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河北省衡水中学2017届高三下学期二调考试数学(理)试题 Word版含答案

河北省衡水中学 2017 届高三下学期二调考试 理科数学
第Ⅰ卷 一、选择题:本大题共 12 个小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选 项中,只有一项是符合题目要求的.
1.设集合 A ? {x | x ? 2} , B ? { y | y ? 2x ?1, x ? A} ,则 A ? B ? ( A. (??,3) B. [2,3) C. (??, 2) D. (?1, 2) ) )

2.已知复数 z ? 1 ? i ( i 为虚数单位) ,则 A. 1 ? 3i B. 1 ? 3i

2 2 ? z 的共轭复数的虚部是( z
D. ?1 ? 3i

C. ?1 ? 3i

3.有一长、宽分别为 50m 、 30m 的矩形游泳池,一名工作人员在池边巡逻,某时刻出现在 池边任一位置可能性相同,一人在池中心(对角线交点)处呼唤工作人员,其声音可传出

15 2m ,则工作人员能及时听到呼唤(出现在声音可传到区域)的概率是(
A.



3 4

B.

3 8

C.

3? 16

D.

12 ? 3? 32

4.宋元时期数学名著《算学启蒙》中有关于“松竹并生”的问题:松长五尺,竹长五尺,松 日自半,竹日自倍,松竹何日而长等,下图是源于其思想的一个程序框图,若输入的 a , b 分 别为 5、2,则输出的 n ? ( A. 2 B. 3 C. 4 ) D.5 )

5.已知数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,若 Sn ? 1 ? 2an (n ? 2) ,且 a1 ? 2 ,则 S20 ? ( A. 2 ? 1
19

B. 2 ? 2
21

C. 2 ? 1
19

D. 2 ? 2
21

6.已知圆 C : x ? y ? 4 ,点 P 为直线 x ? 2 y ? 9 ? 0 上一动点,过点 P 向圆 C 引两条切
2 2

线 PA, PB , A, B 为切点,则直线 AB 经过定点( A. ( , )

) D. (9, 0) )

4 8 9 9

B. ( , )

2 4 9 9

C.

(2, 0)

7.某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(

A. 4 3

B. 5 3

C.

6 3

D. 8 3

2 ? 2sin(2 x ? ) 6 ,若不论 x 取何值,对 8. f ( x) ? log 1 (ax2 ? 2 x ?1) , g ( x ) ? 2 sin x ? 3 cos x 2
7 3 f ( x1 ) ? g ( x2 ) 任意 x1 ? [ , ] 总是恒成立,则 a 的取值范围是( 10 2 7 4 63 , ??) A. ( ??, ? ) B. (??, ? ) C. (? 10 5 80
) D. (?

?

40 4 ,? ) 49 5

9.如图,三个边长为 2 的等边三角形有一条边在同一直线上,边 B3C3 上有 10 个不同的点

???? ? ??? ? ,记 P , P , ? P m ? AB ? AP 1 2 10 1 ? m2 ? ? ? m 10 的值为( i 2 i (i ? 1,2,?,10) ,则 m



A. 15 3

B.45

C.

60 3

D.180

10.已知函数 f ( x ) 是定义在 R 上的单调函数,且对任意的 x, y ? R 都有

f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,若动点 P( x, y) 满足等式 f ( x2 ? 2x ? 2) ? f ( y 2 ? 8 y ? 3) ? 0 ,
则 x ? y 的最大值为( A. ) B. -5 C.

2 6 ?5

2 6 ?5

D.5

11.数列 {an } 满足 a1 ?

4 1 1 1 , an?1 ? an (an ?1)(n ? N * ) ,且 Sn ? ? ? ? ? ,则 Sn 的 3 a1 a2 an
) C.

