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函数单调性与最值的综合(一轮复习教案)


函数的单调性与
适用学科 适用区域 知识点
数学 全国 求函数的值域 1 理解和掌握函数的值域是,研究函数的最值问题。 2 能应用常用的方法来正确求函数的定义域,来培养学生应用数学分析、解 决实际函数的能力.

适用年级
课时时长(分钟)

高二年级 120

学习目标

3 培养学生学习的积极性和主动性,发现问题,善于解决问题,探究知识, 合作交流的意识,体验数学中的美,激发学习兴趣,从而培养学生勤于动 脑和动手的良好品质

学习重点 学习难点

函数值域就是求函数最值的问题。 求函数的值域解决函数的取值范围

学习过程
一、复习预习
1.函数的值域
1.定义:在函数 y ? f ( x ) 中,与自变量 x 的值对应的因变量 y 的值叫做函数值,函数值的集合叫做 函数的值域(或函数值的集合) 。 2.确定函数的值域的原则 ①当函数 y ? f ( x ) 用表格给出时,函数的值域是指表格中实数 y 的集合; ②当函数 y ? f ( x ) 用图象给出时,函数的值域是指图象在 y 轴上的投影所覆盖的实数 y 的集合; ③当函数 y ? f ( x ) 用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则唯一确定; ④当函数 y ? f ( x ) 由实际问题给出时,函数的值域由问题的实际意义确定。

二、知识讲解
常见函数的值域:
1 一次函数的 y ? ax ? b(a ? 0) 的定义域为 R ,值域为 R ,对于一个 R 中的任意一个数,对 R 中都 有为唯一的数与它相对应。 2 二次函数 y ? ax2 ? bx ? c(a ? 0) 的定义域为 R ,值域为 B。当 a ? 0 时, B ? { y y ? 当 a ? 0 时, B ? { y y ? 3 反比例函数 y ?

4ac ? b 2 }, 4a

4ac ? b 2 } ,对 R 中都有为唯一的数与它相对应。 4a

k ? k ? 0 ? 的值域为 ? y ? R y ? 0? . x

4 求函数值域的方法:观察法,配方法,换元法,分离常数法,反解法,判别式法等。

单调性
(1)定义:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任意两个自变量

x1,x2,当 x1<x2 时,都有 f(x1)<f(x2)(f(x1)>f(x2)) ,那么就说 f(x)在区间 D 上是增函数(减函数) ;
注意:函数的单调性是在定义域内的某个区间上的性质,是函数的局部性质; 必须是对于区间 D 内的任意两个自变量 x1,x2;当 x1<x2 时,总有 f(x1)<f(x2) (2)如果函数 y=f(x)在某个区间上是增函数或是减函数,那么就说函数 y=f(x)在这一区间具有(严格的) 单调性,区间 D 叫做 y=f(x)的单调区间。 (3) 设复合函数 y= f[g(x)], 其中 u=g(x) , A 是 y= f[g(x)]定义域的某个区间, B 是映射 g : x→u=g(x) 的 象集: ①若 u=g(x) 在 A 上是增(或减)函数,y= f(u)在 B 上也是增(或减)函数,则函数 y= f[g(x)]在 A 上是增函数; ②若 u=g(x)在 A 上是增(或减)函数,而 y= f(u)在 B 上是减(或增)函数,则函数 y= f[g(x)]在 A 上是减函数。 (5)简单性质 ①奇函数在其对称区间上的单调性相同;②偶函数在其对称区间上的单调性相反; ③在公共定义域内:增函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是增函数; 减函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是减函数;

增函数 f ( x) ? 减函数 g ( x) 是增函数;

减函数 f ( x) ? 增函数 g ( x) 是减函数。

最值
最大值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I,都有 f(x) ≤M;②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M.那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值. 最小值:一般地,设函数 y=f(x)的定义域为 I,如果存在实数 M 满足:①对于任意的 x∈I,都有 f(x) ≥M;②存在 x0∈I,使得 f(x0) = M.那么,称 M 是函数 y=f(x)的最大值.

三、例题精析
考点一 函数的单调性 【例题 1】 :若函数 f ( x) ? 4 x2 ? kx ? 8 在 [5,8] 上是单调函数,则 k 的取值范围是(
A. ? ??, 40? B. [40,64] C. ? ??, 40? )

?64, ???

