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河南省许昌市三校( 许昌高中、长葛一高、襄城高中)2016-2017学年高二下学期第一次联考数学(文)试题.doc

许昌市三校联考高二下期第一次考试

数学(文)试题
考试时间:120 分钟
注意事项: 1.本试题分第 I 卷(选择题)第 II 卷(非选择题)两部分 2.答卷前,考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试题相应的位置 3.全部答案在答题卡上完成,答在本试题上无效 4.考试结束后,将本试题和答题卡一并交回

分值:150 分

第I卷
一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只 有一项符合题目的要求) 1. 不等式 x ? x ? 2 ? 0 的解集为( A. C.
2

) B. D.

? x | ?2 ? x ? 1?

? x | ?1 ? x ? 2?

? x | x ? ?2或 x ? 1?
1 3
x

? x | x ? ?1或 x ? 2?


2. 命题: ?x ? R, ( ) ? 0 的否定是( A. ?x0 ? R, ( )

1 3

x0

?0 ?0
3

B. ?x0 ? R, ( ) D. ?x0 ? R, ( )

1 3

x0

?0 ?0


C. ?x0 ? R, ( )

1 3

x0

1 3

x0

3. 已知:m 为函数 f ( x ) ? x ? 12 x 的极小值点,则 m=( A.-4 B.-2 C.4 D.2

4. 设 x, y ? R, 命题 p : x ? 1且y ? 1 , q : x ? y ? 2 ,则 A. 充分不必要条件 C. 充要条件 5. 已知等比数列 ?an ? , a2 ? 2, a5 ? A. B. 必要不充分条件

p 是 q 成立的(



D. 既不充分也不必要条件

1 ,则公比 q ? ( 4
C. 2



1 2


B. ?2

D.

1 2

6. 已知函数 y ? f ( x) 的定义域为 R, f (?1) ? 1 ,对 ?x ? R, f '( x) ? 1 ,则 f ( x) ? x 的 解集为(

A. (?1,1)

B. (?1, ??)

C. (??, ?1)

D. R

7. 设 ? ABC 的内角 A、B、C 所对边分别为 a, b, c , b cos C ? c cos B ? a sin A ,则 ? ABC 的形状为( A. 锐角三角形 ) B. 钝角三角形 C. 直角三角形 D. 不确定

x2 y2 8. 已知双曲线 2 ? 2 ? 1( a ? 0, b ? 0) 的左右焦点分别为 F1 ( ?c, 0), F2 (c, 0) ,若直线 a b

y ? 2 x 与双曲线的一个交点的横坐标为 c ,则双曲线的离心率为(
A.

) D.

3 ?1

B.

2 ?1

C.

3? 2

2

9. 已知等差数列 ?an ? 的公差 d ? 2, a3 ? 5 ,数列 ?bn ? , bn ? 前 10 项的和为( A. ) B.

1 ,则数列 ?bn ? 的 an ? an ?1 20 19 5 x0 ,则 x0 =( 4


10 21

20 21

C.

10 19

D.

2 10.已知抛物线 C : y ? x 的焦点为 F , A( x0 , y0 ) 是 C 上一点, | AF |?

A.1

B.2

C.4

D.8

11.已知变量 x, y 满足约束条件 ?

? x ? y ? 1 ? 0, 若目标函数 z ? ax ? 2by (a ? 0, b ? 0) ? 2 x ? y ? 3 ? 0,

在该约束条件下的最小值为 2,则 A.7 12.下列命题 B.8

1 4 ? 的最小值为( a b
C.9

) D.不存在

(1) ?x ? R, 不等式 x ? 2 x ? 4 x ? 3 恒成立. (2)若 x ? 1 ,则 log 2 x ? log x 2 ? 2 . (3)命题“若 a ? b ? 0 且 c ? 0 ,则
2

2

c c ? ”的逆否命题. a b
2

(4)若命题 p : ?x ? R, x ? 1 ? 1 ,命题 q : ?x ? R, x ? 2 x ? 1 ? 0 则命题 p ? (?q) 是假命题. 其中真命题为( A.①②③ ) B.①②④ C.①③④ D.②③④

第 II 卷
二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 5 分,共 20 分)

13.函数 y ?

x2 ? 1 ( x ? 0) 的最小值为 x

.

? x ? y ? 1 ? 0, ? 14.若变量 x, y 满足约束条件 ? x ? y ? 3 ? 0, 则 z ? x ? 2 y 的最大值为 ? x ? 3 ? 0, ?
15.已知双曲线过点 (4, 3) 且渐近线方程为 y ? ? 16.在 ? ABC 中, ?A ?

.

1 x ,则双曲线的标准方程为 2
.

.

2 b ? , a ? 3c ,则 = 3 c

三、解答题(解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤)

x2 y2 17.(10 分)已知命题 p : 方程 ? ? 1 表示双曲线,命题 q : 函数 y ? e x ? mx 有 m ?1 2 ? m
极值,若命题

p ? q 为假命题,求 m 的取值范围.

18.(12 分)已知 a, b, c 分别为 ? ABC 内角 A、B、C 的对边, ? ABC 的周长为 4( 2 ? 1) 且 sin B ? sin C ?

2 sin A .

(1)求边长 a 的值; (2)若 S ?ABC ? 3sin A ,求 cos A .

19.(12 分)已知数列 ?an ? , S n 为数列 ?an ? 的前 n 项和,满足 Sn ? 2an ? 2(n ? N ) ,数
*

列 ?bn ? 为等差数列, b1 ? a1 , b4 ? a3 . (1)求数列 ?an ? , ?bn ? 的通项公式; (2)求数列 ?an +bn ? 的前 n 项和 Tn .