整数部分的所有可能值构成的集合是( A. {0,1, 2} B. {0,1, 2,3}

{1, 2}

D. {0, 2}

12.等腰直角三角形 AOB 内接于抛物线 y 2 ? 2 px( p ? 0) ,O 为抛物线的顶点,OA ? OB ,

?AOB 的面积是 16,抛物线的焦点为 F ,若 M 是抛物线上的动点,则
( A. )

| OM | 的最大值为 | MF |

3 3

B.

6 3

C.

2 3 3

D.

2 6 3

第Ⅱ卷 二、填空题(每题 5 分,满分 20 分,将答案填在答题纸上)
?2 x ? y ? 5 ? 13.某校今年计划招聘女教师 x 人,男教师 y 人,若 x, y 满足 ? x ? y ? 2 ,则该学校今年计 ?x ? 6 ?
划招聘教师最多
2

人.

14.已知函数 f ( x) ? x ? 2 x sin(

?
2

x) ? 1 的两个零点分别为 m, n(m ? n) ,则

?

n

m

1 ? x 2 dx ?



15.已知四面体 ABCD 的每个顶点都在球 O 的表面上, AB ? AC ? 5 , BC ? 8 , AD ? 底 面 ABC , G 为 ?ABC 的重心,且直线 DG 与底面 ABC 所成角的正切值为 表面积为 .

1 ,则球 O 的 2

16.已知是定义在 R 上的函数, 且满足① f (4) ? 0 ; ②曲线 y ? f ( x ? 1) 关于点 (?1, 0) 对称; ③当 x ? (?4, 0) 时, f ( x) ? log 2 ( 点,则实数 m 的取值范围为

x ? e x ? m ? 1) ,若 y ? f ( x) 在 x ?[?4, 4] 上有 5 个零 | x| e


三、解答题 (本大题共 6 小题,共 70 分.解答应写出文字说明、证明过程或演 算步骤.)
17. 已知向量 m ? ( 3 sin ? x,1) , n ? (cos ? x,cos2 ? x ?1) ,设函数 f ( x) ? m ? n ? b .

??

?

?? ?

(1) 若函数 f ( x ) 的图象关于直线 x ? (2)在(1)的条件下,当 x ? [0, 范围.

?
6

对称, 且 ? ? [0,3] 时, 求函数 f ( x ) 的单调增区间;

7? ] 时,函数 f ( x) 有且只有一个零点,求实数 b 的取值 12

18. 如图,已知四棱锥 S ? ABCD 中, SA ? 平面 ABCD , ?ABC ? ?BCD ? 90 ,且
?

SA ? AB ? BC ? 2CD , E 是边 SB 的中点.

(1)求证: CE / / 平面 SAD ; (2)求二面角 D ? EC ? B 的余弦值大小. 19. 某公司准备将 1000 万元资金投入到市环保工程建设中,现有甲、乙两个建设项目供选 择,若投资甲项目一年后可获得的利润为 ?1 (万元)的概率分布列如表所示:

且 ?1 的期望 E(?1 ) ? 120 ;若投资乙项目一年后可获得的利润 ?2 (万元)与该项目建设材料 的成本有关, 在生产的过程中, 公司将根据成本情况决定是否受第二和第三季度进行产品的 价格调整,两次调整相互独立,且调整的概率分别为 p(0 ? p ? 1) 和 1 ? p ,乙项目产品价 格一年内调整次数 X (次)与 ?2 的关系如表所示:

(1)求 m, n 的值;

(2)求 ?2 的分布列; (3)根据投资回报率的大小请你为公司决策:当 p 在什么范围时选择投资乙项目,并预测 投资乙项目的最大投资回报率是多少?(投资回报率=年均利润/投资总额×100%) 20. 如图,曲线 ? 由曲线 C1 :

x2 y 2 ? ? 1(a ? b ? 0, y ? 0) 和曲线 a 2 b2

x2 y 2 C2 : 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0, y ? 0) 组成,其中点 F1 , F2 为曲线 C1 所在圆锥曲线的焦点,点 a b

F3 , F4 为曲线 C2 所在圆锥曲线的焦点.