D. ?64, ?? ?

【答案】 :C 【解析】 :对称轴 x ?
k k k ,则 ? 5 ,或 ? 8 ,得 k ? 40 ,或 k ? 64 8 8 8
C. a ? 5 D. a ? 3

【例题 2】 :已知函数 f ? x ? ? x2 ? 2 ? a ?1? x ? 2 在区间 ?? ?,4? 上是减函数,则实数 a 的取值范围是(
A. a ? ? 3 B. a ? ?3



【答案】 :A 【解析】 : 对称轴 x ? 1 ? a,1 ? a ? 4, a ? ?3

考点二 奇偶性与单调性的综合
1 【例题 3】 : 已知偶函数 f ( x) 在区间 ?0, ??) 单调增加, 则满足 f (2 x ? 1) < f ( ) 的 x 取值范围是 ( ) 3 1 2 1 2 1 2 1 2 A.( , ) B.[ , ) C.( , ) D. [ , ) 2 3 2 3 3 3 3 3

【答案】 :选 A.
1 【解析】 : 由于 f ( x) 是偶函数,故 f ( x) = f (| x |) , ∴得 f (| 2 x ? 1 |) ? f ( ) , 再根据 f ( x) 的单调性, 得 3 2 1 1 2 x ? 1 ? ,解得 < x < . 所以答案选 A. 3 3 3

【例题 4】 : 偶函数 f ( x) 在定义域为 R,且在(-∞,0]上单调递减,求满足 f ( x ? 3) > f ( x ? 1) 的 x
的集合.

【答案】 : (-1,+∞) . 【解析】 : 由偶函数 f ( x) 在(-∞,0]上单调递减,可知 f ( x) 在[0,+∞)上单调递增.根据图象的
对称性, f ( x ? 3) > f ( x ? 1) 等价于 | x ? 3 | > | x ? 1 | . 解之, x ? ?1 ,∴ 1,+∞) . 满足条件的 x 的集合为(-

考点三 函数的最值
1 【例题 5】 :设点 P 在曲线 y ? e x 上,点 Q 在曲线 y ? ln(2 x) 上,则 PQ 最小值为( 2


( A) 1 ? ln 2

( B)

2(1 ? ln 2)

(C ) 1 ? ln 2

( D ) 2(1 ? ln 2)

【答案】 :B
1 1 【解析】 : 函数 y ? e x 与函数 y ? ln(2x )互为反函数,图象关于 y ? x 对称,函数 y ? e x 上的点 2 2
1 P ( x, e x ) 2





线

y?x









1 x e ?x 2 d? 2







1 1 1 ? ln 2 g ( x) ? e x ? x ? g ?( x) ? e x ? 1 ? g ( x) min ? 1 ? ln 2 ? d min ? , 2 2 2
由图象关于 y ? x 对称得: PQ 最小值为 2dmin ? 2(1 ? ln 2)

【例题 6】 :设 a 为实数,函数 f ( x) ? x 2 ? | x ? a | ?1 , x ? R (1)讨论 f ( x) 的奇偶性; (2)求 f ( x) 的最
小值。

【答案】 :如下
2 2 【解析】 : (1)当 a ? 0 时, f ( x) ? x ? | x | ?1为偶函数, 当 a ? 0 时, f ( x) ? x ? | x ? a | ?1 为非奇非偶函

数;

1 1 3 时, f ( x ) min ? f ( ) ? a ? , 2 2 4 1 1 3 2 2 当 a ? 时, f ( x) min 不存在;当 x ? a 时, f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ? , 2 2 4 1 1 1 3 当 a ? ? 时, f ( x)min ? f (a) ? a2 ? 1 ,当 a ? ? 时, f ( x) min ? f ( ? ) ? ? a ? 。 2 2 2 4
(2)当 x ? a 时, f ( x) ? x ? x ? a ? 1 ? ( x ? ) ? a ?
2 2

1 2

3 , 4

当a ?

考点四 不等式法
x4 ? x2 (t ? 0) 的值域 【例题7】函数 f ( x) ? 2 x ?1

【答案】 : 2 2 ?3 【解析】 :令 x 2 ? t , f ( x) ? 【例题 8】 :若 【答案】 :-8 【解析】 :令 tan x ? t ,
? y ? tan 2 x tan 3 x ?

t 2 ? t t (t ? 1) ? 2(t ? 1) ? 2 2 ? ? t ?1? ?3? 2 2 ?3 t ?1 t ?1 t ?1


?
4

?x?

