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数列的概念与简单表示法


数列的概念与简单表示法(一)
(一)

主要知识:

1.数列的概念 按照一定 顺序 排列着的一列数称为数列,数列中的每一个数叫做这个数列的项. 2.数列的一般形式 数列的一般形式可以写成 a1,a2,a3,…,an,…,简记为{an} ,其中 a1 称为数列{an} 的第 1 项(或称为 首项 ),a2 称为第 2 项,?, an 称为第 n 项. 3.数列的分类 (1)根据数列的项数可以将数列分为两类: 有穷数列:项数 有限 的数列; 无穷数列:项数 无限 的数列. (2)按照数列的每一项随序号变化的情况分类: 递增数列:从第 2 项起,每一项都 大于 它的前一项的数列; 递减数列:从第 2 项起,每一项都 小于 它的前一项的数列; 常数列:各项 相等 的数列; 摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的 数列.

数列的表示方法: ?1? 列举法; ? 2 ? 图象法;

? 3? 解析法(通项公式)数列的通项公式
如果数列{an}的第 n 项与序号 n 之间的关系可以用一个公式来表示, 那么这个公 式叫做这个数列的通项公式.

? 4 ? 递推法.数列的递推公式
如果已知数列{an}的首项(或前 n 项)及相邻两项间的关系可用一个公式来表示, 那么这个 公式叫做数列的递推公式

(n ? 1) ?S 3. an 与 Sn 的关系: Sn ? a1 ? a2 ??an ? an ? ? 1 . ? Sn ? Sn?1 (n ? 2)

(二)主要方法:
数列通项公式的求法: ?1? 观察分析法; ? 2 ? 公式法: an ? ?

? 3? 转化成等差、等比数列; ? 4 ? 累加、累乘法
(三)典例分析:
一、根据数列的前几项写出数列的一个通项公式

; ? 5 ? 递推法。

? S1 ? n ? 1? ? ? S n ? S n ?1 ? n ? 2 ? ?

例 1 根据数列的前几项,写出下列各数列的一个通项公式. (1)-1,7,-13,19,? (2)0.8,0.88,0.888,? 1 1 5 13 29 61 (3) , ,- , ,- , ,? 2 4 8 16 32 64 3 7 9 (4) ,1, , ,? 2 10 17 (5)0,1,0,1,? + 解 (1)符号问题可通过(-1)n 或(-1)n 1 表示, 其各项的绝对值的排列规律为: 后面的数 的绝对值总比前面数的绝对值大 6, 故通项公式为 an=(-1)n(6n-5) (n∈N*). 8 8 8 (2)数列变形为 (1-0.1), (1-0.01), (1-0.001),…, 9 9 9 1 ? 8? ∴an= ?1-10n? (n∈N*). 9 (3)各项的分母分别为 21,22,23,24,…易看出第 2,3,4 项的分子分别比分母少 3.因此把第 1 2-3 21-3 22-3 23-3 24-3 项变为- ,因此原数列可化为- 1 , 2 ,- 3 , 4 ,…, 2 2 2 2 2 2n-3 ∴an=(-1)n· n (n∈N*). 2 3 5 7 9 (4)将数列统一为 , , , ,?对于分子 3,5,7,9,?,是序号的 2 倍加 1,可得分子 2 5 10 17 的通项公式为 bn=2n+1,对于分母 2,5,10,17,?联想到数列 1,4,9,16?即数列{n2},可 得分母的通项公式为 cn=n2+1, 2n+1 ∴可得它的一个通项公式为 an= 2 (n∈N*). n +1
?0 ? (5)an=? ? ?1

1+(-1)n 1+cos nπ 或 an= (n∈N*)或 an= (n∈N*). 2 2 (n为偶数) (n为奇数)

总结 解决本类问题的关键是观察、归纳各项与对应的项数之间的联系.同 时,要善于利用我们熟知的一些基本数列,通过合理的联想、转化而达到问 题的解决. 变式训练 1 写出下面数列的一个通项公式. 1 1 1 1 (1)22,44,68,816,?; (2)10,11,10,11,10,11,?; 8 15 24 (3)-1,5,- 7 , 9 ,?. 解 (1)这是个混合数列, 1 1 1 1 可看成 2+2,4+4,6+8,8+16,?. 1 故通项公式 an=2n+2n (n∈N*). (2)该数列中各项每两个元素重复一遍, 可以利用这个周期性求 an.原数列可变 形为: 10+0,10+1,10+0,10+1,?.