(1)若 F2 (2,0), F3 (?6,0) ,求曲线 ? 的方程; (2) 如图, 作直线 l 平行于曲线 C2 的渐近线, 交曲线 C1 于点 A, B , 求证: 弦 AB 的中点 M 必在曲线 C2 的另一条渐近线上; (3)对于(1)中的曲线 ? ,若直线 l1 过点 F4 交曲线 C1 于点 C , D ,求 ?CDF1 的面积的最 大值. 21. 设 f ( x) ? 直. (1)求 a 的值; (2)若对于任意的 x ? [1, ??) , f ( x) ? m( x ? 1) 恒成立,求 m 的取值范围; (3)求证: ln(4n ? 1) ? 16

(4 x ? a ) ln x ,曲线 y ? f ( x) 在点 (1, f (1)) 处的切线与直线 x ? y ? 1 ? 0 垂 3x ? 1

? (4i ? 1)(4i ? 3) (n ? N
i ?1

n

i

*

).

请考生在 22、23 两题中任选一题作答,如果多做,则按所做的第一题记分.
22.选修 4-4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系 xOy 中,曲线 C1 的参数方程为 ?

? x ? cos ? ( ? 为参数) ,曲线 C2 的参数 ? y ? sin ?

方程为 ?

? x ? a cos ? ( a ? b ? 0, ? 为参数) ,在以 O 为极点, x 轴的正半轴为极轴的极坐标 y ? b sin ? ?

系中, 射线 l : ? ? ? 与 C1 , C2 各有一个交点, 当 ? ? 0 时, 这两个交点间的距离为 2, 当? ? 时,这两个交点重合. (1)分别说明 C1 , C2 是什么曲线,并求 a 与 b 的值; (2)设当 ? ?

?
2

?
4

时, l 与 C1 , C2 的交点分别为 A1 , B1 ,当 ? ? ?

?
4

时, l 与 C1 , C2 的交点分

别为 A2 , B2 ,求直线 A1 A2 , B1B2 的极坐标方程. 23.选修 4-5:不等式选讲 设函数 f ( x) ?| x ? a |, a ? 0 . (1)证明: f ( x ) ? f ( ? ) ? 2 ; (2)若不等式 f ( x) ? f (2 x) ?

1 x

1 的解集是非空集,求 a 的范围. 2

试卷答案
1-12 DABCC AADDA 14. BC 15.

13. 10 17. 解:向量 ??

? 2

634? 9

16. [?3e?4 ,1) ? {?e?2}

? m ? ( 3 sin ? x,1) , n ? (cos ? x,cos 2? x ?1) ,

?? ? f ( x) ? m ? n ? b ? 3sin ? x cos ? x ? cos2 ? x ?1 ? b
? 3 1 3 ? 3 sin 2? x ? cos 2? x ? ? b ? sin(2? x ? ) ? ? b 2 2 2 6 2

(1)∵函数 f ( x ) 图象关于直线 x ? ∴ 2? ?

?
6

对称,

?
6

?

?
6

? k? ?

?
2

(k ? Z ) ,解得: ? ? 3k ? 1(k ? Z ) ,∵ ? ? [0,3] ,∴ ? ? 1 , 3 ? ? ? ? b ,由 2k? ? ? 2 x ? ? 2k? ? , 2 2 6 2

∴ f ( x) ? sin(2 x ? 解得: k? ?

?
6

)?

?
3

? x ? k? ?

?

6

(k ? Z ) ,

所以函数 f ( x ) 的单调增区间为 [k? ?

, k? ? ](k ? Z ) . 3 6 ? 3 7? ], (2)由(1)知 f ( x) ? sin(2 x ? ) ? ? b ,∵ x ? [0, 6 2 12 ? ? 4? ], ∴ 2x ? ?[ , 6 6 3

?

?

∴ 2x ?