?
2

,则函数 y ? tan 2 x tan 3 x 的最大值为

?
4

?x?

?
2

?t ? 1 ,

2 tan 4 x 2t 4 2 2 2 ? ? ? ? ? ?8 2 2 1 1 1 1 2 1 1 1 ? tan x 1 ? t ? ( 2? ) ? ? t4 t2 t 2 4 4

考点五 导数法 【例题9】函数 f ( x) ? x3 ? 6x 2 ? 9x ? 2, x ?[?2,4] 的值域 【答案】 : [?52,2] 【解析】 : f ( x) ? x3 ? 6x 2 ? 9x ? 2, f ?( x) ? 3x 2 ?12x ? 9 ? 0, x1 ? 1, x2 ? 3 ,当 x ? [?2,1] ? [3,4] 时,
f ( x) 单调递增, x ? (1,3) 时, f ( x) 单调递减, f ( x) ? [?52,2] 。

【例题 10】已知函数 f ( x) ? x2e? x ,当曲线 y ? f ( x) 的切线 l 的斜率为负数时,求 l 在 x 轴上截距的取
值范围。

【答案】 : (-?,0) ?[2 2 ? 3, ??) 【解析】 : 设 切 点 为 (t , f (t )) , 则 l 的 方 程 为 y ? f ?(t )( x ? t ) ? f (t ) . 所 以 l 在 x 轴 上 的 截 距 为 f (t ) t 2 m(t ) ? t ? ?t? ? t ?2? ?3。 f ?(t ) t ?2 t ?2 由 l 的方程的斜率为负数可得: t ? (-?,0) (2,+?) .当 t ? (-?,0) , m(t ) 的取值范围为 (-?,0) ,
当 t ? (2,+?) 时, m(t ) 的取值范围为 [2 2 ? 3, ??) .综上, l 在 x 轴上的截距为 (-?,0) ?[2 2 ? 3, ??)

考点六 函数的综合问题 【例题 11】 :已知两条直线 l1 :y=m 和 l2 : y=
8 (m>0), l1 与函数 y ? log 2 x 的图像从左至右 2m ? 1

相交于点 A,B , l2 与函数 y ? log 2 x 的图像从左至右相交于 C,D .记线段 AC 和 BD 在 X 轴上的投影长 度分别为 a ,b ,当 m 变化时, A. 16 2 B. 8 2 C. 8 4

b 的最小值为 a
D. 4 4

【答案】 :B 【解析】 :在同一坐标系中作出 y=m,y=
8 (m>0), y ? log 2 x 图像如下图,由 log 2 x = m,得 2m ? 1
, 得
8 2 m?1

x1 ? 2 , x2 ? 2

?m

m



log2 x

=

8 2m ? 1

x3 ? 2

?

8 2 m?1

, x4 ? 2

8 2 m?1

. 依 照 题 意 得

a? 2

?m

?2

?

8 2 m ?1

,b ? 2 ? 2
m

8 2 m?1

b , ? a

2 ?2
m

2

?m

?2

?

8 2 m ?1

? 2m 2

8 2 m?1

?2

m?

8 2 m ?1

.

b 8 1 4 1 1 1 ? m? ? ? ? 4 ? ? 3 ,? ( ) min ? 8 2 . a 2m ? 1 2 m? 1 2 2 2 2 1 【例题 12】 :已知函数 f ( x) 满足满足 f ( x) ? f ?(1)e x ?1 ? f (0) x ? x 2 ; 2 1 2 (1)求 f ( x) 的解析式及单调区间;(2)若 f ( x ) ? x ? ax ? b ,求 (a ? 1)b 的最大值。 2 1 【答案】 : f ( x) 的解析式为 f ( x) ? e x ? x ? x 2 2 1 2 x ?1 x ?1 【解析】 : ( 1 ) f ( x) ? f ?(1)e ? f (0) x ? x ? f ?( x) ? f ?(1)e ? f (0) ? x , 令 x ? 1 得 : 2 1 ?1 ? f? (1 f ( x)? ?f ( 1x) e ? ?x 2? x f( ?0 ) ?1e )? ? 1 ?f ( 1 )e f(0) ? 1 2 1 2 x x 得: f ( x) ? e ? x ? x ? g ( x) ? f ?( x) ? e ? 1 ? x 2

m?

