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2016届河北省保定市高三(上)期末数学试卷(理科)解析版


2015-2016 学年河北省保定市高三(上)期末数学试卷(理科)
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (5 分) (2015 秋?保定期末)集合 A={x|(1+x) (1﹣x)>0},B={x|y= },则 A∩B= ( ) A. (﹣1,1) B. (0,1) C.[0,1) D. (﹣1,0] 2. (5 分) (2015 秋?保定期末)复数 z= 的实部与虚部相等,则实数 a=( )

A.1 B.2 C. D.﹣1 2 2 3. (5 分) (2015 秋?保定期末)“m≥0”是“直线 mx﹣y+1﹣m=0 与圆(x﹣1) +y =1 相切” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 4. (5 分) (2015?东莞市模拟) 设 m、 n 是两条不同的直线, α, β 是两个不同的平面, 则 ( ) A.若 m⊥n,n∥α,则 m⊥α B.若 m∥β,β⊥α,则 m⊥α C.若 m⊥β,n⊥β,n⊥α,则 m⊥α D.若 m⊥n,n⊥β,β⊥α,则 m⊥α 5. (5 分) (2011?西安模拟)如图,程序框图所进行的求和运算是( )

A. C.

B. D. )图象上所有点的横坐标伸长到

6. (5 分) (2015 秋?保定期末)将函数 f(x)=sin(4x+ 原来的 2 倍,再向右平移 一条对称轴是直线( A.x= B.x= ) C.x= D.x=

个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,则 y=g(x)图象的

7. (5 分) (2015 秋?保定期末)下列四个判断:

①某校高三一班和高三二班的人数分别是 m,n,某次测试数学平均分分别是 a,b,则这两 个班的数学的平均分为 ;

②10 名工人某天生产同一种零件,生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14, 12,设其平均数为 a,中位数为 b,众数为 c,则有 c>a>b; ③设从总体中抽取的样本为(x1,y1) , (x2,y2) ,…, (xn,yn) ,若记 = xi , = yi,

则回归直线方程

=bx+a 必过点( , ) ;
2

④已知 ξ 服从正态分布 N(0,σ ) ,且 P(﹣2≤ξ≤0)=0.4,则 P(ξ>2)=0.2. 其中正确判断的个数有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 2 8. (5 分) (2015 秋?保定期末)已知抛物线 y =2px(p>0)上一点 M(1,m) (m>0)到 2 2 其焦点的距离为 5,双曲线 x ﹣ay =a 的左顶点为 A,若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平 行,则实数 a 等于( ) A. B. C. D. ﹣ =

9. (5 分) (2015 秋?保定期末)等差数列{an}中,a1=2016,前 n 项和为 Sn,若 ﹣2,则 S2016=( ) A.2014 B.2015 C.2016 D.2017 10. (5 分) (2015 秋?保定期末)已知 + + = ,且 与 的夹角为 的夹角为 θ,则 tanθ=( A. B. ) ,| |=

| |,设 ,

C.﹣1 D.﹣

11. (5 分) (2015 秋?保定期末)已知 a>0 且 a≠1,函数 f(x)=

+3loga )

(﹣

≤x≤ ) ,设函数 f(x)的最大值是 A,最小值是 B,则( A.A﹣B=4 B.A+B=4 C.A﹣B=6 D.A+B=6

12. (5 分) (2015 秋?保定期末)函数 f(x)= 不同的零点 a,b(a<b) ,则下面结论正确的是( A.sina=acosb B.sinb=﹣bsina C.cosa=bsinb

﹣k 在(0,+∞)上有两个 ) D.sina=﹣acosb

二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分. 13. (5 分) (2015 秋?保定期末)一个几何体的三视如图所示,其中正视图和俯视图均为腰 长为 2 的等腰直角三角形,则用 个这样的几何体可以拼成一个棱长为 2 的正方体.

14. (5 分) (2015 秋?保定期末)若 a= 项为 .

cosxdx,则( + +

) 的展开式中常数

4

15. (5 分) (2012?陕西)设函数

,D 是由 x 轴和曲线 y=f(x)及 .

该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则 z=x﹣2y 在 D 上的最大值为
x

16. (5 分) (2012?北京)已知 f(x)=m(x﹣2m) (x+m+3) ,g(x)=2 ﹣2,若同时满足 条件: ①? x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0; ②? x∈(﹣∞,﹣4) ,f(x)g(x)<0. 则 m 的取值范围是 . 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分) (2015 秋?保定期末)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c, 若向量 =( sinA,sinB) , =(cosB, cosA) , ? = +cos(A+B) .

