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高三数学第一轮复习教案第53课时—直线与圆锥曲线的位置关系(1)(学案)

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高三数学第一轮复习讲义(53)

2004.11.7

一.复习目标:

直线与圆锥的位置关系(1)

1.掌握直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法,能够把研究直线与圆锥曲线的位置关系 的问题转化为研究方程组的解的问题;

2.会利用直线与圆锥曲线的方程所组成的方程组消去一个变量,将交点问题问题转化为 一元二次方程根的问题,结合根与系数关系及判别式解决问题.

二.知识要点:

1.直线与圆锥曲线的位置关系的判定方法:

直线

l



f

(x,

y)

?

0

和曲线

C

:

g(x,

y)

?

0

的公共点坐标是方程组

? f (x, ??g(x,

y) y)

?0 ?0

的解,

l 和 C 的公共点的个数等于方程组不同解的个数.这样就将 l 和 C 的交点问题转化为方程

组的解问题研究,对于消元后的一元二次方程,必须讨论二次项系数和判别式 ? ,若能

数形结合,借助图形的几何性质则较为简便.

2.弦的中点或中点弦的问题,除利用韦达定理外,也可以运用“差分法”(也叫“点 差法”).

三.课前预习:

1.直线 y ? x ? b与抛物线 y2 ? 2x ,当 b?

时,有且只有一个公共点;当 b?

时,有两个不同的公共点;当 b?

时,无公共点.

2.若直线 y ? kx ?1和椭圆 x2 ? y2 ? 1 恒有公共点,则实数 m 的取值范围 25 m





3.抛物线 y ? ax2 与直线 y ? kx ? b (k ? 0) 交于 A, B 两点,且此两点的横坐标分别为

x1 , x2 ,直线与 x 轴的交点的横坐标是 x3 ,则恒有





( A) x3 ? x1 ? x2 (B) x1 x2? x1 x?3 x2 x(3C ) x3 ? x1 ? x2 ? 0

(D) x1x2 ? x1x3 ? x2 x3 ? 0

4.椭圆 mx2 ? ny2 ? 1与直线 x ? y ? 1交于 M , N 两点, MN 的中点为 P ,且 OP 的

斜率为 2 ,则 m 的值为



2

n



( A) 2 2

(B) 2 2 3

(C) 9 2 2

(D) 2 3 27

5.已知双曲线 C : x2 ? y2 ? 1 ,过点 P(1,1) 作直线 l ,使 l 与 C 有且只有一个公共 4

点,则满足上述条件的直线 l 共有





( A) 1 条

(B) 2 条

(C) 3 条

(D) 4 条

四.例题分析:

例 1.过点(?1, ?6) 的直线 l 与抛物线 y2 ? 4x 交于 A, B 两点,若 P(9 ,0) ,| AP |?| BP | ,求l 的 2
斜率.

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例 2.直线 l : y ? kx ?1与双曲线 C : 2x2 ? y2 ? 1的右支交于不同的两点 A, B , (I)求实数 k 的取值范围;(II)是否存在实数 k ,使得以线段 AB 为直径的圆经过双 曲线 C 的右焦点 F ?若存在,求出 k 的值;若不存在,说明理由.
例 3.已知直线 l 和圆 M : x2 ? y2 ? 2x ? 0 相切于点T ,且与双曲线 C : x2 ? y2 ? 1 相交 于 A, B 两点,若T 是 AB 的中点,求直线 l 的方程.
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五.课后作业:

班级

学号

姓名

1.以点 (1, ?1) 为中点的抛物线 y2 ? 8x 的弦所在的直线方程为





( A) x ? 4y ? 3 ? 0 (B) x ? 4y ? 3? 0 (C) 4x ? y ? 3? 0 (D)

4x ? y ?3 ? 0

2.斜率为 3 的直线交椭圆 x2 ? y2 ? 1 于 A, B 两点,则线段 AB 的中点 M 的坐标满足 25 9

方程( ) ( A) y ? 3 x 25

(B) y ? ? 3 x 25

(C) y ? 25 x 3

(D) y ? ? 25 x 3

3.过点 (0,1) 与抛物线 y2 ? 2 px( p ? 0) 只有一个公共点的直线的条数是





( A) 0

(B) 1

(C) 2

(D) 3

4.已知双曲线 x2 ? y2 ? kx ? y ? 9 ? 0 与直线 y ? kx ?1的两个交点关于 y 轴对称,则

这两个交点的坐标为



5.与直线 2x ? y ? 4 ? 0 的平行的抛物线 y ? x2 的切线方程是



6.已知椭圆的中心在原点,离心率为 1 ,一个焦点是 F(?m, 0) ( m 是大于 0 的常 2
数).
(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设 Q 是椭圆上的一点,且过点 F,Q 的直线 l 与 y 轴交于
点 M ,若| MQ |? 2 | QF | ,求直线 l 的斜率.

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7.一个正三角形的三个顶点都在双曲线 x2 ? ay2 ? 1 的右支上,其中一个顶点是双曲线 的右顶点,求实数 a 的取值范围.
8.已知直线 y ? kx ?1与双曲线 3x2 ? y2 ? 1相交于 A, B 两点.是否存在实数 k ,使 A, B 两点关于直线 x ? 2 y ? 0对称?若存在,求出 k 值,若不存在,说明理由.
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