g?( x) ? ex ? 1 ? 0 ? y ? g ( x) 在 x ? R 上单调递增
f ?( x) ? 0 ? f ?(0) ? x ? 0, f ?( x) ? 0 ? f ?(0) ? x ? 0
且单调递增区间为 (0, ??) ,单调递减区间为 ( ??, 0) 得: f ( x) 的解析式为 f ( x ) ? e ? x ?
x

1 2 x 2

(2) f ( x) ?

1 2 x ? ax ? b ? h( x) ? e x ? (a ? 1) x ? b ? 0 得 h?( x) ? e x ? (a ? 1) 2

①当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? y ? h( x) 在 x ? R 上单调递增 x ??? 时, h( x) ? ?? 与 h( x) ? 0 矛 盾 ②当 a ? 1 ? 0 时, h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1), h?( x) ? 0 ? x ? ln(a ? 1) 得:当 x ? ln(a ? 1) 时, h( x)min ? (a ? 1) ? (a ? 1)ln(a ? 1) ? b ? 0

(a ? 1)b ? (a ? 1)2 ? (a ? 1)2 ln(a ?1)(a ?1 ? 0) ,令 F ( x) ? x2 ? x2 ln x( x ? 0) ;则 F ?( x) ? x(1 ? 2ln x)

F ?( x) ? 0 ? 0 ? x ? e , F ?( x) ? 0 ? x ? e , 当 x ? e 时, F ( x ) max ?
当 a ? e ?1, b ? e 时, (a ? 1)b 的最大值为

e 2

e 2

四、课堂练习
【基础型】
1:求 f ( x) ? x 2 ? 4x ? 6 在 [1,5] 上的取值范围 答案: [ 2,11] 解析:配方: f ( x) ? ( x ? 2) ? 2 , f(x)的对称轴为 x=2 在[1,5]中间 ymin ? f (2) ? 2 ymax ? f (5) ? 11 ,
2

所以,f(x)的值域为[2,11]. 2 已知 3x 2 ? 2 y 2 ? 6 x ,试求 x 2 ? y 2 的最大值. 答案:4 解析:由 3x
2 2

2

? 2 y 2 ? 6x 得 y 2 ? ? 3 x 2 ? 3x ? y 2 ? 0,? ? 3 x 2 ? 3x ? 0,? 0 ? x ? 2
2 2
2

3 2 1 9 x ? 3x ? ? ( x ? 3) 2 ? , 2 2 2 1 9 ? 当 x ? 2 时, x 2 ? y 2 有最大值,最大值为 ? (2 ? 3) 2 ? ? 4. 2 2
又x ? y ? x ?

【巩固型】
1 函数 f ( x) ? 答案: 1 ? 2 2 解 析 : ??

x2 ? 2x ? 2

x2 ?5 x ? 4

的最小值为



? x2 ? 2x ? 0 ? x ? 2或x ? 0 ? ?? ? x ? 4或x ? 0. 又 x ? [4,??) 时 , f ( x) 单 调 递 增 , 2 ? x ? 5 x ? 4 ? 0 ? x ? 4或x ? 1 ?

而 x ? (??,0) 时,f ( x) 单调递减,f ( x) ? f (0) ? 0 ? 4 ? 4 , 故最小值为 1 ? 2 2. f ( x) ? f (4) ? 1 ? 2 2 , 2 若函数 y ? f ( x ) 的值域是 [ , 3] ,则函数 F ( x) ? f ( x) ? A. [ , 3] 答案:B 解析:已知

1 2

1 的值域是 f ( x)

1 2

B. [2,

10 ] 3

C. [ ,

5 10 ] 2 3

D. [3,

10 ] 3

1 10 ? f ( x) ? 3, 由基本不等式 ? F ( x) ? 2 。 2 3

【提高型】
1 已知圆 O 的半径为 1, PA 、 PB 为该圆的两条切线, A 、 B 为俩切点,那么 PA? PB 的最小值为 (A) ?4 ? 2 答案:D 解 析 : 设 PA ? PB ? x( x ? 0) , ?APO ? ? , 则 ?APB ? 2? , PO ? 1 ? x2 , sin ? ? (B) ?3 ? 2 (C) ?4 ? 2 2 (D) ?3 ? 2 2

