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浙江省杭州市2012-2013学年高二数学文上学期期末试题新人教A版


杭州二中 2012 学年第一学期高二年级期末考试数学试卷(文科)
本试卷分为第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分,共 100 分,考试时间 100 分钟. 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,把答案填在答卷相应空格中) 1. m ? 2 ”是直线“ 2x ? my ? 0 与直线 x ? y ? 1 平行”的 “ A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 2.如图, 在正方体 ABCD—A1B1C1D1 中, E,F,G,H 分别是 AA1,A1D1,A1B1,BB1 的中点, 则异面直线 EF 与 GH 所成的角的大小为 D1 A.30° B.45° C.60° D.120° FD G ?x ? y ?1 ? 0 A1 ? D ?x ? y ? 0 3. 若实数 x,y 满足 ?
?x ? 0

C1 B1 H D B C

,则 z ? 2 x ? 3 y 的最大值是
1

ED A

D

A. 0

B.

2

C. 2

D. 3

x2 y 2 3 ? ? 1 (m ? 0, n ? 0) e? 5 ,则椭圆的方程是 4.已知椭圆 m n 的长轴长为 10,离心率

x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 ? ?1 A. 25 16 或 16 25 x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 ? ?1 C. 25 9 或 9 25

x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 ? ?1 B. 16 9 或 9 16
x2 y 2 x2 y 2 ? ?1 ? ?1 D. 100 25 或 25 100

5.设 l , m 是两条不同的直线, ? 是一个平面,则下列命题正确的是 A.若 l ? m , m ? ? ,则 l ? ? C.若 l //? , m ? ? ,则 l //m B. 若 l ? ? , l //m ,则 m ? ? D. 若 l //? , m//? ,则 l //m

2 6. 点 P 是抛物线 y ? 4 x 上一动点,则点 P 到点 A(0, ? 1) 的距离与到直线 x ? ?1 的距离之和

的最小值是 A. 5 B. 3 C. 2 D.2

2 2 7. 已知直线 y ? kx ? 2 和椭圆 2 x ? 3 y ? 6 有两个公共点,则 k 的取值范围

A.

k??

6 6 k? 3 或 3

B.

?

6 6 ?k? 3 3

C.

k??

6 6 6 6 k? ? ?k? 3 或 3 D. 3 3

1

8.设四面体的六条棱的长分别为 1,1,1,1, 2 和 a ,且长为 a 的棱与长为 2 的棱异面, 则 a 的取值范围是 A. (1, 2) B. (1, 3) C. (0, 3) D. (0, 2)

x2 y 2 ? 2 ? 1(a ? 0, b ? 0) 2 2 2 2 9. 过双曲线 a b 的右焦点 F 作圆 x ? y ? a 的切线 FM (切点为 M ), 交

y 轴于点 P ,若 M 为线段 FP 的中点, 则双曲线的离心率是(



A.

5

B. 2 C.

3

D.

2

10.如图,四面体 OABC 的三条棱 OA, OB, OC 两两垂直, OA ? OB ? 2, OC ? 3, D 为四面体
OABC 外一点.给出下列命题:

①不存在点 D ,使四面体 ABCD 有三个面是直角三角形; ②不存在点 D ,使四面体 ABCD 是正三棱锥; ③存在点 D ,使 CD 与 AB 垂直并且相等; ④存在无数个点 D ,使点 O 在四面体 ABCD 的外接球面上. 其中真命题的序号是 A.①② B.②③ C.③④ D.③ 二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答 卷中相应横线上)
2 2 ( ,? ) 11.过圆 x ? y ? 1上点 2 2 的切线方程为

1

3

. 12.已知某个几何体的三视图如图(正视图中的弧线是半圆) ,根据图 cm ) 可 得 这 个 几 何 体 的 表 面 积 是 中标出的尺寸(单位: , ___________ cm .
2

? x ? 2 ? t, ? x ? 3cos ? ? ? ? y ? ?1 ? t ( t 为参数)与曲线 ? y ? 3sin ? ( ? 为参数)的交 13. 直线
点个数为 14. 如图,过抛物线 .
y 2 ? 2 px ? p ? 0 ?
???? AF ? 3

的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A,B
?? ? ? ?? ??