? [ , ] ,即 x ? [0, ] 时,函数 f ( x) 单调递增; 6 6 2 6 ? 7? ? ? 4? 2 x ? ? [ , ] ,即 x ? [ , ] 时,函数 f ( x) 单调递减. 6 12 6 6 3

?

? ?

?

又 f (0) ? f ( ) ,

?

7? ? ) 或 f ( ) ? 0 时函数 f ( x) 有且只有一个零点. 3 12 6 4? 3 5? 3 ? ?b ? ? sin 即 sin 或1 ? ? b ? 0 , 3 2 6 2
∴当 f ( ) ? 0 ? f ( 所以满足条件的 b ? (?2,

?

3

3 ?3 5 ] ? {? } . 2 2

18. (1)证明:取 SA 中点 F ,连接 EF , FD ,

∵ E 是边 SB 的中点,∴ EF / / AB ,且 EF ?

1 AB , 2 1 2
∴ EF / / CD ,

? D ?A B 又∵ ?ABC ? ?BCD ? 90 , ∴ AB / / CD , 又∵ AB ? 2CD , 即C

且 EF ? CD , ∴四边形 EFDC 为平行四边形,∴ FD / / EC ,又 FD ? 面 SAD , CE ? 面 SAD ,∴ CE ∥面 SAD . (2)解:在底面内过点 A 作直线 AM / / BC ,则 AB ? AM ,又 SA ? 平面 ABCD , 以 AB, AM , AS 所在直线分别为 x, y, z 轴,建立空间直角坐标系,如图.

设 AB ? 2 ,则 A(0,0,0), B(2,0,0), C(2, 2,0), D(1, 2,0), E(1,0,1) ,

则 BC ? (0, 2,0), BE ? (?1,0,1) , CD ? (?1,0,0), CE ? (?1, ?2,1) ,

??? ?

??? ?

??? ?

??? ?

? ??? ? ? ? ?2 y ? 0 ?n ? BC ? 0 设面 BCE 的一个法向量为 n ? ( x, y, z) ,则 ? ? ??? ,即 ? ? ?? x ? z ? 0 ? ?n ? BE ? 0 ? 令 x ? 1 ,则 z ? 1 ,∴ n ? (1,0,1) .

? ?? ? ?? n?m 10 同理可求面 DEC 的一个法向量为 m ? (0,1, 2) , cos ? n, m ?? ? ?? ? , 5 | n || m |
由图可知,二面角 D ? EC ? B 是钝二面角, 所以其平面角的余弦值为 ? 19. 解: (1)由题意得: ?

10 . 5

?m ? 0.4 ? n ? 1 , ?110m ? 120 ? 0.4 ? 170n ? 120

得: m ? 0.5, n ? 0.1 . (2) ?2 的可能取值为 41.2,117.6,204.0,

P(?2 ? 41.2) ? (1 ? p)[1 ? (1 ? p)] ? p(1 ? p)

P(?2 ? 117.6) ? p[1 ? (1 ? p)] ? (1 ? p)(1 ? p) ? p2 ? (1 ? p)2
P(?2 ? 204.0) ? p(1 ? p)
所以 ?2 的分布列为

?2
P (3)由(2)可得:

41.2

117.6

204.0

p(1 ? p)

p 2 ? (1 ? p)2

p(1 ? p)

E(?2 ) ? 41.2 ? p(1 ? p) ?117.6 ?[ p2 ? (1 ? p)2 ] ? 204.0 ? p(1 ? p)
? ?10 p2 ? 10 p ? 117.6
根据投资回报率的计算办法,如果选择投资乙项目,只需 E (?1 ) ? E(?2 ) ,即

120 ? ?10 p2 ? 10 p ? 117.6 ,得 0.4 ? p ? 0.6 .

因为 E(?2 ) ? ?10 p2 ? 10 p ? 117.6,所以当 P ? 预测投资回报率的最大值为 12.01% .
2 2 2 ? ?a ? b ? 36 ? ?a ? 20 ?? 2 20.(Ⅰ) ? 2 , 2 ?a ? b ? 4 ?b ? 16 ? ?