1 1 ? x2



PA ? PB ?| PA | ? | PB | cos 2? = x2 (1 ? 2sin 2 ? ) =
4 2

x 2 ( x 2 ? 1) x 4 ? x 2 x4 ? x2 = ,令 ,则 , PA ? PB ? y y ? x2 ? 1 x2 ? 1 x2 ? 1
2

即 x ? (1 ? y) x ? y ? 0 ,由 x 2 是实数,所以 ? ? [?(1 ? y)]2 ? 4 ?1? (? y) ? 0 , y ? 6 y ? 1 ? 0 , 解得 y ? ?3 ? 2 2 或 y ? ?3 ? 2 2 .故 ( PA ? PB)min ? ?3 ? 2 2 .此时 x ? 2 已知函数 f ( x ) ? a ln x ? (Ⅰ)求 a 的值
2 (Ⅱ)若 f ( x) 的极大值为 0 ,求 f ( x) 在 (0, e ] 上的最大值

2 ?1 .

2 ? x ? b ,其中 a, b ? R ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线方程垂直 y 轴 x

2 ?5 e2 a 2 解析: (Ⅰ)切线方程垂直于 y 轴,即 f ?( x ) ? ? 2 ? 1 ? 0 ,得 a ? ?3 。 x x
2 2 答案: (1) a ? ?3 ; (2)最大值 f (e ) ? e ?

( Ⅱ ) f ( x) 的 定 义 域 为 (0, ??) , f ?( x) ?

?3 2 x 2 ? 3x ? 2 ? 2 ?1 ? ? 0 , x1 ? 1, x2 ? 2 , f ( x) 在 x x x2

(0,1) (2, ??) 上单增, f ( x) 在 (1, 2) 上单减,即当 x1 ? 1 取的极大值, f (1) ? 0 ,得 b ? 1 ,所以当 x ? e 2
2 2 取最大值 f (e ) ? e ?

2 ?5 。 e2

五、课程小结
本节课是高考中必考的知识点, 而且在高考中往往以隐含的形式出现, 如果你没有把函数的定义域弄明白, 那么一定会做错,所以需要学生要准确的理解考点,灵活并熟练地掌握公式,求函数值域的方法:观察法, 配方法,换元法,分离常数法、不等式,导数等

六、课后作业
【基础型】
1 求函数 y ? ( x 2 ? 5x ? 12)(x 2 ? 5x ? 4) ? 21的取值范围。 答案: ? y | y ? 8

? ?

1? ? 16?
2

9 5? 9 ? 2 解析:令 t ? x ? 5 x ? 4 ? ? x ? ? ? ,则 t ? ? 。 y ? t ?t ? 8? ? 21 ? t 2 ? 8t ? 21 ? ?t ? 4? ? 5 , 2? 4 4 ?
2

1? 9 1 ? ? 9 ? 当 t ? ? 时, y min ? ? ? ? 4 ? ? 5 ? 8 ,取值范围为 ? y | y ? 8 ? 16? 16 4 ? ? 4 ?
2 已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R , 且对任意 a, b ? R , 都有 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) , 且当 x ? 0 时,f ( x) ? 0 恒成立,证明: (1)函数 y ? f ( x) 是 R 上的减函数; 答案:已证 证明:设 x1 ? x2 ,则 x1 ? x2 ? 0 ,而 f (a ? b) ? f (a) ? f (b) ∴ f ( x1 ) ? f ( x1 ? x2 ? x1 )

2

f ( x1 ? x2 ) ? f ( x2 ) ? f ( x2 ) ∴函数 y ? f ( x) 是 R 上的减函数;
3 若函数 f ( x) ? (k 2 ? 3k ? 2) x ? b 在 R 上是减函数,则 k 的取值范围为__________。 答案: (1, 2) 解析:已知函数是一次函数,即有 k 2 ? 3k ? 2 ? 0,1 ? k ? 2 。

【巩固型】
2 ? x ≥1, ?x , g ( x) 是二次函数,若 f ( g ( x)) 的值域是 ?0,∞ 4 设 f ( x) ? ? ? ?, x , x ? 1 , ? ?

