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高中数学第三章三角恒等变换33三角函数的积化和差与和差化积教案新人教B版必修4(数学教案)

3.3 三角函数的积化和差与和差化积 教学分析 本节主要包括利用已有的公式进行推导发现. 本节的编写意图与特色是教师引导学生发 现创造,从而加深理解变换思想,提高学生的推理能力.三角恒等变换所涉及的问题各种各 样,内容十分丰富,我们希望能总结出一些有规律性的数学思想、方法和技巧,提高对三角 变换的理性认识. 科学发现是从问题开始的, 没有问题就不可能有深入细致的观察. 为了让学生经历一个 完整的探索发现过程, 教科书从三角函数运算的角度提出了研究课题. 这是从数学知识体系 的内部发展需要提出问题的方法.用这种方法提出问题可以更好地揭示知识间的内在联系, 体会推理论证和逻辑思维在数学发现活动中的作用. 从运算的角度提出问题, 还可以帮助学 生认识到三角变换也是一种运算, 丰富对运算的认识, 从而把对三角变换的研究纳入整体的 数学体系之中.类比对数运算,由两角和与差的正弦公式易推出积化和差公式. α +β α -β 在推导了公式 sinα +sinβ =2sin cos 以后, 可以让学生推导其余的和差 2 2 化积及积化和差公式.和差化积、积化和差不要求记忆,都在试卷上告诉我们,要注意不应 该加大三角变换的难度, 不要在三角变换中“深挖洞”. 高考在该部分内容上的难度是一降 再降. 三维目标 1.通过类比推导出积化和差与和差化积公式.体会化归、换元、方程、逆向使用公式 等数学思想,提高学生的推理能力. 2.通过和差化积公式和积化和差公式的推导,让学生经历数学探索和发现过程,激发 学生学好数学的欲望和信心. 重点难点 教学重点:推导积化和差、和差化积公式. 教学难点:认识三角变换的特点,并能运用数学思想方法指导变换过程的设计,不断提 高从整体上把握变换过程的能力. 课时安排 1 课时 教学过程 导入新课 思路 1.(复习导入)在前面的几节课中我们学习了两角和与差的三角函数的计算公式, 并运用这些公式解决了一些三角函数的化简、 求值以及三角恒等式的证明问题, 在我们运用 三角函数知识解决一些问题的时候, 我们也会遇到形如 sinα +sinβ , sinα -sinβ , cosα +cosβ ,cosα -cosβ 的形式,那么,我们能否运用角 α 、β 的有关三角函数值表示它 们呢?这就是我们本节课所要研究的问题. 思路 2.(类比导入)我们知道 logam+logan=loga(mn), 那么 sinα +sinβ 等于什么呢? 推进新课 新知探究 提出问题 你能从两角和与差的正、余弦公式中发现些什么? 积化和差与和差化积公式的特点是什么? 活动:考察公式 1 cos(α +β )=cosα cosβ -sinα sinβ ; cos(α -β )=cosα cosβ +sinα sinβ ; sin(α +β )=sinα cosβ +cosα sinβ ; sin(α -β )=sinα cosβ -cosα sinβ . 从公式结构上看,把 cosα cosβ ,sinα sinβ ,sinα cosβ ,cosα sinβ 分别看成未 知数解方程组,则容易得到如下结论: 1 cosα cosβ = [cos(α +β )+cos(α -β )]; 2 1 sinα sinβ =- [cos(α +β )-cos(α -β )]; 2 1 sinα cosβ = [sin(α +β )+sin(α -β )]; 2 1 cosα sinβ = [sin(α +β )-sin(α -β )]. 2 从上面这四个公式,又可以得出 sin(α +β )+sin(α -β )=2sinα cosβ ; sin(α +β )-sin(α -β )=2cosα sinβ ; cos(α +β )+cos(α -β )=2cosα cosβ ; cos(α +β )-cos(α -β )=-2sinα sinβ . x+y x-y 设 α +β =x,α -β =y,则 α = ,β = . 2 2 这样,上面得出的四个式子可以写成 x+y x-y sinx+siny=2sin cos ; 2 2 x+y x-y sinx-siny=2cos sin ; 2 2 x+y x-y cosx+cosy=2cos cos ; 2 2 x+y x-y cosx-cosy=-2sin sin . 2 2 利用这四个公式和其他三角函数关系式,我们可把某些三角函数的和或差化成积的形 式. 教师还可引导学生用向量运算证明和差化积公式. 如图 1 所示.作单位圆,并任作两个向量 图1 → → OP=(cosα ,sinα ),OQ=(cosβ ,sinβ ). 2 取 α +β α +β 的中点 M,则 M(cos ,sin ). 2 2 连接 PQ,OM,设它们相交于点 N,则点 N 为线段 PQ 的中点且 ON⊥PQ. α +β α -β ∠xOM 和∠MOQ 分别为 , . 2 2 → → → 探索三个向量OP,ON,OQ之间的关系,并用两种形式表达点 N 的坐标,以此导出和差化 α +β α -β α +β α -β 积公式 cosα +cosβ =2cos cos ;sinα +sinβ =2sin cos . 2 2 2 2 讨论结果:略 应用示例 1 3 3 例 1 已知 sinx-cosx= ,求 sin x-cos x 的值. 2 活动:教师引导学生利用立方差公式进行对公式变换化简,然后再求解.由于(a-b) 3 2 2 3 3 3 3 3 3 =a -3a b+3ab -b =a -b -3ab(a-b),∴a -b =(a-b) +3ab(a-b).解完此题后, 教师引导学生深挖本例的思想方法, 由于 sinxcosx 与 sinx±cosx 之间的转化, 提升学生的 3 3 运算、 化简能力及整体代换思想. 本题也可直接应用上述公式求之, 即 sin x-cos x=(sinx 11 3 -c

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