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2016届—高三—1—集合函数(16开)答案


5-6.已知真命题:“函数 y ? f ( x) 的图像关于点 P(a、 b) 成中心对称图形”的充要条件为 “函数 y ? f ( x ? a) ? b 是奇函数”.①将函数 g ( x) ? x3 ? 3x2 的图像向左平移 1 个单位, 再向上平移 2 个单位,求此时图像对应的函数解析式,并利用题设中的真命题求函数 g ( x) 图像对称中心的坐标;②求函数 h( x) ? log 2

数 y ? f ( x) 的图像关于某直线成轴对称图像”的充要条件为“存在实数 a 和 b,使得函数

2x 图像对称中心的坐标;③已知命题:“函 4? x

y ? f ( x ? a) ? b 是偶函数”.判断该命题的真假.如果是真命题,请给予证明;如果是假命
题,请说明理由,并类比题设的真命题对它进行修改,使之成为真命题(不必证明). 【答案】(1)平移后图像对应的函数解析式为 y ? ( x ? 1)3 ? 3( x ? 1)2 ? 2 , 整理得 y ? x3 ? 3x , 由于函数 y ? x3 ? 3x 是奇函数,

, ? 2) . 由题设真命题知,函数 g ( x) 图像对称中心的坐标是 (1
2x b) ,由题设知函数 h( x ? a) ? b 是奇函数. 的对称中心为 P(a, 4? x 2 x ? 2a 2( x ? a) ?b . ? b ,即 f ( x) ? log 2 设 f ( x) ? h( x ? a) ? b, 则 f ( x) ? log 2 4?a? x 4 ? ( x ? a) 2 x ? 2a ? 0 的解集关于原点对称,得 a ? 2 . 由不等式 4?a? x 2( x ? 2) ? b, x ? (?2, 2) . 此时 f ( x) ? log 2 2? x 任取 x ? (?2, 2) ,由 f (? x) ? f ( x) ? 0 ,得 b ? 1 , 2x 1) . 所以函数 h( x) ? log 2 图像对称中心的坐标是 (2, 4? x
(2)设 h( x) ? log 2 (3)此命题是假命题. 举反例说明:函数 f ( x) ? x 的图像关于直线 y ? ? x 成轴对称图像,但是对任意实数 a 和 b , 函数 y ? f ( x ? a) ? b ,即 y ? x ? a ? b 总不是偶函数. 修改后的真命题: “函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? a 成轴对称图像”的充要条件是“函数 y ? f ( x ? a) 是偶函数”. 5-7.已知函数 f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x .(1)求函数 f ( x ) 的定义域和值域;

a ?? f 2 ( x) ? 2 ? ,求 F ( x ) 在 a ? 0 时的最大值 g (a ) ; ? ? ? f ( x) ( a 为实数) 2 (3)对(2)中 g (a ) ,若 ?m2 ? 2tm ? 2 ? g (a) 对满足 a ? 0 所有的实数 a 及 t ? [?1,1]
(2)设 F ( x) ? 恒成立,求实数 m 的取值范围 解: (1) 由 1+x≥0 且 1-x≥0,得-1≤x≤1,所以定义域为 [?1,1] …………2 分 又 f ( x)2 ? 2 ? 2 1 ? x 2 ?[2, 4], 由 f ( x ) ≥0 得值域为 [ 2, 2] …………4 分

a ?? f 2 ( x) ? 2 ? ? f ( x) ? a 1 ? x 2 ? 1 ? x ? 1 ? x ? ? 2 1 2 2 令 t ? f ( x) ? 1 ? x ? 1 ? x ,则 1 ? x ? t ? 1 , 2
(2)因为 F ( x) ?

∴ F ( x) ? m(t ) ?

a ( t 2 ? 1 )+t= at 2 ? t ? a, t ? [ 2, 2] …………6 分

1 2

1 2

1 2 at ? t ? a, t ? [ 2, 2] 的最大值。 2 1 1 注意到直线 t ? ? 是抛物线 m(t ) ? at 2 ? t ? a 的对称轴。 a 2 因为 a<0 时,函数 y=m(t), t ?[ 2, 2] 的图象是开口向下的抛物线的一段,
由题意知 g(a)即为函数 m(t ) ?

…………………………10 分

(3)易得 gmin (a) ? 2 ,
2

…………12 分

由 ?m2 ? 2tm ? 2 ? g (a) 对 a ? 0 恒成立, 即要使 ?m ? 2tm ? 2 ? gmin (a) ? 2? 即 m2 ? 2tm ? 0 恒成立, 令 h ?t ? ? ?2mt ? m ,对所有的 t ? ?1,1 , h ?t ? ? 0 成立,
2

?

?

只需 ?

?h(?1) ? 2m ? m 2 ? 0 , 解得 m ? ?2, 或m=0,或m ? 2 . …………16 分 2 ? h(1) ? ?2m ? m ? 0


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