则 g ( x) 的值域是( A. ? ?∞, ?1? 答案:C

) B. ? ?∞, ?1?

? ? ?1,∞

? ? C. ?0,∞ ? ? ?0,∞

D. ?1 ,∞ ? ?

解析:要 f ( ? ) 的值域是 ?0,∞ ? ? ,则 ? ? (??,?1] ? [0,??) 又 g ( x) 是二次函数,定义域连续,故 g ( x) 不 可能同时 取(??, ?1]和?0,∞ ? ?. 结合选项只能选 C. 5 已知点 P 在曲线 y ? 答案:

3? ?? ?? 4
'

4 上, ? 为曲线在点 P 处的切线的倾斜角,则 ? 的取值范围是 e ?1
x

解析:因为 y ?

3? ?4e x ?4 ?? ?? 。 ? x ? ?1 ,即 0 ? tan ? ? ?1 ,所以 x 2 x 4 (e ? 1) e ?2?e
x

6 在平面直角坐标系 xOy 中,已知点 P 是函数 f ( x) ? e ( x ? 0) 的图象上的动点,该图象在 P 处的切线 l 交 y 轴于点 M,过点 P 作 l 的垂线交 y 轴于点 N,设线段 MN 的中点的纵坐标为 t,则 t 的最大 是 答案: 。

1 1 (e ? ) 2 e
x ? x0

解析: y ? e 0 ? ?e

1 1 ( x ? x0 ), N (0, ex0 ? x0e? x0 ) ,t ? [(1 ? x0 )e x0 ? e x0 ? x0e ? x0 ] ? e x0 ? x0 (e ? x0 ? e x0 ) 2 2 1 1 1 t ' ? (e x0 ? e ? x0 )(1 ? x0 ) ,所以, t 在 (0,1) 上单调增,在 (1, ??) 单调减, tmax ? (e ? ) 2 e 2

【提高型】
7 已知函数 f ? x ? =x3 ? 3ax2 ? 3x ? 1. (I)求 a ?

2 时,讨论 f ( x) 的单调性(II)若 x ? [2,??) 时, f ( x) ? 0 ,求 a 的取值范围。
5 4

答案: (2) a 的取值范围是 [? , ??) . 解析:;(Ⅰ)当 a ? - 2 时, f ? x ? =x3 -3 2 x 2 ? 3x ? 1. f ' ( x) ? 3x2 ? 6 2x ? 3 . 令 f ( x) ? 0 ,得, x1 ?
'

2 ?1, x2 ? 2 ?1 .当 x ? (??, 2 ?1) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 (??, 2 ?1) 是

增函数;当 x ? ( 2 ?1, 2 ? 1) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 ( 2 ?1, 2 ?1) 是减函数; 当 x ? ( 2 ? 1, ??) 时, f ' ( x) ? 0 , f ( x) 在 ( 2 ? 1, ??) 是增函数;

5 5 .当 a ? ? , x ? (2, ??) 时, 4 4 5 1 f ' ( x) ? 3( x 2 ? 2ax ? 1) ? 3( x 2 ? x ? 1) ? 3( x ? )( x ? 2) ? 0 ,所以 f ( x) 在 (2, ??) 是增函数,于是当 2 2 5 x ? [2, ??) 时, f ( x) ? f (2) ? 0 .综上, a 的取值范围是 [? , ??) . 4 2 8 设函数 f ( x) ? ln( x ? a ) ? x
(Ⅱ)由 f (2) ? 0 得, a ? ? (I)若当 x ? ?1 时, f ( x) 取得极值,求 a 的值,并讨论 f ( x) 的单调性; (II)若 f ( x) 存在极值,求 a 的取值范围,并证明所有极值 k 之和大于 ln 答案:区间 ? ? , ? 1?, ? ∞? 单调增加,在区间 ? ?1 , ? ?? ,

e 2

? 3 ? 2

? ? 1 ? ? 2

? ?

? ?

1? ? 单调减少. 2?

解析: (Ⅰ)故 a ?

3 3 ? 3 ? . f ( x) 的定义域为 ? ? , ? ∞? ,当 ? ? x ? ?1时, f ?( x) ? 0 ; 2 2 ? 2 ?

