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2016年山东省潍坊一中高考数学二模试卷(文科)(解析版)


2016 年山东省潍坊一中高考数学二模试卷(文科)
一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M={0,1,2},集合 N={y|y=x2,x∈M},则 M∪N=( ) A.{0} B.{0,1} C.{0,1,2} D.{0,1,2,4} 2.已知复数 ,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的共轭复数 所对应的点在( )

A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 3.如图,正方形 ABCD 中,E 为 DC 的中点,若

,则 λ+μ 的值为(



A.

B.

C.1

D.﹣1 ,则 b=( 4 5 )

4.已知 x,y 的取值如表所示,且线性回归方程为 =bx+ x y A. B. C. 2 6 D. 3 4

5.某校共有高一、高二、高三学生共有 1290 人,其中高一 480 人,高二比高三多 30 人, 为了解该校学生健康状态,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有高一学生 96 人,则该样本中的高三学生人数为( ) A.84 B.78 C.81 D.96 6.已知 α,β 是两个不同的平面,a,b,c 是三条不同的直线,则下列条件中,是 a∥b 的 充分条件的个数为( ) ①α∥β,a? α,b∥β;②a∥c,且 b∥c; ③α∩β=c,a? α,b? β,a∥β,b∥α;④a⊥c,且 b⊥c. A.2 B.0 C.3 D.1 x﹣1 7.函数 f(x)=a ﹣2(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx﹣ny﹣1=0 上, 其中 m>0,n>0,则 的最小值为( )

A.4 B.5 C.6 D. 8.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<ω)的图象如图所示,为了得到 g(x) =Asinωx 的图象,可以将 f(x)的图象( )

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A.向右平移 C.向右平移

个单位长度 个单位长度

B.向左平移 D.向左平移

个单位长度 个单位长度

9.若直线 y=kx 与圆(x﹣2)2+y2=1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对称,则 k,b 的值分 别为( ) A. B. C. D.

10.定义在 R 上的可导函数 f(x) ,当 x∈(1,+∞)时, (x﹣1)f′(x)﹣f(x)>0 恒成 立,a=f(2) ,b= f(3) ,c=( +1)f( ) ,则 a、b、c 的大小关系为( )

A.c<a<b B.b<c<a C.a<c<b D.c<b<a 二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上) 11.已知等差数列{an}中,a1+a3+a8= ,那么 cos(a3+a5)= . ,

12. 3], 在如图程序框图中, 若任意输入的 t∈[﹣2, 那么输出的 s 的取值范围是

13.已知 x∈(0,+∞) ,观察下列各式: x+ ≥2, x+ x+ … 类比得:x+ ,则 a= . ≥3, ≥4,

14.已知关于 x,y 的不等式组

所表示的平面区域的面积为 3,则实数 k 的值





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15.抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线 y2﹣x2=1 相交于 A,B 两点,若 △ABF 为等边三角形,则 p= . 三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,满足 (Ⅰ)求角 C; (Ⅱ)求 的取值范围. = .

17.以下茎叶图记录了甲组 3 名同学寒假假期中去图书馆 A 学习的次数和乙组 4 名同学寒 假假期中去图书馆 B 学习的次数.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 x 表 示. (1)如果 x=7,求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差; (2)如果 x=9,从学习次数大于 8 的学生中选两名同学,求选出的两名同学恰好分别在两 个图书馆学习且学习的次数和大于 20 的概率.

18.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,底面 ABC 等边三角形,E, F 分别是 BC,CC1 的中点.求证: (Ⅰ) EF∥平面 A1BC1; (Ⅱ) 平面 AEF⊥平面 BCC1B1.

19.在等差数列{an}中,a2=5,a5=11,数列{bn}的前 n 项和 Sn=n2+an. (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列 的前 n 项和 Tn. + =1(a>b>0) ,其右焦点 F(1,0) ,离心率为 .

20.已知椭圆 C:

(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; B, (Ⅱ) 已知直线 x﹣y+m=0 与椭圆 C 交于不同的两点 A, 且线段 AB 的中点不在圆 x2+y2= 内,求 m 的取值范围. 21.已知函数 f(x)=ex﹣ax﹣1(a>0,e 为自然对数的底数) .
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(1)求函数 f(x)的最小值; (2)若 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,求实数 a 的值.