(1)求∠C; (2)若 c=3,b=

a,求△ABC 的面积 S. + , =

18. (12 分) (2015 秋?保定期末) 已知数列{an}, {bn}, 其中 a1=1, an= ﹣ (n∈N ) .
*

(1)求证:数列{bn﹣ }是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前 n 项和 Sn. 19. (12 分) (2015 秋?保定期末)某校为了在竞争中更好的发展,校领导专门聘请省内外专 家组成“学校建设和发展”专家顾问委员会,项专家接脑、帮助学校制定未来五年发展规划, 并召开了座谈会,问需于民,问计与民,广泛征询专家,普通老师和同学们对学校发展的意 见和建议,此次座谈会共邀请了 50 名代表参加,他们分别是专家 20 人,普通教师 15 人, 学生 15 人,现从 50 名代表中随机选出 3 名做典型发言. (1)求选出的 3 名代表中,专家比普通教师多一人的概率; (2)若记选出的 3 名代表中专家的人数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望.

20. (12 分) (2015 秋?保定期末)在三棱锥 P﹣ABC 中,AB⊥BC,平面 PAB⊥平面 ABC, BC=2AB=1,PC= ,∠PBA= .

(1)求证:BC⊥PB; (2)求二面角 A﹣PC﹣B 的大小.

21. (12 分) (2015 秋?保定期末)已知抛物线 C1:y =2x 与椭圆 C2:

2

+

=1 在第一象

限交于点 A,直线 y= x+m 与椭圆 C2 交于 B、D 两点,且 A,B,D 三点两两互不重合. (1)求 m 的取值范围; (2)△ABD 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由? (3)求证:直线 AB、AD 的斜率之和为定值. 22. (12 分) (2016?连江县校级模拟)已知函数 f(x)=axlnx﹣x+1(a≥0) . (1)当 a=1 时,求 f(x)的最小值; (2)若 x∈(1,+∞) ,f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)证明:当 m>n>1 时,m
n﹣1

<n

m﹣1



2015-2016 学年河北省保定市高三 (上) 期末数学试卷 (理 科)
参考答案与试题解析

一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,在每小题给出的四个选项中,只 有一项是符合题目要求的) 1. (5 分) (2015 秋?保定期末)集合 A={x|(1+x) (1﹣x)>0},B={x|y= },则 A∩B= ( ) A. (﹣1,1) B. (0,1) C.[0,1) D. (﹣1,0] 【分析】求出 A 中不等式的解集确定出 A,求出 B 中 x 的范围确定出 B,找出两集合的交 集即可. 【解答】解:由 A 中不等式解得:﹣1<x<1,即 A=(﹣1,1) , 由 B 中 y= ,得到 x≥0,即 B=[0,+∞) , 则 A∩B=[0,1) , 故选:C. 【点评】此题考查了交集及其运算,熟练掌握交集的定义是解本题的关键.

2. (5 分) (2015 秋?保定期末)复数 z=

的实部与虚部相等,则实数 a=(



A.1 B.2 C. D.﹣1 【分析】利用复数代数形式的乘除运算化简,然后由实部与虚部相等列式求得 a 值. 【解答】解:∵z= ∴ = 的实部和虚部相等,

,即 a+6=3﹣2a,解得:a=﹣1.

故选:D. 【点评】本题考查复数代数形式的乘除运算,考查了复数的基本概念,是基础题. 3. (5 分) (2015 秋?保定期末)“m≥0”是“直线 mx﹣y+1﹣m=0 与圆(x﹣1) +y =1 相切” 的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件 D.既不充分也不必要条件 【分析】直线 mx﹣y+1﹣m=0 过点(1,1) ,利用直线 mx﹣y+1﹣m=0 与圆(x﹣1) +y =1 相切,可得 m=0,即可得出结论. 【解答】解:直线 mx﹣y+1﹣m=0 过点(1,1) 2 2 ∵直线 mx﹣y+1﹣m=0 与圆(x﹣1) +y =1 相切, ∴m=0, 2 2 ∴“m≥0”是“直线 mx﹣y+1﹣m=0 与圆(x﹣1) +y =1 相切”的必要不充分条件, 故选:B. 【点评】本题考查直线与圆的位置关系,考查学生的计算能力,比较基础.
2 2 2 2