1+(-1)n 故其一个通项为:an=10+ , 2 ?10,n为奇数 或 an=? . ?11,n为偶数 3 (3)通项符号为(-1)n,如果把第一项-1 看作-3,则分母为 3,5,7,9,?,分 母通项为 2n+1;分子为 3,8,15,24,?,分子通项为(n+1)2-1 即 n(n+2), n2+2n 所以原数列通项为:an=(-1)n (n∈N*). 2n+1
根据下面各数列的前几项值,写出数列的一个通项公式:

?1?

2 4 6 8 10 , , , , ,…; 3 15 35 63 99
1 1 1

? 2 ? ?1 , 3 , ? 35 , 63 , ? 99 ,…;

1

9

17

33

? 3? 1 ,0 ,? 3 ,0 , 5 ,0 ,? 7 ,0 ,…;? 4 ? 5 ,0 ,?5 ,0 ,5 ,0 ,?5 ,0 ,…; ? 5?
3 , 5 , 9 , 17 , 33 ,…;

二、根据递推公式写出数列的前几项 ?a1=1, ? 例 2 设数列{an}满足? 写出这个数列的前 5 项. 1 * ?an=1+an-1(n>1,n∈N ). ? 解 由题意可知 a1=1, 1 1 a2=1+a =1+1=2, 1 1 1 3 a3=1+a =1+2=2, 2 1 2 5 a4=1+a =1+3=3, 3 1 3 8 a5=1+a =1+5=5. 4 总结 由递推公式可以确定数列,它也是给出数列的一种常用方法 变式训练 2 在数列{an}中,已知 a1=2,a2=3,an+2=3an+1-2an(n≥1),写 出此数列的前 6 项. 解 a1=2,a2=3, a3=3a2-2a1=3×3-2×2=5, a4=3a3-2a2=3×5-2×3=9, a5=3a4-2a3=3×9-2×5=17,

a6=3a5-2a4=3×17-2×9=33. 三、数列通项公式的应用 ?9n2-9n+2? ? ? ?; 例 3 已知数列? 9n2-1 ? ? ? ? (1)求这个数列的第 10 项; 98 (2) 是不是该数列中的项,为什么? 101 (3)求证:数列中的各项都在区间(0,1)内; ?1 2? (4)在区间?3,3?内有、无数列中的项?若有,有几项?若没有,说明理由. ? ? 9n2-9n+2 (3n-1)(3n-2) 3n-2 = = . 9n2-1 (3n-1)(3n+1) 3n+1 28 令 n=10,得第 10 项 a10=f(10)=31. 3n-2 98 (2)解 令 = ,得 9n=300. 3n+1 101 98 此方程无自然数解,所以 不是该数列中的项. 101 3n-2 3n+1-3 3 (3)证明 ∵an= = =1- , 3n+1 3n+1 3n+1 3 又 n∈N*,∴0< <1,∴0<an<1. 3n+1 ∴数列中的各项都在区间(0,1)内. (1)解 设 f(n)= ?3n+1<9n-6 3n-2 2 1 令 <an= < ,则? 3 3n+1 3 ?9n-6<6n+2

(4)解

?n>7 ? 6 ,即? 8 ?n<3 ?