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2016 年山东省潍坊一中高考数学二模试卷(文科)
参考答案与试题解析

一、选择题:本大题共 10 个小题,每小题 5 分,共 50 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的. 1.已知集合 M={0,1,2},集合 N={y|y=x2,x∈M},则 M∪N=( ) A.{0} B.{0,1} C.{0,1,2} D.{0,1,2,4} 【考点】并集及其运算. 【分析】根据集合的基本运算进行求解即可. 【解答】解:因为 N={y|y=x2,x∈M}={0,1,4}, 所以 M∪N={0,1,2,4}, 故选 D.

2.已知复数

,其中 i 为虚数单位,则复数 z 的共轭复数 所对应的点在(



A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【考点】复数的代数表示法及其几何意义. 【分析】利用复数的运算法则、共轭复数、复数的几何意义即可得出. 【解答】解:∵复数 对应的点在第四象限. 故选:D. 3.如图,正方形 ABCD 中,E 为 DC 的中点,若 ,则 λ+μ 的值为( ) = = =1+2i,复数 z 的共轭复数 =1﹣2i 所

A.

B.

C.1

D.﹣1

【考点】向量在几何中的应用;平面向量的基本定理及其意义. 【分析】利用向量转化求解即可. E 为 DC 的中点, 【解答】 解: 由题意正方形 ABCD 中, 可知: 则 λ+μ 的值为: . 故选:A. = .

4.已知 x,y 的取值如表所示,且线性回归方程为 =bx+ x 2 3
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,则 b=( 4



y A. B. C.

6 D.

4

5

【考点】线性回归方程. 【分析】求出数据中心代入回归方程解出 b. 【解答】解: ∴5=3b+ 故选 D. 5.某校共有高一、高二、高三学生共有 1290 人,其中高一 480 人,高二比高三多 30 人, 为了解该校学生健康状态,现采用分层抽样方法进行调查,在抽取的样本中有高一学生 96 人,则该样本中的高三学生人数为( A.84 B.78 C.81 D.96 ) = , .

,解得 b=﹣ .

【考点】分层抽样方法. 【分析】根据分层抽样的定义建立比例关系即可. 【解答】解:∵高一 480 人,高二比高三多 30 人, ∴设高三 x 人,则 x+x+30+480=1290, 解得 x=390, 故高二 420,高三 390 人, 若在抽取的样本中有高一学生 96 人,则该样本中的高三学生人数为 故选:B 6.已知 α,β 是两个不同的平面,a,b,c 是三条不同的直线,则下列条件中,是 a∥b 的 充分条件的个数为( ) ①α∥β,a? α,b∥β;②a∥c,且 b∥c; ③α∩β=c,a? α,b? β,a∥β,b∥α;④a⊥c,且 b⊥c. A.2 B.0 C.3 D.1 【考点】空间中直线与平面之间的位置关系. 【分析】利用线面平行的性质定理和判定定理分别进行分析判断. 【解答】解:①由 α∥β,a? α,b∥β,a 与 b 可能平行、相交或者异面;故①错误; ②a∥c,且 b∥c,根据平行公理可得到 a∥b;故②正确; ③α∩β=c,a? α,b? β,a∥β,b∥α;根据线面平行的性质定理得到 a∥c,b∥c,所以 a ∥b;故③正确; ④由 a⊥c,且 b⊥c,a,b 位置关系不确定; 所以四个条件在是 a∥b 的充分条件的是②③; 故选:A. 7.函数 f(x)=ax﹣1﹣2(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A,若点 A 在直线 mx﹣ny﹣1=0 上, 其中 m>0,n>0,则 A.4 B.5 C.6 的最小值为( D.
第 6 页(共 16 页)

人,



【考点】基本不等式;指数函数的图象变换. 【分析】 由指数函数可得 A 坐标, 可得 m+n=1, 整体代入可得 + ,由基本不等式可得. = ( =3+ ) (m+n)

【解答】解:当 x﹣1=0 即 x=1 时,ax﹣1﹣2 恒等于﹣1, 故函数 f(x)=ax﹣1﹣2(a>0,a≠1)的图象恒过定点 A(1,﹣1) , 由点 A 在直线 mx﹣ny﹣1=0 上可得 m+n=1, 由 m>0,n>0 可得 =3+ + ≥3+2 即 m= =( =3+2 ﹣1 且 n=2﹣ 时取等号, ) (m+n)

当且仅当 = 故选:D.