4. (5 分) (2015?东莞市模拟) 设 m、 n 是两条不同的直线, α, β 是两个不同的平面, 则 ( ) A.若 m⊥n,n∥α,则 m⊥α B.若 m∥β,β⊥α,则 m⊥α C.若 m⊥β,n⊥β,n⊥α,则 m⊥α D.若 m⊥n,n⊥β,β⊥α,则 m⊥α 【分析】根据空间线线,线面,面面之间的位置关系分别进行判定即可得到结论. 【解答】解:A.若 m⊥n,n∥α,则 m⊥α 或 m? α 或 m∥α,故 A 错误. B.若 m∥β,β⊥α,则 m⊥α 或 m? α 或 m∥α,故 B 错误. C.若 m⊥β,n⊥β,n⊥α,则 m⊥α,正确. D.若 m⊥n,n⊥β,β⊥α,则 m⊥α 或 m? α 或 m∥α,故 D 错误. 故选:C 【点评】本题主要考查空间直线,平面之间的位置关系的判定,要求熟练掌握相应的判定定 理和性质定理. 5. (5 分) (2011?西安模拟)如图,程序框图所进行的求和运算是( )

A. C.

B. D.

【分析】分析程序中各变量、各语句的作用,再根据流程图所示的顺序,可知:该程序的作 用是利用循环计算变量 S 值,分析循环变量的初值(由 n=2 决定) 、终值(由 n<21 决定) 、 及步长(由 n=n+2 决定)我们易得到结论. 【解答】解:由 n=2 知循环变量的初值为 2 由 n<21 得循环变量的终值为 20 由 n=n+2 得循环变量步长为 2 又由 S=S+ , 则 S= ,

故选:A. 【点评】根据流程图(或伪代码)写程序的运行结果,是算法这一模块最重要的题型,其处 理方法是: :①分析流程图(或伪代码) ,从流程图(或伪代码)中即要分析出计算的类型,

又要分析出参与计算的数据 (如果参与运算的数据比较多, 也可使用表格对数据进行分析管 理)? ②建立数学模型,根据第一步分析的结果,选择恰当的数学模型③解模. 6. (5 分) (2015 秋?保定期末)将函数 f(x)=sin(4x+ 原来的 2 倍,再向右平移 一条对称轴是直线( A.x= B.x= ) C.x= D.x= )图象上所有点的横坐标伸长到

个单位长度,得到函数 y=g(x)的图象,则 y=g(x)图象的

【分析】由题意根据函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性,得 出结论. 【解答】解:将函数 f(x)=sin(4x+ y=sin(2x+ 再向右平移 图象. 令 x= ,求得 g(x)=1,为函数 g(x)的最大值, , )的图象, 个单位长度,得到函数 y=g(x)=sin[2(x﹣ )+ ]=sin(2x﹣ )的 )图象上所有点的横坐标伸长到原来的 2 倍,可得

则 y=g(x)图象的一条对称轴是直线 x=

故选:C. 【点评】本题主要考查函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换规律,正弦函数的图象的对称性, 属于基础题. 7. (5 分) (2015 秋?保定期末)下列四个判断: ①某校高三一班和高三二班的人数分别是 m,n,某次测试数学平均分分别是 a,b,则这两 个班的数学的平均分为 ;

②10 名工人某天生产同一种零件,生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14, 12,设其平均数为 a,中位数为 b,众数为 c,则有 c>a>b; ③设从总体中抽取的样本为(x1,y1) , (x2,y2) ,…, (xn,yn) ,若记 = xi , = yi,

则回归直线方程

=bx+a 必过点( , ) ;
2

④已知 ξ 服从正态分布 N(0,σ ) ,且 P(﹣2≤ξ≤0)=0.4,则 P(ξ>2)=0.2. 其中正确判断的个数有( ) A.0 个 B.1 个 C.2 个 D.3 个 【分析】①利用平均数的定义可得:两个班的数学的平均分为 ,即可判断出正误;

②利用的定义可得:平均数为 a=14.7,中位数为 b=15,众数为 c=17,即可判断出正误;

③利用回归直线方程的性质可得:谢谢回归方程可得:必过点( , ) ; ④利用正态分布的对称性可得. 【解答】解:①某校高三一班和高三二班的人数分别是 m,n,某次测试数学平均分分别是 a,b,则这两个班的数学的平均分为 ,因此不正确;

②10 名工人某天生产同一种零件,生产的件数是 15,17,14,10,15,17,17,16,14, 12,则其平均数为 a= c=17,则有 c>b>a,因此不正确; ③设从总体中抽取的样本为(x1,y1) , (x2,y2) ,…, (xn,yn) ,若记 = xi , = yi, =14.7,中位数为 b=15,众数为

则回归直线方程

=bx+a 必过点( , ) ,正确;
2

④已知 ξ 服从正态分布 N(0,σ ) ,且 P(﹣2≤ξ≤0)=0.4,则 P(ξ>2) = =0.1,因此不正确.