当 ?1 ? x ? ?

1 1 ? 3 ? ? 1 ? 时, f ?( x) ? 0 ; 当 x ? ? 时, f ?( x) ? 0 . 从而, f ( x) 分别在区间 ? ? , ? 1?, ? , ? ∞? ? 2 2 ? 2 ? ? 2 ?

单调增加,在区间 ? ?1 , ?

? ?

1? ? 单调减少. 2?

? ∞) , (Ⅱ) f ( x) 的定义域为 ( ? a,
(ⅰ)若 ? ? 0 ,即 ? 2 ? a ?

2 ,在 f ( x) 的定义域内 f ?( x) ? 0 ,故 f ( x) 的极值.

(ⅱ)若 ? ? 0 ,则 a ? 2 或 a ? ? 2 .若 a ?

2 , x ? (? 2, ? ∞) , f ?( x) ?

( 2 x ? 1) 2 . x? 2

当 x??

? ? 2? ? 2 2 ? ? ? , ? ∞ 时 , f ?( x ) ? 0, 当 x ? ? ? 2, ? ? ? ? ? ? 时 , f ( x ) ? 0, 若 a ? ? 2 , 2 ? 2 ? ? ? 2 ?
( 2 x ? 1) 2 ? 0 , f ( x) 也无极值. x? 2
2 或 a ? ? 2 ,则 2 x 2 ? 2ax ? 1 ? 0 有两个不同的实根 x1 ?

x ? ( 2, ? ∞) , f ?( x) ?

(ⅲ)若 ? ? 0 ,即 a ?

?a ? a 2 ? 2 , 2

x2 ?

?a ? a 2 ? 2 . 2

当 a ? ? 2 时, x1 ? ?a,x2 ? ?a ,从而 f ?( x) 有 f ( x) 的定义域内没有零点,故 f ( x) 无极值. 当a ?

2 时,x1 ? ?a ,x2 ? ?a , f ?( x) 在 f ( x) 的定义域内有两个不同的零点, 由根值判别方法知 f ( x)

? ∞) . 在 x ? x1,x ? x2 取得极值。综上, f ( x) 存在极值时, a 的取值范围为 ( 2,
1 e f ( x) 的极值之和为 f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? ln( x1 ? a) ? x12 ? ln( x2 ? a) ? x2 2 ? ln ? a 2 ? 1 ? 1 ? ln 2 ? ln . 2 2
9 设函数 f(x)= ex-ax-2 (Ⅰ)求 f(x)的单调区间 (Ⅱ)若 a=1,k 为整数,且当 x>0 时, ( x ? k ) f ?( x) ? x ? 1 >0,求 k 的最大值 答案:2 解析:(Ⅰ) f ?( x) ? e x ? a ,当 a ? 0 , f ?( x) ? 0 , f ( x) 在 (??,??) 是增函数; 当 a ? 0 ,当 x ? (??, ln a) 时, f ?( x) ? 0 ;当 x ? (ln a,??) 时, f ?( x) ? 0 所以 f ( x) 在 (??, ln a) 是减函数, f ( x) 在 (ln a,??) 是增函数 (Ⅱ) a=1 时,且当 x>0 时 ( x ? k ) f ?( x) ? x ? 1 ? ( x ? k )(e x ? 1) ? x ? 1 ? 0

?k?

e x (e x ? x ? 2) x ?1 x ?1 ? ? x g ( x ) ? ? x ( x ? 0 ) ;令 , g ( x ) ? ex ?1 ex ?1 (e x ? 1) 2

由(Ⅰ)知 h( x) ? e x ? x ? 2 在 (0,??) 是增的,h(1) ? 0, h(2) ? 0 , 所以 h( x) 在 (0,??) 上存在唯一的零点,

所以 g ?( x ) 在 (0,??) 上存在唯一的零点设为 a, 当 x ? (0, a) 时,g ?( x) ? 0 ; 当 x ? (a,??) 时,g ?( x) ? 0 , 所以 g ( x) 在 (0,??) 的最小值为 g (a ) 。又 g ?(a) ? 0 得 e a ? a ? 2 ,所以 g (a) ? a ? 1 ? (2,3) ,所以

k ? g (a) ,k 的最大值为 2.


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