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高中数学第六章推理与证明6.3数学归纳法基础达标湘教版选修2

6.3 数学归纳法 基础达标 ?限时20分钟? 1 1.在应用数学归纳法证明凸 n 边形的对角线为 n(n-3)条时,第一步验证 2 n= A.1 C.3 B.2 D.0 ( ). 解析 因为是证明凸 n 边形,首先可先构成 n 边形,故选 C. 答案 C 2.满足 1·2+2·3+3·4+?+n(n+1)=3n -3n+2 的自然数等于( A.1 C.1,2,3 B.1 或 2 D.1,2,3,4 2 ). 解析 用排除法,将 4,3 依次代入,所以选 C. 答案 C 3.用数学归纳法证明“当 n 为正奇数时,x +y 能被 x+y 整除”的第二步 是 A.假使 n=2k+1 时正确,再推 n=2k+3 正确 B.假使 n=2k-1 时正确,再推 n=2k+1 正确 C.假使 n=k 时正确,再推 n=k+1 正确 D.假使 n≤k(k≥1),再推 n=k+2 时正确(以上 k∈N+) 解析 因为 n 为正奇数,据数学归纳法证题步骤,第二步应先假设第 k 个正奇数也成 立,本题即假设 n=2k-1 正确,再推第 k+1 个正奇数即 n=2k+1 正确. 答案 B 4.用数学归纳法证明 ( ). n n an+bn ?a+b?n 2 ≥? ? (a,b 是非负实数,n∈N+)时,假设 n ? 2 ? a+b 2 =k 命题成立之后,证明 n=k+1 命题也成立的关键是________________. 解析 要想办法出现 a 答案 两边同乘以 5.用数学归纳法证明 k+1 +b k+1 ,两边同乘以 ,右边也出现了要证的? ?a+b?k+1. ? ? 2 ? a+b 2 2 1+2+2 +?+2 n-1 =2 -1(n∈N )的过程如下: n * (1)当 n=1 时,左边=1,右边=2 -1=1,等式成立. (2)假设当 n=k(k∈N+,且 k≥1)时等式成立,即 1+2+2 +?+2 k+1 2 1 k-1 =2 -1,则当 n k =k+1 时,1+2+2 +?+2 2 k-1 1-2 k+1 +2 = =2 -1.所以当 n=k+1 时等式也成 1-2 k 1 立.由此可知对于任何 n∈N ,等式都成立.上述证明的错误是____________. 答案 未用归纳假设 6.平面内有 n(n∈N+,n≥2)条直线,其中任何两条不平行,任何三条不过 同一点,证明:交点的个数 f(n)= * n?n-1? 2 . 证明 (1)当 n=2 时,两条直线的交点只有一个, 1 又 f(2)= ×2×(2-1)=1, 2 ∴当 n=2 时,命题成立. (2)假设 n=k,∈N+,且(k>2)时,命题成立,即平面内满足题设的任何 k 条直线交点 1 个数 f(k)= k(k-1), 2 1 那么, 当 n=k+1 时, 任取一条直线 l, 除 l 以外其他 k 条直线交点个数为 f(k)= k(k 2 -1),l 与其他 k 条直线交点个数为 k,从而 k+1 条直线共有 f(k)+k 个交点, 1 即 f(k+1)=f(k)+k= k(k-1)+k 2 1 1 1 = k(k-1+2)= k(k+1)= (k+1)[(k+1)-1], 2 2 2 这表明,当 n=k+1 时,命题成立. 由(1)、(2)可知,对 n∈N+(n≥2)命题都成立. 综合提高 ?限时25分钟? 1 1 1 1 1 7.在数列{an}中,an=1- + - +?+ - 则 ak+1= 2 3 4 2n-1 2n 1 A.ak+ 2k+1 1 C.ak+ 2k+2 1 1 B.ak+ - 2k+2 2k+4 1 1 D.ak+ - 2k+1 2k+2 ( ). 1 1 1 1 1 1 1 1 1 1 解析 a1=1- ,a2=1- + - ,?,an=1- + - +?+ - ,ak=1- + 2 2 3 4 2 3 4 2n-1 2n 2 1 1 1 1 1 1 - +?+ - ,所以,ak+1=ak+ - . 3 4 2k-1 2k 2k+1 2k+2 答案 D 8.用数学归纳法证明“n +(n+1) +(n+2) ,(n∈N+)能被 9 整除”,要利 用归纳法假设证 n=k+1 时的情况,只需展开 A.(k+3) C.(k+1) 3 3 3 3 ( ). B.(k+2) 3 3 D.(k+1) +(k+2) 3 3 2 解析 假设 n=k 时, 原式 k +(k+1) +(k+2) 能被 9 整除, 当 n=k+1 时, (k+1) . +(k+2) +(k+3) 为了能用上面的归纳假设,只须将(k+3) 展开,让其出现 k 即 可.故应选 A. 答案 A 1 1 1 1 1 1 3 1 1 9.观察下列不等式:1> ,1+ + >1,1+ + +?+ > ,1+ + +?+ 2 2 3 2 3 7 2 2 3 1 1 1 1 5 >2,1+ + +?+ > ,?,由此猜测第 n 个不等式为________(n∈N+). 15 2 3 31 2 解析 3=2 -1,7=2 -1,15=2 -1, 1 1 1 n 可猜测:1+ + +?+ n > . 2 3 2 -1 2 1 1 1 n 答案 1+ + +?+ n > 2 3 2 -1 2 10.楼梯共有 n 级,每步只能跨上 1 级或 2 级,走完该 n 级楼梯共有 f(n) 种不同的走法,则 f(n),f(n-1),f(n-2)的关系为________. 答案 f(n)=f(n-1)+f(n-2) 11.用数学归纳法证明对 n∈N+都有 1 1 1 1 n + + +?+ = . 1×2 2×3 3×4 n?n+1? n+1 2 3 4 3 3 3 3 3 3 3 3 证明 ①当 n=1 时,左边= ∴n=1 时,等式成立. ②假设 1 1 1 1 = ,右边= = ,左

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