其中正确判断的个数有 1 个. 故选:B. 【点评】本题考查了简易逻辑的判定方法、函数的性质、正弦定理,考查了推理能力与计算 能力,属于中档题. 8. (5 分) (2015 秋?保定期末)已知抛物线 y =2px(p>0)上一点 M(1,m) (m>0)到 2 2 其焦点的距离为 5,双曲线 x ﹣ay =a 的左顶点为 A,若双曲线的一条渐近线与直线 AM 平 行,则实数 a 等于( ) A. B. C. D.
2

【分析】 求得抛物线的焦点和准线方程, 运用抛物线的定义, 可得 p=8, 进而求得 M (1, 4) , 求出双曲线的左顶点和渐近线方程,由两直线平行的条件,解方程即可得到 a 的值. 【解答】解:抛物线 y =2px 的焦点 F 为( ,0) ,准线方程为 x=﹣ , 由抛物线的定义可得|MF|=1+ =5,解得 p=8, 可得抛物线的方程为 y =16x,M(1,4) , 2 2 双曲线 x ﹣ay =a 的左顶点为 A(﹣ ,0) , 直线 AM 的斜率为 , x,
2 2

又双曲线的渐近线方程为 y= 由题意可得, 解得 a= , = ,

故选 A. 【点评】本题考查抛物线的定义、方程和性质,考查双曲线的渐近线方程,以及两直线平行 的条件:斜率相等,考查运算能力,属于中档题.

9. (5 分) (2015 秋?保定期末)等差数列{an}中,a1=2016,前 n 项和为 Sn,若 ﹣2,则 S2016=( ) A.2014 B.2015 C.2016 D.2017 【分析】由题意可得公差 d 的方程,解得 d 值代入求和公式计算可得. 【解答】解:设等差数列{an}的公差为 d, 则 ﹣ = ﹣ =﹣2,



=

所以 d=﹣2,又 a1=2016, 故 S2016=2016a1+ ×(﹣2)=2016,

故选:C. 【点评】本题考查等差数列的求和公式,求出数列的公差 d 是解决问题的关键,属基础题. 10. (5 分) (2015 秋?保定期末)已知 + + = ,且 与 的夹角为 的夹角为 θ,则 tanθ=( A. B. ) ,| |= | |,设 ,

C.﹣1 D.﹣

【分析】作出图形,将问题转化为解三角形问题. 【解答】解:如图,设 四边形 OADB, 则 = =﹣ ,∠ODB=∠AOD= .BD=OA,OB= ,∴ OA. = , = , = , ,则∠COA= ,以 OA,OB 为邻边作平行

在△OBD 中,由正弦定理得:

解得 sin∠BOD= ,∴∠BOD= 故选:D.

.∴θ=∠BOD+∠AOD=

=

.∴tanθ=﹣



【点评】本题考查了平面向量加法的几何意义,属于中档题.

11. (5 分) (2015 秋?保定期末)已知 a>0 且 a≠1,函数 f(x)=

+3loga )

(﹣

≤x≤ ) ,设函数 f(x)的最大值是 A,最小值是 B,则(

A.A﹣B=4 B.A+B=4 C.A﹣B=6 D.A+B=6 【分析】讨论 0<a<1 和 a>1,判断函数 f(x)的单调性,结合指数函数和对数函数的运 算法则进行化简即可. 【解答】解:f(x)= =3﹣ +3loga(﹣1﹣ +3loga ) , )在﹣ ≤x≤ 上为增函数, = +3loga

若 a>1,则﹣

为增函数,3loga(﹣1﹣

即 f(x)在﹣ ≤x≤ 上为增函数, 此时函数的最大值 A=f( ) ,最小值 B=f(﹣ ) , 若 0<a<1,则﹣ 为减函数,3loga(﹣1﹣ )在﹣ ≤x≤ 上为减函数,

即 f(x)在﹣ ≤x≤ 上为减函数, 此时函数的最大值 A=f(﹣ ) ,最小值 B=f( ) ,

则 A+B=f(﹣ )+f( )=

+3loga

+

+3loga

=

+

+3loga +3loga3

=

+3loga1

=4+0=4, 故选:B 【点评】 本题主要考查函数最值的应用, 根据指数函数和对数函数的性质判断函数的单调性, 以及利用对应的运算法则是解决本题的关键.

