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2016-2017年上海市延安中学高三下开学考


延安中学高三开学考数学试卷
2017.02 一. 填空题 1. 已知集合 A ? {x |

x?2 ? 0} , B ? {x | x2 ? 2x ? 3 ? 0, x ? R} ,则 A B ? x?5

?1 2. 已知函数 f ( x) ? arcsin(2 x ?1) ,则 f ( ) ?

?

6

3.已知圆锥的母线长为 5,侧面积为 15? ,则此圆锥的体积为(结果保留 ? ) 4.已知无穷等比数列 {an } 中, a1 ? 5. 复数 z 满足

3 1 , a2 a3 ? ? ,则 lim( a1 ? a2 ? ??? ? an ) ? n ?? 2 12

z i ? 1 ? i ,则复数 z 的模等于 1 i
10

6. 在 (tan x ? cot x) 的二项展开式中, tan 2 x 的系数为(用数值作答) 7. 设 F1 、 F2 是双曲线 x 2 ? 4 y 2 ? 4 的两个焦点, P 在双曲线上,且 PF 1 ? PF 2 ? 0 ,则

| PF1 | ? | PF2 | ?
8. 已知 OA ? (1,1) , OB ? (?1, 2) ,以 OA 、 OB 为边作平行四边形 OACB ,则 OC 与 AB 的夹角为 9. 从集合 {1, 2,3, ???,10} 中选出 4 个数组成的子集,使得这 4 个数中的任何两个数的和不等于 11,则这样 的子集个数是 10.定义在 R 上的奇函数 y ? f ( x) 的图像关于直线 x ? 1 对称,且当 0 ? x ? 1 时, f ( x) ? log3 x ,则方程

1 f ( x) ? f (0) ? 在区间 (0,10) 内所有的实根之和为 3 2 2 11. 直线 y ? kx ? 1 与圆 x ? y ? kx ? my ? 4 ? 0 相交于 P 、Q 两点, 且 P 、Q 两点关于直线 x ? y ? 0 对

? kx ? y ? 1 ? 0 ? 称,则关于 x 、 y 不等式组 ? kx ? my ? 0 所表示平面区域的面积是 ?y ? 0 ? 12. 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ? y) ? f ( x) ? f ( y) ,且 f (1) ? 2 ,则下面四个式子:①
f (1) ? 2 f (1) ? ??? ? nf (1) ;② f [

n(n ?1 ) ] ;③ n(n ?1 ) f( 1 ) ) ;④ n(n ?1 2

1 ) ? (2 f) ; 与 f(

? ??? ? f (n)

相等的式子的序号为(写出所有满足条件的式子的序号) 二. 选择题 13.“ f ( x) ? 3 ”是“ f ( x ) 的最小值为 3 ”的()条件 A. 充分非必要 B. 必要非充要 C. 充要 D.既非充分也非必要 14. 设 m 、 n 是两条不同的直线, ? 、 ? 、 ? 是三个不同的平面,给出下列四个命题: ①若 m ? ? , n ∥ ? ,则 m ? n ;②若 ? ∥ ? , ? ∥ ? , m ? ? ,则 m ? ? ;
第1页

③若 m ∥ ? , n ∥ ? ,则 m ∥ n ;④若 ? ? ? , ? ? ? ,则 ? ∥ ? ; 其中正确命题的序号是() A. ①②B. ②③C. ③④D.①④ 15. P 是△ ABC 内一点,满足 2PA ? 3PB ? 4PC ? 0 ,则 S?PBC : S?PCA : S?PAB ? ()

1 1 1 1 1 1 : : D. : : 4 3 2 2 3 4 1 16. 设 {an } 是公比为 q 的等比数列,首项 a1 ? ,对于 n ? N * , bn ? log 1 an ,当且仅当 2 64 n ? 4 时,数列 {bn } 的前 n 项和取得最大值,则 q 的取值范围为()
A. 4 : 3 : 2 B. 2 : 3 : 4 C. A. (3, 2 3) B. (3, 4) C. (2 2, 4) D. (2 2,3 2)

三. 解答题 17. 已知 sin(

?
4

? ? )sin(

?
4

? ?) ?

1 ? , ? ? ( , ? ) ,求 sin 4? 的值; 6 2

AB ? BC ? 1 , AA1 ? 2 , Q 是 AA1 的中点, 18. 如图,设长方体 ABCD ? A 1B 1C1D 1 中,
点 P 在线段 B1D1 上; (1)试在线段 B1D1 上确定点 P 的位置,使得异面直线 QB 与 DP 所成角为 60 ,并请说明 你的理由; (2)在满足(1)的条件下,求四棱锥 Q ? DBB1P 的体积;
?

19. 已知函数 g ( x) ? ax ? 2ax ? 1 ? b (a ? 0, b ? 1) ,在区间 [2,3] 上有最大值 4,最小值 1,
2

第2页

设函数 f ( x ) ?

g ( x) ; x

(1)求 a 、 b 的值及函数 f ( x ) 的解析式; (2)若不等式 f (2x ) ? k ? 2x ? 0 在 x ?[?1,1] 时恒成立,求实数 k 的取值范围;

x2 y 2 20. 已知椭圆 2 ? 2 ? 1 (a ? b ? 0) 长轴长为短轴长的两倍,连结椭圆的四个顶点得到的 a b 菱形的面积为 4,直线 l 过点 A(?a, 0) ,且与椭圆相交于另一点 B ;
(1)求椭圆的方程;

4 2 ,求直线 l 的倾斜角; 5 (3)点 Q(0, y0 ) 在线段 AB 的垂直平分线上,且 QA ? QB ? 4 ,求 y0 的值;
(2)若线段 AB 长为

21. 从数列 {an } 中取出部分项,并将它们按原来的顺序组成一个数列,称之为数列 {an } 的 一个子数列,设数列 {an } 是一个首项为 a1 ,公差为 d (d ? 0) 的无穷等差数列; (1)若 a1 、 a2 、 a5 成等比数列,求其公比 q ; (2)若 a1 ? 7d ,从数列 {an } 中取出第 2 项、第 6 项作为一个等比数列的第 1 项、第 2 项,试问该数列 是否为 {an } 的无穷等比子数列,请说明理由; (3)若 a1 ? 1 ,从数列 {an } 中取出第 1 项、第 m (m ? 2) 项(设 am ? t )作为一个等比数列的第 1 项、 第 2 项,试问当且仅当 t 为何值时,该数列为 {an } 的无穷等比子数列,并请说明理由;

第3页

参考答案
一. 填空题 1. (?5, ?1] 2. ?

1 4

3. 12?

4.

9 8

5.

5

6. 210

7. 2 8. arccos

5 5

9. 80

10. 30

11.

1 12. ①②③ 4

二. 选择题 13. B 三. 解答题 17. ? 14. A 15. B 16. C

4 2 9
1 ; 2 1 ? 2; (2) k ? 0 ; x

18.(1)线段 B1D1 中点; (2)

19.(1) a ? 1 , b ? 0 , f ( x ) ? x ? 20.(1)

x2 ? 3? 2 14 ? y 2 ? 1; (2) 或 ; (3) y0 ? ?2 2 或 y0 ? ? ; 4 4 4 5

21.(1) 3 ; (2)不是; (3)大于 1 的正整数;

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