8.函数 f(x)=Asin(ωx+φ) (A>0,ω>0,0<φ<ω)的图象如图所示,为了得到 g(x) =Asinωx 的图象,可以将 f(x)的图象( )

A.向右平移 C.向右平移

个单位长度 个单位长度

B.向左平移 D.向左平移

个单位长度 个单位长度

【考点】函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式. 【分析】首先根据函数的图象确定 A、ω、φ 的值,进一步确定解析式,然后利用函数图象 的平移变换求得结果. 【解答】解:根据函数的图象:A=1 T=4( ﹣ )=π

所以:ω=2 当 x= 时,f( , , )=sin[2(x+ )],
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)=sin(2×

+φ)=0,

由于|φ|< 解得:φ=

∴f(x)=sin(2x+

∴要得到 g(x)=sin2x 的图象,则需将 f(x)的图象向右平移 故选:C.

个单位即可.

9.若直线 y=kx 与圆(x﹣2)2+y2=1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对称,则 k,b 的值分 别为( ) A. B. C. D.

【考点】直线与圆的位置关系;关于点、直线对称的圆的方程. 【分析】利用对称知识,求出直线的斜率,对称轴经过圆的圆心即可求出 b. 【解答】解:因为直线 y=kx 与圆(x﹣2)2+y2=1 的两个交点关于直线 2x+y+b=0 对称, 直线 2x+y+b=0 的斜率为﹣2,所以 k= . 并且直线经过圆的圆心,所以圆心(2,0)在直线 2x+y+b=0 上, 所以 4+0+b=0,b=﹣4. 故选 A. 10.定义在 R 上的可导函数 f(x) ,当 x∈(1,+∞)时, (x﹣1)f′(x)﹣f(x)>0 恒成 立,a=f(2) ,b= f(3) ,c=( +1)f( ) ,则 a、b、c 的大小关系为( )

A.c<a<b B.b<c<a C.a<c<b D.c<b<a 【考点】利用导数研究函数的单调性. 【分析】构造函数 g(x)= 【解答】解:构造函数 g(x)= ,求函数的导数,判断函数的单调性即可得到结论 ,当 x∈(1,+∞)时,

g′(x)=

,即函数 g(x)单调递增,

则 a=f(2)=

=g(2) ,b= f(3)=

=g(3) ,c=(

+1)f(

)=

=g

( ) , 则 g( )<g(2)<g(3) , 即 c<a<b, 故选:A. 二、填空题(每题 5 分,满分 25 分,将答案填在答题纸上) 11.已知等差数列{an}中,a1+a3+a8= ,那么 cos(a3+a5)= ﹣ .

【考点】等差数列的性质. 【分析】由已知结合等差数列的性质求得 a4,则 a3+a5 可求,其余弦值可求. 【解答】解:在等差数列{an}中,由 a1+a3+a8= ,得

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, ∴ 即 ∴a3+a5= 则 cos(a3+a5)= 故答案为:﹣ . , , , =﹣ .

12.在如图程序框图中,若任意输入的 t∈[﹣2,3],那么输出的 s 的取值范围是 [﹣10,

6] ,

【考点】程序框图. 【分析】 模拟执行程序框图, 可得程序框图的功能是计算并输出 分类讨论即可得解. 【解答】解:由程序框图可知程序框图的功能是计算并输出 ∴当 t∈[﹣2,0)时,﹣10≤5t<0; 当 t∈[0,3]时,2t2﹣4t=2(t﹣1)2﹣2∈[﹣2,6], ∴综上得:﹣10≤S≤6. 故答案为:[﹣10,6]. 13.已知 x∈(0,+∞) ,观察下列各式: x+ ≥2, x+ x+ … 类比得:x+ ,则 a= nn . ≥3, ≥4, 的值, 的值,

【考点】类比推理;归纳推理. 【分析】观察前几个式子的分子分母可发现规律得出结论. 【解答】解:当 n=1 时,a=1,
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当 n=2 时,a=2=22, 当 n=3 时,a=27=33, … ∴当分母指数取 n 时,a=nn. 故答案为 nn.

14.已知关于 x,y 的不等式组

所表示的平面区域的面积为 3,则实数 k 的值





【考点】简单线性规划. 【分析】由约束条件作出可行域,然后代入三角形面积公式求得实数 k 的值.

【解答】解:由约束条件

作出可行域如图,

联立 ∴|AB|=2k+2, 则 故答案为: .

,解得 B(2,2k+2) ,

,即 k= .