12. (5 分) (2015 秋?保定期末)函数 f(x)= 不同的零点 a,b(a<b) ,则下面结论正确的是( A.sina=acosb B.sinb=﹣bsina C.cosa=bsinb 【分析】化简 f(x) ,得方程

﹣k 在(0,+∞)上有两个 ) D.sina=﹣acosb

有两个根,即函数 y=|sinx|和函数 y=kx 在(0,+∞)

上有两个交点,画出函数图象,利用导数求切线即可. 【解答】解:f(x)= ﹣k= ,

∵f(x)= ∴f(x)=

﹣k 在(0,+∞)上有两个不同的零点 a,b(a<b) , ﹣k=0 在(0,+∞)上有两个不同的根 a,b(a<b) ,

即|sinx|=kx 有两个根, ∴函数 y=|sinx|和函数 y=kx 在(0,+∞)上有两个交点,x>0 且 k>0,画出两个函数的图 象, 则函数 y=|sinx|和函数 y=kx 在(0,π)上有一个交点 A(a,sina) ,在(π,2π)上有一个 切点 B(b,﹣sinb)时满足题意, a,b 是方程的根. 当 x∈(π,2π)时,f(x)=|sinx|=﹣sinx,f′(x)=﹣cosx, ∴在 B 处的切线为 y+sinb=f′(b) (x﹣b) ,将 x=0,y=0 代入方程,得 sinb=﹣b×(﹣cosb) , ∴ =cosb,

∵O,A B 三点共线, ∴ ∴ = ,

=﹣cosb,

∴sina=﹣acosb. 故选:D.

【点评】本题借助图象考查了方程的根,函数的零点,以及导数的知识.把方程转化为函数 的交点,利用数形结合是解题关键. 二、填空题:本大题共 4 小题,每小题 5 分.

13. (5 分) (2015 秋?保定期末)一个几何体的三视如图所示,其中正视图和俯视图均为腰 长为 2 的等腰直角三角形,则用 3 个这样的几何体可以拼成一个棱长为 2 的正方体.

【分析】由三视图可知,几何体为底面是正方形的四棱锥,再根据公式求解即可. 【解答】解:由三视图可知,几何体为底面是正方形的四棱锥, 所以 V= ×2×2×2= , 由于边长为 2 的正方体 V=8,所以用 3 个这样的几何体可以拼成一个棱长为 2 的正方体. 故答案为:3. 【点评】本题是基础题,考查三视图与几何体的关系,空间想象能力,逻辑思维能力,常考 题型.

14. (5 分) (2015 秋?保定期末)若 a= 项为 .

cosxdx,则( + +

) 的展开式中常数

4

【分析】求定积分可得 a 值,由二项式的知识可得. 【解答】解:求定积分可得 a=
4 4

cosxdx=sinx

=2,

∴( + +

) =( + +

),
2 2

故展开式中的常数项为 故答案为:

?( ) ?( ) +

? ? (

)+

2



) = +6+4=

4

【点评】本题考查定积分的求解,涉及二项展开式,属基础题.

15. (5 分) (2012?陕西)设函数

,D 是由 x 轴和曲线 y=f(x)及

该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域,则 z=x﹣2y 在 D 上的最大值为 2 . 【分析】先求出曲线在点(1,0)处的切线,然后画出区域 D,利用线性规划的方法求出目 标函数 z 的最大值即可. 【解答】解:当 x>0 时,f′(x)= ,

则 f′(1)=1,所以曲线 y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线为 y=x﹣1, D 是由 x 轴和曲线 y=f(x)及该曲线在点(1,0)处的切线所围成的封闭区域如下图阴影 部分.