两点,交其准线于点 C,若

BF ,且 CB ? 2 ,则此抛物线的方程为



15.在平面直角坐标系中,设点 P( x, y) ,定义坐标原点 O 与点 P( x, y) 之间的“出租 车距离”为
[OP] ? x ? y

, 对于下列结论: ①符合 [OP] ? 1 的点 P 的轨迹围成的图形面积为 2;

② 设 P 为 直 线 5 x ? 2y ? 2? 0上 任 意 一 点 , 则 [OP ] 的 最 小 值 为 1 ; ③ 设 点 P 为 直 线

2

y ? kx ? b(k , b ? R) 上的任意一点, 则“使得 [OP ] 取最小值的点 P 有无数个”的必要不充分条

件是“ k ? ?1 ”. 其中正确的结论有 . (填上你认为正确的所有结论的序号) 杭州二中 2012 学年第一学期高二年级期末考试数学答卷(文科) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分,在每小题给出的四个选项中,只有 一项是符合题目要求的,把答案填在答卷相应空格中) 题号 答案 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10

二、填空题(本大题共 5 小题,每小题 4 分,共 20 分,把答案填在答卷中相应横线上) 11. 12. 13.

14. 15. 三、解答题(本大题共 4 小题,共 40 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤) 16. (本小题满分 8 分)
2 已知命题 p : “对任意实数 x 都有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒成立”,命题

q :“方程 (a ? 1) x2 ? (3 ? a) y 2 ?(3 ? a)( a ?1) ? 0 表示焦点在 x 轴上的椭圆”.

(Ⅰ)若命题 p 是真命题,求实数 a 的取值范围; (Ⅱ)若命题 p , q 中有且只有一个真命题,求实数 a 的取值范围.

2 2 2 17. (本小题满分 9 分)已知圆 C 过点 P(1,1) ,且与圆 M : ( x ? 2) ? ( y ? 2) ? r (r ? 0) 关于直

线 x ? y ? 2 ? 0 对称. (Ⅰ)求圆 C 的方程; (Ⅱ)过点 P 作两条相异直线分别与圆 C 相交于 A, B ,且直线 PA 和直线 PB 的倾斜角互
3

补, O 为坐标原点,试判断直线 OP 和 AB 是否平行?请说明理由.

18. (本小题满分 11 分) 形, AB ? PA ? tBC(t ? 0) .

在四棱锥 P ? ABCD 中, PA ? 平面 ABCD ,底面 ABCD 为矩

(Ⅰ)当 t ? 1 时,求证: BD ? PC ; (Ⅱ)若 BC 边上有且只有一个点 Q ,使得 PQ ? QD ,求此时二面角 A ? PD ? Q 的余弦值.

P

A

D

B Q

C

4

19. (本小题满分 12 分) 点, 准线 l 与 x 轴交于点 K ,已知 (Ⅰ)求 p 的值;

2 已知点 A 是抛物线 y ? 2 px( p ? 0) 上一点,点 F 为抛物线的焦

AK ? 2 AF

,三角形 AFK 的面积等于 8.

(Ⅱ)过该抛物线的焦点 F 作两条互相垂直的直线 l1 , l2 ,与抛物线相交得两条弦,设两条弦 的中点分别为 G, H ,求
GH

的最小值.

5

杭州二中 2012 学年第一学期高二年级期终数学答案(文科) 一、选择题(本大题共 10 小题,每小题 4 分,共 40 分) 题号 答案 1 A 2 C 3 D 4 A 5 B 6 C 7 A 8 D 9 D 10 C

二、填空题(本大题共 6 小题,每题 4 分,共 24 分) 11.x ? 3 y ? 2 ? 0 (注意系数可变);
3 12. ? ? 4 ; 13. 2;
2 14.y ? 3x ;

15. ①③.