1 时, E(?2 ) 取到最大值为 120.1 ,所以 2

则曲线 ? 的方程为

x2 y 2 x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) 和 ? ? 1( y ? 0) 20 16 20 16
b x a
,如图,设直线 l : y ?

(Ⅱ)曲线 C2 的渐近线为 y ? ?

b ( x ? m) a

b ? y ? ( x ? m) ? ? a 则? 2 ? 2 x2 ? 2mx ? (m2 ? a2 ) ? 0 2 x y ? ? ?1 ? ? a 2 b2

? ? (2m)2 ? 4 ? 2 ? (m2 ? a2 ) ? 4(2a2 ? m2 ) ? 0 ? ? 2a ? m ? 2a
又由数形结合知 m ? a ,∴ a ? m ?

2a

? x1 ? x2 ? m ? 设点 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ), M ( x0 , y0 ) ,则 ? m2 ? a 2 , ? x1 x2 ? ? 2
x1 ? x2 m b b m ? , y0 ? ( x0 ? m) ? ? ? 2 2 a a 2 b b ∴ y0 ? ? x0 ,即点 M 在直线 y ? ? x 上. a a
∴ x0 ?

x2 y 2 ? ? 1( y ? 0) ,点 F4 (6,0) (Ⅲ)由(Ⅰ)知,曲线 C1 : 20 16
设直线 l1 的方程为 x ? ny ? 6(n ? 0)

? x2 y 2 ?1 ? ? ? (4n2 ? 5) y 2 ? 48ny ? 64 ? 0 ? 20 16 ? x ? ny ? 6 ?

? ? (48n)2 ? 4 ? 64 ? (4n2 ? 5) ? 0 ? n2 ? 1
?48n ? y3 ? y4 ? 2 ? ? 4n ? 5 设 C( x3 , y3 ), D( x4 , y4 ) ,由韦达定理: ? 64 ?y y ? 3 4 ? 4n 2 ? 5 ?

∴ | y3 ? y4 |? ( y3 ? y4 ) 2 ? 4 y3 y4 ? 16 5

n2 ? 1 4n2 ? 5

S?CDF1 ?| S?CF1F4 ? S?DF1F4 |?
2

1 1 n2 ? 1 n2 ? 1 | F1F4 | ? | y3 ? y4 |? ? 8 ?16 5 ? 2 ? 64 5 2 2 2 4n ? 5 4n ? 5
2

令 t ? n2 ?1 ? 0 ,∴ n ? t ? 1 , ∴ S?CDF1 ? 64 5 ?

t 4t ? 9
2

? 64 5 ?

1 4t ? 9 t

∵ t ? 0 ,∴ 4t ?

9 3 13 ? 12 ,当且仅当 t ? ,即 n ? 时等号成立 t 2 2

n?

1 16 5 13 时,∴ S?CDF1 max ? 64 5 ? ? 12 3 2
(

4x ? a ? 4 ln x)(3 x ? 1) ? 3(4 x ? a) ln x ' x 21.(Ⅰ) f ( x) ? (3x ? 1) 2
4?a ?1 ∴a ? 0. 4 4 x ln x 1 (Ⅱ) f ( x ) ? , ?x ? [1, ??) , f ( x) ? m( x ? 1) ,即 4 ln x ? m(3x ? ? 2) 3x ? 1 x 1 设 g ( x) ? 4 ln x ? m(3 x ? ? 2) ,即 ?x ? [1, ??) , g ( x) ? 0 . x
由题设 f (1) ? 1 ,∴
'

g ' ( x) ?

