x +y =16;

2

2

(2)圆心 C(0,0) ,半径 r=4. 由点到直线的距离公式可得圆心 C(0,0)到直线 L 的距离 d= ∵直线 L 与圆 C 有公共点,∴d≤4,即 ≤4,解得﹣2 ≤a≤2 . .

点评: 熟练掌握点到直线的距离公式和直线与圆有公共点的充要条件是解题的关键. 六、选修 4-5:不等式选讲 23. (2014?福建)已知定义域在 R 上的函数 f(x)=|x+1|+|x﹣2|的最小值为 a. (1)求 a 的值; 2 2 2 (2)若 p,q,r 为正实数,且 p+q+r=a,求证:p +q +r ≥3.
15

考点: 二维形式的柯西不等式;绝对值不等式的解法. 专题: 计算题;证明题;不等式的解法及应用. 分析: (1)由绝对值不等式|a|+|b|≥|a﹣b|,当且仅当 ab≤0,取等号;
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(2)由柯西不等式: (a +b +c ) (d +e +f )≥(ad+be+cf) ,即可证得. 解答: (1)解:∵|x+1|+|x﹣2|≥|(x+1)﹣(x﹣2)|=3, 当且仅当﹣1≤x≤2 时,等号成立, ∴f(x)的最小值为 3,即 a=3; (2)证明:由(1)知,p+q+r=3,又 p,q,r 为正实数, ∴由柯西不等式得, (p +q +r ) (1 +1 +1 )≥(p×1+q×1+r×1) 2 2 =(p+q+r) =3 =9, 2 2 2 即 p +q +r ≥3. 点评: 本题主要考查绝对值不等式、柯西不等式等基础知识,考查运算求解能力,考查化归 与转化思想.
2 2 2 2 2 2 2

2

2

2

2

2

2

2

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