三、解答题(本大题共 4 小题,共 36 分.解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)
2 16 . 解 : Ⅰ ) 命 题 p 是 真 命 题 , 对 任 意 实 数 x 都 有 ax ? ax ? 1 ? 0 恒 成 立 (

?a ? 0 ? a ? 0或? ?? ? 0 ? 0 ? a ? 4 ;

?3 ? a ? 0 ? ?1? a ? 2 ?a ? 1 ? 0 ?3 ? a ? a ? 1 (Ⅱ)命题 q 为真,则 ? ,命题 p , q 中有且只有一个真命题,求实数 a

的取值范围为 0 ? a ? 1 或 2 ? a ? 4 .
?a ? 2 b ? 2 ? 2 ? 2 ?2?0 ? ? ?a ? 0 b?2 ? ?1 ? b?0 (a, b) ,则 ? a?2 ? 17.解: (Ⅰ)设圆心 C ,解得 ?
2 2 2 2 2 2 则圆 C 的方程为 x ? y ? r ,将点 P 的坐标代入得 r ? 2 ,故圆 C 的方程为 x ? y ? 2

(Ⅱ)由题意知, 直线 PA 和直线 PB 的斜率存在,且互为相反数,故可设 PA : y ?1 ? k ( x ?1) ,
? y ? 1 ? k ( x ? 1) ? 2 2 ? x ?y ?2

PB : y ? 1 ? ?k ( x ? 1) ,由

2 2 2 ,得 (1 ? k ) x ? 2k (1 ? k ) x ? (1 ? k ) ? 2 ? 0 ,

6

因为点 P 的横坐标 x ? 1 一定是该方程的解,故可得
xB ?

xA ?

k 2 ? 2k ? 1 1? k 2 ,

同理,

y ? y A ?k ( xB ? 1) ? k ( xA ? 1) 2k ? k ( xB ? x A ) k 2 ? 2k ? 1 k AB ? B ? ? ?1 2 xB ? xA xB ? xA xB ? xA 1? k ,所以 = kOP

所以,直线 AB 和 OP 一定平行. 18.解: (Ⅰ)当 t ? 1 时,底面 ABCD 为正方形,? BD ? AC 又因为 BD ? AP , BD ? PAC 又 PC ? 面PAC BD ? PC .
6 A ? PD ? Q 的余弦值为 6 . (Ⅱ)二面角

19.解: (Ⅰ)设

A ? x0 , y0 ?

,因为抛物线的焦点

p ? p ? ?p ? F ? ,0 ? , 准线l的方程为:x ? ? , K ? ? ,0 ? , 作AM ? l于M 2 ? 2 ? ?2 ? ,



AM ? x0 ?

p ? AF , 2

又 AK ? 2 AF 得 AK ? 2 AM ,即?AKM 为等腰直角三角形



p p ? ? KM ? AM ? x0 ? ,? y0 ? x0 ? ,即A ? x0 , x0 ? 2 2 ?
p? p ? ?p ? ? ? x0 ? ? ? 2 px0 ,? x0 ? ,于是A ? , p ? . 2? 2 ? ?2 ?
2

p? ? 2 ? ,而点 A 在抛物线上,



? S?AFK ?
2

1 1 p2 KF ? y0 ? ? p ? p ? ? 8,? p ? 4. 2 2 2

(Ⅱ)由 y ? 8 x ,得 F (2,0) ,显然直线 l1 , l 2 的斜率都存在且都不为 0.

1 y ? ? ( x ? 2) k 设 l1 的方程为 y ? k ( x ? 2) ,则 l 2 的方程为 .

? y 2 ? 8 x, 4 4 ? 2 y ? k ( x ? 2), G(2 ? k 2 , k ) 由 ? 得 ,同理可得 H (2 ? 4k , ?4k )
GH ? (
2



4 4 ? 4k ) 2 ? ( ? 4 k ) 2 2 k k

7

16(k 4 ?
=

1 1 1 ? k2 ? 2 ) k2 ? 2 4 k k ? 64 . k 时取等号) (当且仅当

所以 | GH | 的最小值是 8.

8


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