4 1 ?3mx 2 ? 4 x ? m ? m(3 ? 2 ) ? , g ' (1) ? 4 ? 4m 2 x x x
'

①若 m ? 0, g ( x) ? 0 , g ( x) ? g (1) ? 0 ,这与题设 g ( x) ? 0 矛盾

2 ? 4 ? 3m2 ②若 m ? (0,1) ,当 x ? (1, ), g ' ( x) ? 0 , g ( x) 单调递增, g ( x) ? g (1) ? 0 , 3m
与题设矛盾. ③若 m ? 1 ,当 x ? (1, ??), g ( x) ? 0 , g ( x) 单调递减, g ( x) ? g (1) ? 0 ,即不等式成立
'

综上所述, m ? 1 . (Ⅲ)由(Ⅱ)知,当 x ? 1 时, m ? 1 时, ln x ? 不妨令 x ?

1 1 (3x ? ? 2) 成立. 4 x

4i ? 1 4i ? 1 16i * ? , i ? N ,所以 ln , 4i ? 3 4i ? 3 (4i ? 1)(4i ? 3)

ln

4 ?1 16 ? 4 ? 3 (4 ? 1)(4 ? 3) 4 ? 2 ?1 16 ? 2 ? 4 ? 2 ? 3 (4 ? 2 ? 1)(4 ? 2 ? 3) 4? 3 ?1 16 ? 3 ? 4 ? 3 ? 3 (4 ? 3 ? 1)(4 ? 3 ? 3)

ln

ln

…………

ln

4n ? 1 16n ? 4n ? 3 (4n ? 1)(4n ? 3)

累加可得∴ ln(4n ? 1) ? 16

? (4i ? 1)(4i ? 3) (n ? N )
* i ?1

n

i

22. (本题满分 10 分) 【选修 4—4 坐标系统与参数方程】 (Ⅰ) C1 是圆, C2 是椭圆 当 ? ? 0 时,射线 l 与 C1 , C2 交点的直角坐标分别为 (1,0),(a,0) , 因为这两点间的距离为 2,所以 a ? 3 ; 当? ?

?
2

时,射线 l 与 C1 , C2 交点的直角坐标分别为 (0,1), (0, b) ,

因为这两点重合,所以 b ? 1 . (Ⅱ) C1 , C2 的普通方程分别为 x 2 ? y 2 ? 1和

x2 ? y2 ? 1 9

当? ?

?
4

时,射线 l 与 C1 的交点 A 1 的横坐标为 x ?

2 ,与 C2 的交点 B1 的横坐标为 2

x' ?

3 10 10

当? ? ?

?
4

时,射线 l 与 C1 , C2 的交点 A2 ,分别与 A 1, B 1 关于 x 轴对称

因此直线 A1 A2 、 B1B2 垂直于极轴,故直线 A1 A2 和 B1B2 的极坐标方程分别为

? sin ? ?

2 3 10 , ? sin ? ? 2 10

23.(Ⅰ)函数 f ( x) ?| x ? a |, a ? 0

则 f ( x) ? f (? ) ?| x ? a | ? | ?

1 x

1 1 1 ? a |?| x ? a | ? | ? a |?| x ? a ? ? a | x x x

1 1 1 ?| x ? |?| x | ? | |? 2 | x | ? | | ? 2 x x x
(Ⅱ) f ( x) ? f (2 x) ?| x ? a | ? | 2 x ? a |, a ? 0 当 x ? a 时, f ( x) ? a ? x ? a ? 2 x ? 2a ? 3x , 则 f ( x) ? ?a ,

a a 时, f ( x) ? x ? a ? a ? 2 x ? ? x , 则 ? ? f ( x ) ? ? a ; 2 2 a a 当 x ? 时, f ( x) ? x ? a ? 2 x ? a ? 3x ? 2a , 则 f ( x) ? ? , 2 2 a 于是 f ( x ) 的值域为 [? , ??) 2 1 1 a 由不等式 f ( x) ? f (2 x) ? 的解集是非空集, 即 ? ? , 2 2 2
当a ? x ? 解得 a ? ?1 ,由于 a ? 0 ,则 a 的取值范围是 (?1, 0) .


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