2 20.(12 分)设函数 f ( x ) ? x ? ax ? b ln x, 曲线 y ? f ( x) 在点 p(1, f (1)) 处的切线方程

为 y ? 2x ? 2 .

(1)求 a 、 b 的值; (2)若 g ( x) ? f ( x) ? 2 x ? 2 ,求 g ( x) 在定义域上的最大值.

21.(12 分)已知椭圆

x2 y2 ? ? 1( a ? b ? 0) , F1 、 F2 为椭圆的左右焦点,过 F2 斜率为 a 2 b2

1 k (k ? 0) 的直线 l 与椭圆相交于 M 、 N 两点, ?MF1 N 的周长为 8,离心率为 . 2
(1)求椭圆的方程; (2)若 OM ? ON ? ?

???? ? ????

17 (O 为坐标原点),求 | MN | . 7

22.(12 分)已知函数 f ( x ) ? x ln x ? ax ? x . (1)若 a ?

2

1 ,令 g ( x) ? f '( x) ,求 g ( x) 的单调区间; 2

(2)若 f ( x) 在 (0, ??) 上单调递减,求 a 的取值范围.

许昌市三校联考高二下期第一次考试 数学(文)试题答案
一、选择题 1-5 BDDCD 二、填空题 13、2 14、3 6-10 15、 BCBAA 11-12 CA

x2 ? y2 ? 1 4 17、解: p : m ? ?1 或 m ? 2 3分 q:m ? 0 6分
∵ p ? q 为假命题 ∴ p 假或 q 假 ∴ ?1 ? m ? 2 或 m ? 0 ∴ m ? ?1

16、1

10 分

18、解(1) a ? b ? c ? 4( 2 ? 1) ∴a ? 4

b ? c ? 2a

6分

(2) b ? c ? 4 2 ∵ S ?ABC ? 3sin A ∴

∴ bc ? 6

1 bc sin A ? 3sin A 2 1 3
12 分

∴ cos A ?

19、解(1)∵ S n ? 2an ? 2 ∴ S n ?1 ? 2an ?1 ? 2(n ? 2) ∴ an ? 2an ? 2an ?1 ∴ an ? 2an ?1 ∴
[:]

∴数列 ?an ? 是等比数列 ∴ an ? 2
n

an ?2 an?1 a1 ? 2

4分

∴ b1 ? 2, b4 ? 8 ∴d ? 2 ∴ bn ? 2n ∴ Tn ? 2 6分
n

(2) an ? bn ? 2 ? 2n
n ?1

? 2 ? n2 ? n

12 分

20、解: (1) f '( x) ? 1 ? 2ax ?

? f (1) ? 0 ? ? f '(1) ? 2 ? a ? ?1 ∴? ?b ? 3
2

b ( x ? 0) x ?1 ? a ? 0 ∴? ?1 ? 2a ? b ? 2

(2)由(1)知, f ( x ) ? x ? x ? 3ln x x ? (0, ??) ∴ g ( x ) ? 2 ? x ? x ? 3ln x

2

g '( x) ? ?1 ? 2 x ?
令 g '( x) ? 0 ∴ ( x ? 1)(2 x ? 3) ? 0 ∴ x ?1或 x ? ?

3 ( x ? 1)(2 x ? 3) ?? x x

3 (舍去) 2
x

g '( x) g ( x)
∴ g ( x ) max ? 0 21、解: (1)由题意知

(0,1) + 递增

1 0

(1? ? ) - 递减

? 4a ? 8 ? ?c 1 ? ? ?a 2
∴a=2,c=1 ∴b ?
2

3 x y2 ? ?1 ∴ 4 3 l : y ? k ( x ? 1) (2) F2 (1, 0)
设 M ( x1 , y1 )

N ( x2 , y 2 )

? y ? k ( x ? 1) ? 解方程组 ? x 2 y 2 ?1 ? ? 3 ?4 2 2 2 2 ∴ (3 ? 4 k ) x ? 8k x ? 4 k ? 12 ? 0
∴ x1 ? x2 ?

8k 2 4k 2 ?12 x x ? 1 2 3 ? 4k 2 3 ? 4k 2 ???? ? ???? OM ? ON ? x1 x2 ? y1 y2
2 2 2

6分

? (1 ? k 2 ) x1 x2 ? k 2 ( x1 ? x2 ) ? k 2
∴ (1 ? k ) x1 x2 ? k ( x1 ? x2 ) ? k ? ?
2

4k 2 ? 12 8k 2 17 2 ?k ? ? k2 ? ? ∴ (1 ? k ) ? 2 2 3 ? 4k 3 ? 4k 7

17 7

∴ k ? 1( k ? 0) ∴k ?1

2

[:]

8 8 x1 x2 ? ? ∴ x1 ? x2 ? 7 7 2 MN ? 1 ? k | x1 ? x2 |
? 1 ? k 2 ( x1 ? x2 ) 2 ? 4 x1 x2

8分

=

24 7
(2) f '( x) ? ln x ? 2ax

12 分 4分

22、解(1) g ( x) 在(0,1)上单调递增,在 (1, ??) 上单调递减 ∵ f ( x) 在 (0 ? ?) 上单调递减 ∴ f '( x) ? 0 恒成立, x ? (0, ??) ∴ ln x ? 2 ax ? 0 ∴ 2 ax ? ln x 6分

ln x x ln x 设y? x 1 ? ln x y' ? x2 令 y' ? 0
∴ 2a ? ∴x?e

8分

∴ 1 ? ln x ? 0 (0,e) + 递增 e ( (e ? ? ) ) - 递减

x

y' y
∴ ymax ?

1 e 1 ∴a ? 2e
∴ 2a ?

1 e

1 e

12 分


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