z=x﹣2y 可变形成 y= x﹣ ,当直线 y= x﹣ 过点 A(0,﹣1)时,截距最小,此时 z 最大.最大值为 2. 故答案为:2. 【点评】本题主要考查了线性规划,以及利用导数研究函数的切线,同时考查了作图的能力 和分析求解的能力,属于中档题. 16. (5 分) (2012?北京)已知 f(x)=m(x﹣2m) (x+m+3) ,g(x)=2 ﹣2,若同时满足 条件: ①? x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0; ②? x∈(﹣∞,﹣4) ,f(x)g(x)<0. 则 m 的取值范围是 (﹣4,﹣2) . x 【分析】①由于 g(x)=2 ﹣2≥0 时,x≥1,根据题意有 f(x)=m(x﹣2m) (x+m+3)< 0 在 x>1 时成立,根据二次函数的性质可求 ②由于 x∈(﹣∞,﹣4) ,f(x)g(x)<0,而 g(x)=2 ﹣2<0,则 f(x)=m(x﹣2m) (x+m+3)>0 在 x∈(﹣∞,﹣4)时成立,结合二次函数的性质可求 【解答】解:对于①∵g(x)=2 ﹣2,当 x<1 时,g(x)<0, 又∵①? x∈R,f(x)<0 或 g(x)<0 ∴f(x)=m(x﹣2m) (x+m+3)<0 在 x≥1 时恒成立 则由二次函数的性质可知开口只能向下,且二次函数与 x 轴交点都在(1,0)的左面
x x x



∴﹣4<m<0 即①成立的范围为﹣4<m<0 又∵②x∈(﹣∞,﹣4) ,f(x)g(x)<0 x ∴此时 g(x)=2 ﹣2<0 恒成立 ∴f(x)=m(x﹣2m) (x+m+3)>0 在 x∈(﹣∞,﹣4)有成立的可能,则只要﹣4 比 x1, x2 中的较小的根大即可, (i)当﹣1<m<0 时,较小的根为﹣m﹣3,﹣m﹣3<﹣4 不成立, (ii)当 m=﹣1 时,两个根同为﹣2>﹣4,不成立, (iii)当﹣4<m<﹣1 时,较小的根为 2m,2m<﹣4 即 m<﹣2 成立. 综上可得①②成立时﹣4<m<﹣2.

故答案为: (﹣4,﹣2) .

【点评】 本题主要考查了全称命题与特称命题的成立, 指数函数与二次函数性质的应用是解 答本题的关键. 三、解答题:解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 17. (10 分) (2015 秋?保定期末)在△ABC 中,内角 A,B,C 所对的边长分别为 a,b,c, 若向量 =( sinA,sinB) , =(cosB, cosA) , ? = +cos(A+B) .

(1)求∠C; (2)若 c=3,b=

a,求△ABC 的面积 S. )的值,可得 C 的值.

【分析】 (1)由条件利用两个向量的数量积的公式求得 sin(C+ (2)由条件利用余弦定理求得 a 的值,可得△ABC 的面积 S. 【解答】解: (1)由题意可得 , ∴ (2)当 求得 a=3,∴ 当 时,由勾股定理得 a= ,∴ ,∴ 或 .

,∴

时,根据 c=3,b=

a,由余弦定理得 c =a +b ﹣2ab?cosC, , ,

2

2

2

【点评】本题主要考查两个向量的数量积的公式,余弦定理的应用,属于基础题. 18. (12 分) (2015 秋?保定期末) 已知数列{an}, {bn}, 其中 a1=1, an= ﹣ (n∈N ) .
*

+ ,

=

(1)求证:数列{bn﹣ }是等比数列; (2)求数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前 n 项和 Sn. 【分析】 (1)由已知得 q=2 的等比数列. ,由此能证明{ }是首项为 ,公比

(2) 由{

}是首项为 , 公比 q=2 的等比数列, 得

, 从而



由此能求出数列{bn}的通项公式及数列{anbn}的前 n 项和 Sn. 【解答】 (1)证明:∵ ∴ 又 ∴{ ≠0, }是首项为 ,公比 q=2 的等比数列. (5 分) = , , ,即 , (2 分)

(2)解:由(1)知 bn﹣ = ∴ ∵ ,n≥1, (7 分) ,∴

, (9 分)

∴Sn=a1b1+a2b2+…+anbn = = . (12 分)

