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2014-2-18重点班圆锥曲线,立体几何、概率统计小测题目及答案

2014-2-18 重点班圆锥曲线,立体几何、概率统计小测题目及答案

1 . (山东省青岛市 2013 届高三第一次模拟考试理科数学)下列函数中周期为 ? 且为偶函数的

是(



A. y ? sin( 2 x ?
【答案】A

?
2

) B. y ? cos(2 x ?

?
2

) C. y ? sin( x ?

?
2

) D. y ? cos( x ?

?
2

)
( )

y ? sin(2 x ? ) ? ? cos 2 x 为偶函数,且周期是 ? ,所以选 2

?

A.
2. (山东省枣庄三中 2013 届高三上学期 1 月阶段测试理科数学)一等腰三角形的周长是底边

长的 5 倍,那么顶角的余弦值为 A.

( C.



5 18

B.

3 4

3 2

D.

7 8

【答案】D

【 解 析 】 设 底 边 长 为 x , 则 两 腰 长 为 2x , 则 顶 角 的 余 弦 值

cos ? ?

(2 x) 2 ? (2 x) 2 ? x 2 7 ? .选 2 ? 2x ? 2x 8

D.

2、(广东省宝安中学等七校 2014 届高三第二次联考)已知平面 ? 、 ? 和直线 m ,给出条 件:① m // ? ;② m ? ? ;③ m ? ? ;④ ? ? ? ;⑤ ? // ? .能推导出 m // ? 的是( A.①④ B.①⑤ C.②⑤ )

D.③⑤

答案:D 8、 (佛山市石门中学 2014 届高三第二次检测)给定下列四个命题: ①若一个平面内的两条直线与另一个平面都平行,那么这两个平面相互平行; ②若一个平面经过另一个平面的垂线,那么这两个平面相互垂直; ③垂直于同一直线的两条直线相互平行; ④若两个平面垂直,那么一个平面内与它们的交线不垂直的直线与另一个平面也不垂直. 其中,为真命题的是 A.①和② 答案:A B.②和③ C.③和④ ( D.②和④ )

4、 (江门市 2014 届高三调研)若 ? 、 ? 是不重合的平面, a 、 b 、 c 是互不相同的空间直 线,则下列命题中为真命题的是 ① 若 a // ? , b // ? ,则 a // b ② 若 c // ? , b ? ? ,则 c ? b ③ 若 c ? ? , c // ? ,则 ? ? ? ④ 若 b ? ? , c ? ? 且 a ? b , a ? c ,则 a ? ? 答案:②③ . (写出所有真命题的序号)

3、 (广州市培正中学 2014 届高三 11 月月考)如图, E 、 F 分别为棱长为 1 的正方体的棱

A1 B1 、B1C1 的中点, 点 G 、H 分别为面对角线 AC 和棱 DD1 上
的动点(包括端点) ( )
A

D

G

C

A)此四面体体积既存在最大值,也存在最小值; B)此四面体的体积为定值; C)此四面体体积只存在最小值; D)此四面体体积只存在最大值。 答案:A 5、 (揭阳一中、潮州金山中学 2014 届高三上学期期中联考) 函数 y ? x ? 4 ? x ? 6 的最小值为 答案:2
A1

H
D1

B
C1

F
E 第 7 题图
B1

6、 (汕头市潮师高级中学 2014 届高三上学期期中)不等式 | x ? 1 | ? | x ? 3 ? | 6的解集 为 答案: [?2, 4] .

7、 (德阳中学 2014 届高三“零诊”考试) 德阳中学数学竞赛培训共开设有初等代数、初等几何、初等数论和微积分初步共四门课程, 要求初等代数、初等几何都要合格,且初等数论和微积分初步至少有一门合格,则能取得参 加数学竞赛复赛的资格,现有甲、乙、丙三位同学报名参加数学竞赛培训,每一位同学对这 四门课程考试是否合格相互独立,其合格的概率均相同, (见下表) ,且每一门课程是否合格 相互独立, 课 程 初等代数 初等几何 初等数论 微积分初步

合格的概率

3 4

2 3

2 3

1 2

(1)求甲同学取得参加数学竞赛复赛的资格的概率; (2)记 ? 表示三位同学中取得参加数学竞赛复赛的资格的人数,求 ? 的分布列及期望 E? .