15.抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,其准线与双曲线 y2﹣x2=1 相交于 A,B 两点,若 △ABF 为等边三角形,则 p= . 【考点】抛物线的简单性质. 【分析】求出抛物线的焦点坐标,准线方程,然后求出抛物线的准线与双曲线的交点坐标, 利用三角形是等边三角形求出 p 即可. 【解答】解:抛物线的焦点坐标为(0, ) ,准线方程为:y=﹣ ,

第 10 页(共 16 页)

准线方程与双曲线 x2﹣y2=1 联立可得:x2﹣(﹣ )2=1,

解得 x=±

, =2|x|,即 p2=3x2,

因为△ABF 为等边三角形,所以 即 p2=3(1+ 故答案为: ) ,解得 p= . .

三、解答题(本大题共 6 小题,共 75 分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.) 16.在△ABC 中,角 A,B,C 所对的边分别为 a,b,c,满足 (Ⅰ)求角 C; (Ⅱ)求 的取值范围. = .

【考点】余弦定理. 【分析】 (Ⅰ)利用正弦定理化简已知的等式,再利用余弦定理表示出 cosC,将得出的关系 式变形后代入求出 cosC 的值,由 C 为三角形的内角,利用特殊角的三角函数值即可求出 C 的度数; (Ⅱ)所求式子利用正弦定理变形,将 sinC 的值代入,整理为一个角的正弦函数,由 A 的 范围求出这个角的范围,利用正弦函数的定义域与值域求出范围即可. 【解答】解: (Ⅰ)利用正弦定理化简已知等式得: 化简得 a2+b2﹣ab=c2,即 a2+b2﹣c2=ab, ∴cosC= = , = ,

∵C 为三角形的内角, ∴C= (Ⅱ) ; = ) ,∴A+ = [sinA+sin( ∈( , ) , ﹣A)]=2sin(A+ ) ,

∵A∈(0, ∴sin(A+ 则

)∈( ,1],

的取值范围是(1,2].

17.以下茎叶图记录了甲组 3 名同学寒假假期中去图书馆 A 学习的次数和乙组 4 名同学寒 假假期中去图书馆 B 学习的次数.乙组记录中有一个数据模糊,无法确认,在图中以 x 表 示.
第 11 页(共 16 页)

(1)如果 x=7,求乙组同学去图书馆学习次数的平均数和方差; (2)如果 x=9,从学习次数大于 8 的学生中选两名同学,求选出的两名同学恰好分别在两 个图书馆学习且学习的次数和大于 20 的概率.

【考点】茎叶图;古典概型及其概率计算公式. 【分析】 (1)如果 x=7,直接利用平均数和方差的定义求出乙组同学去图书馆学习次数的平 均数和方差. (2) 求出所有的基本事件共有 4×3 个, 满足这两名同学分别在两个图书馆学习且学习的次 数和大于 20 的基本事件有 10 个,根据古典概型概率计算公式求得结果. 【解答】解: (1)如果 x=7,则乙组同学去图书馆学习次数的平均数为 方差为 S2= =9,

=3.5.

(2)如果 x=9,则所有的基本事件共有

=15 个,满足这两名同学的去图书馆学习次数大

于 20 的基本事件有: (9,12) , (11,12) , (12,9) , (12,9) , (12,12) ,共有 5 个, 故两名同学恰好分别在两个图书馆学习且学习的次数和大于 20 的概率为 = .

18.如图,在三棱柱 ABC﹣A1B1C1 中,侧棱 AA1⊥底面 ABC,底面 ABC 等边三角形,E, F 分别是 BC,CC1 的中点.求证: (Ⅰ) EF∥平面 A1BC1; (Ⅱ) 平面 AEF⊥平面 BCC1B1.

【考点】平面与平面垂直的判定;直线与平面平行的判定. 【分析】 (Ⅰ)由三角形中位线定理得 EF∥BC1,由此能证明 EF∥平面 A1BC1. (Ⅱ)由三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱,得 AE⊥BB1,由正三角形性质得 AE⊥BC,由 此能证明平面 AEF⊥平面 BCC1B1. 【解答】证明: (Ⅰ)因为 E,F 分别是 BC,CC1 的中点, 所以 EF∥BC1. 又因为 BC1? 平面 A1BC1,EF?平面 A1BC1,
第 12 页(共 16 页)

所以 EF∥平面 A1BC1. (Ⅱ)因为三棱柱 ABC﹣A1B1C1 是直三棱柱, 所以 BB1⊥平面 ABC.又 AE? 平面 ABC, 所以 AE⊥BB1. 又因为△ABC 为正三角形,E 为 BC 的中点, 所以 AE⊥BC. 又 BB1∩BC=B,所以 AE⊥平面 BCC1B1. 又 AE? 平面 AEF,所以平面 AEF⊥平面 BCC1B1.