【点评】本题考查等比数列的证明,考查数列的通项公式的求法及数列的前 n 项和的求法, 是中档题,解题时要认真审题,注意等比数列的性质的合理运用. 19. (12 分) (2015 秋?保定期末)某校为了在竞争中更好的发展,校领导专门聘请省内外专 家组成“学校建设和发展”专家顾问委员会,项专家接脑、帮助学校制定未来五年发展规划, 并召开了座谈会,问需于民,问计与民,广泛征询专家,普通老师和同学们对学校发展的意 见和建议,此次座谈会共邀请了 50 名代表参加,他们分别是专家 20 人,普通教师 15 人, 学生 15 人,现从 50 名代表中随机选出 3 名做典型发言. (1)求选出的 3 名代表中,专家比普通教师多一人的概率; (2)若记选出的 3 名代表中专家的人数为 ξ,求 ξ 的分布列和数学期望. 【分析】 (1)利用互斥事件概率加法公式能求出选出的 3 名代表中,专家比普通教师多一人 的概率. (2)由题意 ξ 的可能取值为 0,1,2,3,分别求出相应的概率,由此能求出随机变量 ξ 的 分布列和 Eξ. 【解答】解: (1)∵座谈会共邀请了 50 名代表参加,他们分别是专家 20 人,普通教师 15 人,学生 15 人,现从 50 名代表中随机选出 3 名做典型发言, ∴选出的 3 名代表中,专家比普通教师多一人的概率: . (4 分) (2)由题意 ξ 的可能取值为 0,1,2,3, (5 分)









, (9 分) ∴随机变量 ξ 的分布列是 ξ 0 1 P ∴Eξ= = . (12 分)

2

3

【点评】 本题考查概率的求法, 考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法, 是中档题, 解题时要认真审题,注意排列组合知识的合理运用. 20. (12 分) (2015 秋?保定期末)在三棱锥 P﹣ABC 中,AB⊥BC,平面 PAB⊥平面 ABC, BC=2AB=1,PC= ,∠PBA= .

(1)求证:BC⊥PB; (2)求二面角 A﹣PC﹣B 的大小.

【分析】 (1)由已知推导出 BC⊥平面 PAB,由此能证明 BC⊥PB. (2)法一:以 B 为原点,BC 为 x 轴,BA 为 y 轴,过 B 作垂直于平面 ABC 的直线为 z 轴, 建立空间直角坐标系,利用向量法能求出二面角 A﹣PC﹣B 的大小. 法二:作 PQ⊥直线 AB 于 Q,则 PO⊥平面 ABC,作 AE⊥PB 于 E,则 AE⊥平面 PBC,∠ AFE 就是二面角 A﹣PC﹣B 的平面角,由此能求出二面角 A﹣PC﹣B 的大小. 【解答】证明: (1)∵平面 PAB⊥平面 ABC,且 AB⊥BC, ∴BC⊥平面 PAB, ∴BC⊥PB. (4 分) (2)解法一:如图,以 B 为原点,BC 为 x 轴,BA 为 y 轴,过 B 作垂直于平面 ABC 的直 线为 z 轴,建立空间直角坐标系, 则 , (6 分)

∵平面 PAB⊥平面 ABC,∴点 P 在坐标平面 yBz 内, ∵PC= ,BC=1,BC⊥PB,∴ , 作 PQ 垂直于直线 AB 于 Q, 则 ∴P(0,1,1) , 设平面 PBC 的法向量为 , , ,QB=1, , , (8 分)

则 设平面 PAC 的法向量 =(0,﹣ ,﹣1) ,

,取 y=1,得 =(a.b.c) , =(1,﹣1,﹣1) ,





,取 a=1,得

, (10 分)



=

=



由图知,二面角 A﹣PC﹣B 是锐二面角, ∴二面角 A﹣PC﹣B 的大小是 . (12 分)

解: (2)解法二:作 PQ⊥直线 AB 于 Q,则 PQ⊥平面 ABC, ∵ , ,PO=BO=1,

如图,作 AE⊥PB 于 E,则 AE⊥平面 PBC, ∴AE⊥PC,取 PC 中点 F,连接 AF,EF, ∵AO=AB= ,PO=BC=1, ∴ ,∴AF⊥PC,∴PC⊥平面 AEF,

∴PC⊥EF,∴∠AFE 就是二面角 A﹣PC﹣B 的平面角. (8 分) , ∴ , , . (12 分) ,

∴二面角 A﹣PC﹣B 的大小是

【点评】本题考查异面直线垂直的证明,考查二面角的大小的求法,是中档题,解题时要认 真审题,注意空间思维能力的培养.