10、 (佛山市石门中学 2014 届高三第二次检测) 已知多面体 ABCDE 中, AB⊥平面 ACD, DE⊥平面 ACD, AC=AD=CD=DE=2, AB=1, F 为 CE 的中点。 (1)求证:AF⊥CD; (2)求直线 AC 与平面 CBE 所成角的大小的余弦值。

(1)证明:取 CD 的中点 G,连接 AG、GF,则 GF//DE ∵AC=AD,∴AG⊥CD ????2 分 ∵DE⊥平面 ACD ∴DE⊥CD ∴GF⊥CD ????4 分 ∵ AG ? GF ? G ∴CD⊥平面 AGF ∵AF ? 平面 AGF ∴AF⊥CD ????6 分 (2)解:分别以 GD 、 GF 、 GA 为 x 、 y 、 z 轴建立如图空间直 角坐标系 G ? xyz ,

????

??? ?

??? ?

则B (0,1, 3), C ( ?1, 0, 0), E (1, 2, 0) ??? ? ??? ? ??? ? CB ? (1,1, 3), CE ? (2, 2, 0), CA ? (1, 0, 3) ? ??? ? ? ? ? n ? CB ? x ? y ? 3 z ? 0 设平面CBE的法向量为n ? ( x, y, z ), 则 ? ? ??? ? ? ? n ? CE ? 2 x ? 2 y ? 0 ? 设x ? 1, 则n ? (1, ?1, 0) ???? 9分 ? ? ?? ? ? ? ?? ? C A? n 2 ? ? ????12 分 ? c o s? C A ,n ? ? ? ? ?? | C A |? | n | 4
设直线 AC 与平面 CBE 所成角为 ? ,则 cos? ? 1 ? cos ? CA, n ? ?
2

14 4

∴直线 AC 与平面 CBE 所成角的余弦值为

14 4

????14 分

3. (黑龙江哈尔滨市九中 2013 届高三第五次月考数学(理)试题)如图,已知直线 l 与抛物线

x 2 ? 4 y 相切于点 P(2,1),且与 x 轴交于点 A,O 为坐标原点,
定点 B 的坐标为(2,0). (1)若动点 M 满足 AB ? BM ?

2 | AM |? 0 ,求点 M 的轨迹 C;

(2)若过点 B 的直线 l′(斜率不等于零)与(I)中的轨迹 C 交于不同的两点 E、F(E 在 B、 F 之间),试求△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围.

1.解:(I)由 x ? 4 y得y ?
2

1 2 1 x , ? y ? ? x. ∴直线 l 的斜率为 y ? | x ? 2 ? 1 4 2

故 l 的方程为 y ? x ? 1 ,∴点 A 坐标为(1,0) 设 M ( x, y ) 则 AB ? (1,0), BM ? ( x ? 2, y ), AM ? ( x ? 1, y ) ,

由 AB ? BM ?

2 | AM |? 0 得 ( x ? 2) ? y ? 0 ? 2 ? ( x ? 1) 2 ? y 2 ? 0.

整理,得

x2 ? y 2 ? 1. 2

∴动点 M 的轨迹 C 为以原点为中心,焦点在 x 轴上,长轴长为 2 2 ,短轴长为 2 的椭圆 (II)如图,由题意知直线 l 的斜率存在且不为零,设 l 方程为 y=k(x-2)(k≠0)①

x2 将①代入 ? y 2 ? 1 ,整理,得 (2k 2 ? 1) x 2 ? 8k 2 ? x ? (8k 2 ? 2) ? 0 , 2
由△>0 得 0<k <
2

1 . 2

设 E(x1,y1),F(x2,y2)

? 8k 2 x ? x ? , 2 ? ? 1 2k 2 ? 1 则? ② 2 ? x x ? 8k ? 2 . 1 2 ? 2k 2 ? 1 ?
令? ?

S ?OBE x ?2 | BE | , 则? ? , 且0 ? ? ? 1. ,由此可得 BE ? ? ? BF , ? ? 1 S ?OBF | BF | x2 ? 2
?4 , 2k 2 ? 1

由②知 ( x1 ? 2) ? ( x 2 ? 2) ?

(x1 ? 2) ? ( x 2 ? 2) ? x1 x 2 ? 2( x1 ? x 2 ) ? 4 ?

2 2k ? 1
2

.

? 2k 2 ? 1 4? 1 ? ? , 即k 2 ? ? .??????10分 2 2 8 2 (1 ? ? ) (1 ? ? ) 1 4? 1 1 ? 0 ? k 2 ? ,? 0 ? ? ? , 2 2 2 2 (1 ? ? )
解得3 ? 2 2 ? ? ? 3 ? 2 2 . 又 ? 0 ? ? ? 1,

?3 ? 2 2 ? ? ? 1.
∴△OBE 与△OBF 面积之比的取值范围是(3-2 2 ,1)


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