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2016-2017学年人教A版选修4-5 三个正数的算术——几何平均不等式(一) 学案


课堂导学 三点剖析 一、利用三个正数的算术——几何平均不等式证明不等式 【例 1】 (1)已知 ai∈R+(i=1,2,3,…,n),且 a1a2…an=1. 求证:(2+a1)(2+a2)…(2+an)≥3n. (2)已知 a,b,c∈R+,a+b+c=1,求证: 证明:(1)∵a1>0, ∴2+a1=1+1+a1≥3· 3 …… 2+an=1+1+an≥ 33 3 ≥3n· 1 1 1 + + ≥9. a b c a1 >0. 同理,2+a2=1+1+a2≥ 33 a2 >0, an >0, ∴(2+a1)(2+a2)…(2+an) a1a2 ?an =3n. ∴原不等式成立. (2)∵a+b+c≥3· 3 abc ,a+b+c=1, 1 1 ∴ 3 abc ≤ .∴ ≥3. 3 3 abc 1 1 1 1 ∴ + + ≥3· 3 ≥9. a b c abc ∴原不等式成立. 温馨提示 在利用三元均值不等式 a?b?c 3 ? abc 证明不等式时,要注意把握三元均值不等式的结构特 3 点,以便灵活地用于解题. 各个击破 类题演练 1 设 a,b,c>0,求证:ab(a+b)+bc(b+c)+ca(c+a)≥6abc. 证法一:左边=(a2b+b2c+c2a)+(ab2+bc2+ca2)≥3· a b c +3· a b c =6abc, ∴原不等式成立. 证法二:左边=(ba2+bc2)+(ab2+ac2)+(ca2+cb2)≥2abc+2abc+2abc=6abc, ∴原不等式成立. 变式提升 1 3 3 3 3 3 3 3 3 c a b 3 ? ? ≥ . a?b b?c a?c 2 c a b 证明:∵( +1)+( +1)+( +1) a?b b?c a?c 1 1 1 ? ? =(a+b+c)( ) a?b b?c c?a 1 1 1 1 ? ? = [(a+b)+(c+b)+(c+a)]· ( ) 2 a?b b?c c?a 设 a,b,c>0,求证: 1 3 1 9 · 3· (a ? b)(b ? c)(c ? a) ? 3 ? 3 ? , 2 (a ? b)(b ? c)(c ? a) 2 c a b 3 ? ? ∴ ≥ . a?b b?c a?c 2 ≥ 二、利用三个正数的算术——几何平均不等式求最值 【例 2】 求函数 f(x)=x(5-2x)2(0<x< 解析:f(x)= 5 )的最大值. 2 1 · 4x· (5-2x)· (5-2x) 4 1 4x ? 5 ? 2x ? 5 ? 2x 3 ≤ ( ) 4 3 250 = . 27 5 当且仅当 4x=5-2x,即 x= 时等号成立. 6 5 5 250 ∴当 x= 时,函数 f(x)=x(5-2x)2(0<x< )有最大值 . 6 2 27 温馨提示 在利用均值不等式求最值时,除了注意“一正”“二定”“三相等”之外,还应掌握配项,凑系数等变形 技巧. 类题演练 2 求 y=sinθcos2θ(0<θ< ? )的最大值. 2 解析:y2=sin2θcos4θ =sin2θ·(1-sin2θ)(1-sin2θ) 1 · 2sin2θ(1-sin2θ)(1-sin2θ) 2 1 2 sin 2 ? ? 1 ? sin 2 ? ? 1 ? sin 2 ? 1 8 4 ( )? ? ? ≤ · , 2 3 2 27 27 2 3 ,当且仅当 2sin2θ=1-sin2θ, ∴y≤ 9 1 ? 即 sin2θ= .又 θ∈(0, ),

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