21. (12 分) (2015 秋?保定期末)已知抛物线 C1:y =2x 与椭圆 C2:

2

+

=1 在第一象

限交于点 A,直线 y= x+m 与椭圆 C2 交于 B、D 两点,且 A,B,D 三点两两互不重合. (1)求 m 的取值范围; (2)△ABD 的面积是否存在最大值?若存在,求出这个最大值;若不存在,请说明理由? (3)求证:直线 AB、AD 的斜率之和为定值. 【分析】 (1)联立方程中先求出 A 点坐标,联立方程组 ,由此利用根的判别式能求出 m 的取值范围. (2)利用椭圆弦长公式和点到直线的距离公式能求出当 m=±2 时,△ABD 的面积最大, 最大值为 . (3)设直线 AB、AD 的斜率分别为:kAB、kAD,推导出 kAB+kAD=0,由此能证明直线 AB、 AD 的斜率之和为定值 0. 【解答】解: (1)∵抛物线 C1:y =2x 与椭圆 C2:
2

+

=1 在第一象限交于点 A,

∴由

,得 A 点坐标为

, (1 分)

联立方程组 ∵A、B、D 三点两两互不重合, ∴△=﹣8m +64>0,∴ ∴m 的取值范围是
2

, (3 分)

,且 m≠0, . (4 分)

(2)设 B(x1,y1) ,D(x2,y2) , ∵|BD|= |x1﹣x2|= , (6 分) 的距离,则 .



设 d 为点 A 到直线 BD ∴

,当且仅当 m=±2 时取等号.

∵±2∈(﹣2 ,0)∪(0,2 ) , ∴当 m=±2 时,△ABD 的面积最大,最大值为 . (9 分) (3)证明:设直线 AB、AD 的斜率分别为:kAB、kAD, 则 ,

将①代入上式整理得 kAB+kAD=0, ∴直线 AB、AD 的斜率之和为定值 0. (12 分) 【点评】本题考查实数的取值范围的求法,考查三角形的最大值是否存在的判断与求法,是 中档题,解题时要认真审题,注意根的判别式、椭圆弦长公式和点到直线的距离公式的合理 运用. 22. (12 分) (2016?连江县校级模拟)已知函数 f(x)=axlnx﹣x+1(a≥0) . (1)当 a=1 时,求 f(x)的最小值; (2)若 x∈(1,+∞) ,f(x)>0 恒成立,求实数 a 的取值范围; (3)证明:当 m>n>1 时,m <n . 【分析】 (1)求出函数的导数,解关于导函数的不等式,求出函数的最小值即可; (2)求出函数的导数,通过讨论 a 的范围,求出函数的单调区间,从而求出满足条件的 a 的范围即可; (3)问题转化为 ,设 g(x)= , (x>1) ,根据函数的单调性证出 g(m)
n﹣1 m﹣1

<g(n) ,从而证出结论. 【解答】解: (1)f(x)的定义域为(0,+∞) , 当 a=1 时,f(x)=xlnx﹣x+1,f′(x)=lnx, 令 f′(x)>0,则 x>1;令 f′(x)<0,则 x<1, ∴f(x)在(0,1)单调递减, (1,+∞)单调递增, ∴f(x)min=f(1)=0; (2)f′(x)=alnx+a﹣1, (x>1) , ①a=0 时,f′(x)=﹣1<0,f(x)在(1,+∞)单调递减, f(x)<f(1)=0 恒成立与已知相矛盾, ②当 a>0 时,由 由 , ,

∴f(x)的单调减区间是 当

,单调增区间是



,即 a≥1 时,f(x)在(1,+∞)单调递增,

f(x)>f(1)=0 恒成立. 当 f(x)在 存在 ,即 0<a<1 时, 单调递减,在 ,与已知相矛盾,
n﹣1

单调递增,

综上:实数 a 的取值范围是[1,+∞) . (3)证明:∵m>n>1,∴要证:m 只需证(n﹣1)lnm<(m﹣1)lnn, 只需证: . <n
m﹣1



设 g(x)=

, (x>1) ,则



由(1)知当 a=1 时,f(x)=xlnx﹣x+1>f(1)=0, ∴x﹣1﹣xlnx<0,∴g'(x)<0, ∴g(x)在(1,+∞)上是减函数, 而 m>n,∴g(m)<g(n) , 故原不等式成立. 【点评】本题考查了函数的单调性、最值问题,考查导数的应用以及不等式的证明,是一道 中档题.


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