19.在等差数列{an}中,a2=5,a5=11,数列{bn}的前 n 项和 Sn=n2+an. (Ⅰ)求数列{an},{bn}的通项公式; (Ⅱ)求数列 的前 n 项和 Tn.

【考点】数列的求和. 【分析】 (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d,利用已知条件列出方程组,求出首项 与公差,即可求解通项公式.然后数列{bn}的前 n 项和 通项公式. (2)利用裂项消项法求解即可. 【解答】解: (1)设等差数列{an}的首项为 a1,公差为 d, 则 ∴ , ,再求解数列{bn}的

∴an=3+(n﹣1)×2=2n+1… ∴数列{bn}的前 n 项和 当 n=1 时,b1=S1=4, 当 n≥2 时, 对 b1=4 不成立, 所以,数列{bn}的通项公式为 (2)n=1 时, … ,



第 13 页(共 16 页)

n≥2 时, 所以



, n=1 仍然适合上式,… 综上, …

20.已知椭圆 C:

+

=1(a>b>0) ,其右焦点 F(1,0) ,离心率为



(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; B, (Ⅱ) 已知直线 x﹣y+m=0 与椭圆 C 交于不同的两点 A, 且线段 AB 的中点不在圆 x2+y2= 内,求 m 的取值范围. 【考点】椭圆的简单性质. 【分析】 (Ⅰ)由椭圆右焦点 F(1,0) ,离心率为 方程. ,得:3x2+4mx+2m2﹣2=0,由此利用根的判别式、韦达定理、 ,求出 a,b,由此能求出椭圆的标准

(Ⅱ)联立方程

中点坐标公式、椭圆性质,结合已知条件能求出 m 的取值范围. 【解答】解: (Ⅰ)∵椭圆 C: + =1(a>b>0) ,其右焦点 F(1,0) ,离心率为 ,

∴ ∴椭圆的标准方程为

,又 c=1,故 a=

,b=1,

(Ⅱ)联立方程



消去 y 整理得:3x2+4mx+2m2﹣2=0, 则△=16m2﹣12(2m2﹣2)=8(﹣m2+3)>0,解得﹣ 设 A(x1,y1) ,B(x2,y2) ,则 即 AB 的中点为(﹣ ) ,

, = ,

,y1+y2=x1+x2+2m=﹣

第 14 页(共 16 页)

又 AB 的中点不在圆 解得 m≤﹣1 或 m≥1. 综上可知,﹣

内,∴



或1



21.已知函数 f(x)=ex﹣ax﹣1(a>0,e 为自然对数的底数) . (1)求函数 f(x)的最小值; (2)若 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,求实数 a 的值. 【考点】函数恒成立问题. 【分析】 (1)求函数的导数,利用函数的单调性和导数之间的关系,即可求函数 f(x)的 最小值; (2)要使 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立,则只需求出 f(x)的最小值即可得到结论. 【解答】解: (1)∵f(x)=ex﹣ax﹣1(a>0) , x ∴f'(x)=e ﹣a, 由 f'(x)=ex﹣a=0 得 x=lna, 由 f'(x)>0 得,x>lna,此时函数单调递增, 由 f'(x)<0 得,x<lna,此时函数单调递减, 即 f(x)在 x=lna 处取得极小值且为最小值, 最小值为 f(lna)=elna﹣alna﹣1=a﹣alna﹣1. (2)若 f(x)≥0 对任意的 x∈R 恒成立, 等价为 f(x)min≥0, 由(1)知,f(x)min=a﹣alna﹣1, 设 g(a)=a﹣alna﹣1, 则 g'(a)=1﹣lna﹣1=﹣lna, 由 g'(a)=0 得 a=1, 由 g'(x)>0 得,0<x<1,此时函数单调递增, 由 g'(x)<0 得,x>1,此时函数单调递减, ∴g(a)在 a=1 处取得最大值,即 g(1)=0, 因此 g(a)≥0 的解为 a=1, ∴a=1.

第 15 页(共 16 页)

2016 年 8 月 13 日

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