7 8 .∴ <n< . 6 3

?1 2? 又∵n∈N*, ∴当且仅当 n=2 时, 上式成立, 故区间?3,3?上有数列中的项, ? ? 4 且只有一项为 a2= . 7 总结 判断某数是否为数列中的项,只需将它代入通项公式中求 n 的值,若 存在正整数 n,则说明该数是数列中的项,否则就不是该数列的项. 变式训练 3 已知数列{an}的通项公式 an= (-1)n(n+1) . (2n-1)(2n+1) (1)写出它的第 10 项;

2 (2)判断 是不是该数列中的项. 33

(-1)10×11 11 解 (1)a10= =399. 19×21 n+1 2 (2)令 =33, (2n-1)(2n+1) 化简得:8n2-33n-35=0, 2 2 解得 n=5.当 n=5 时,a5=-33≠33. 2 ∴33不是该数列中的项.
小结
1.与集合中元素的性质相比较,数列中的项也有三个性质: (1)确定性:一个数在不在数列中,即一个数是不是数列中的项是确定的. (2)可重复性:数列中的数可以重复. (3)有序性:一个数列不仅与构成数列的“数”有关,而且与这些数的排列次序 也有关. 2.并非所有的数列都能写出它的通项公式.例如,π 的不同近似值,依据精确的程度可 形成一个数列 3,3.1,3.14,3.141,?,它没有通项公式. 3.如果一个数列有通项公式,则它的通项公式可以有多种形式.例如:数列-1,1,-

1,1,-1,1,?的通项公式可写成 an=(-1)n,也可以写成 an= (-1)n+2, ?-1 (n=2k-1), 还可以写成 an=? 其中 k∈N*. 1 (n=2k), ? 例 4.根据下列各个数列 ?an ? 的首项和递推关系,求其通项公式: n ?1 ?1? a1 ? 0 , an?1 ? an ? ? 2n ?1? ? n ? N *? ; ? 2 ? a1 ? 1 , an ? n an?1 ? n≥ 2? ; 1 1 2a ? 3? a1 ? 1, an?1 ? n , ? n ? N *? ; ? 4 ? a1 ? ? 2 , an?1 ? 2 an ? 1 ? n ? N *? an ? 2

例 5.已知下面各数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,求 ?an ? 的通项公式:

?1? Sn ? 3n2 ? 2n ;

? 2 ? Sn ? 3n ? b

例 6. ?1? 求数列 ??2n 2 ? 9n ? 3? 中的最大项;
9 ? 2 ? 已知数列 ?an ? 的通项公式 an ? ? n ? 1? ? ? ? ,求 n 为何值时, an 取最大值. ? ? ? 10 ? a 例 7. f ( x) ? log2 x ? log x 4 ? 0 ? x ? 1? , 设 又知数列 ?an ? 的通项 an 满足 f (2 n ) ? 2n
n

? n ? N *? , ?1? 试求数列 ?an ? 的通项公式; ? 2 ? 判断数列 ?an ? 的增减性.

课时作业
一、选择题 1.数列 1,3,6,10,?的一个通项公式是 A.an=n2-n+1 n(n+1) C.an= 2 B.an= n(n-1) 2 ( )

D.an=n2+1 ) D.4n )

2.已知数列{an}中,an=2n+1,那么 a2n 为( A.2n+1 B.4n-1 C.4n+1

3.若数列的前 4 项为 1,0,1,0,则这个数列的通项公式不可能是 ( 1 1 A.an= [1+(-1)n-1] B.an= [1-cos(n· )] 180° 2 2 1 C.an=sin2(n· ) 90° D.an=(n-1)(n-2)+ [1+(-1)n-1] 2 解析 令 n=1,2,3,4 代入验证即可.

4.已知数列{an}的通项公式为 an=n2-n-50,则-8 是该数列的 ( ) A.第 5 项 B.第 6 项 C.第 7 项 D.非任何一项 解析 n2-n-50=-8,得 n=7 或 n=-6(舍去). 1 1 1 1 5.设 an= + + +?+ (n∈N*),那么 an+1-an 等于 2n n+1 n+2 n+3 ( ) 1 1 1 1 1 1 A. B. C. + D. - 2n+1 2n+2 2n+1 2n+2 2n+1 2n+2 1 1 1 1 解析 ∵an= + + +?+2n n+1 n+2 n+3 1 1 1 1 1 ∴an+1= + +?+2n+ + n+2 n+3 2n+1 2n+2 1 1 1 1 1 ∴an+1-an= + - = - . 2n+1 2n+2 n+1 2n+1 2n+2 二、填空题
6.用火柴棒按下图的方法搭三角形:

按图示的规律搭下去,则所用火柴棒数 an 与所搭三角形的个数 n 之间的关系式可以是 an=2n+1 7.传说古希腊毕达哥拉斯(Pythagoras,约公元前 570 年—公元前 500 年)学派的数学家 经常在沙滩上研究数学问题,他们在沙滩上画点或用小石子来表示数.比如,他们 将石子摆成如图所示的三角形状,就将其所对应石子个数称为三角形数,则第 10 个 三角形数是__55___

_解析 三角形数依次为:1,3,6,10,15,…,第 10 个三角形数为:1+2+3+4+… +10=55. ?a-b? a+b ? 8.数列 a,b,a,b,?的一个通项公式是__ an= +(-1)n+1? 2 ? 2 ?

解析
1

a+b a-b a+b a-b a+b a= 2 + 2 ,b= 2 - 2 ,故 an = 2 +(-1)n +

?a-b? ? ?. ? 2 ?

三、解答题
9.根据下列 5 个图形及相应点的个数的变化规律,试猜测第 n 个图中有多少个点.

解 图(1)只有 1 个点,无分支;图(2)除中间 1 个点外,有两个分支,每个分支有 1 个 点;图(3)除中间 1 个点外,有三个分支,每个分支有 2 个点;图(4)除中间 1 个点外, 有四个分支,每个分支有 3 个点;?;猜测第 n 个图中除中间一个点外,有 n 个分支, 2 每个分支有(n-1)个点,故第 n 个图中点的个数为 1+n(n-1)=n -n+1. 10.数列{an}中,a1=1,对所有的 n≥2,都有 a1·2·3·…·an=n2. a a (1)求 a3+a5; 256 (2)探究 是否为此数列中的项; 225 (3)试比较 an 与 an+1 (n≥2)的大小. n2 解 由题意知:an= (n≥2). (n-1)2 9 25 61 (1)a3+a5= + = . 4 16 16 256 162 256 (2) = 2=a16,∴ 为数列中的项. 225 15 225

(n+1)2 n4-(n2-1)2 n2 (3)n≥2 时,an-an+1= = >0,∴an>an+1. 2- n2 (n-1) (n-1)2n2

(四)巩固练习:
1.在数列{ an }中, a1 = 1,当 (n ? N ? ) 时, an?1 ? an ? n ,则 a100 的值为( A 5050 B 5051 B 4950 C 4951 2. 已知数列 {an } 的前 n 项和 Sn ? n2 ? 9n ,第 k 项满足 5 ? ak ? 8 ,则 k ? )

A. 9

B. 8

C. 7

D. 6

3.已知数列{ an }是递增数列,且 (n ? N ? ) ,都有 an ? n2 ? ? n ,则实数 ? 的取值范围 是( ) B

7 A (? , ??) 2

(0, ??)

C

(?2, ??)

D

(?3, ??)

4. 在数列{ an }中, n ?1 ? a
A 1 B -1

1 2an 对所有的正整数 n 都成立, a7 ? , a5 等于 且 则 ( 2 2 ? an 2 2 C D 3 5



5. 在数列 ?an ? 中, a1 ? 3 , a2 ? 6 ,且 an?2 ? an?1 ? an ,则 a100 ? 6. 已知数列{ an }的前n项和为 Sn ,且 Sn ? 2(an ?1) ,则 a7 = 7. 已知数列{ an }对任意的 p, q ? N ? }满足 a p?q ? a p ? aq ,且 a2 ? ?6 ,那么 a10 ?

1 , a1 ? a2 ? ... ? an ? n2an ,则数列通项公式 an = 2 1 9.在数列 ?an ? 中, an ? ,且 Sn ? 9 ,则 n ? n ? n ?1 1 1 1 an ?1 (n ? 1) , 10.已知数列{ an }满足, a1 =1, an ? a1 ? a2 ? a3 ? ... ? (1)求. 已 2 3 n ?1 知数列{ an }的通项公式; (2)若 an ? 2010 ,求 n.
8.已知数列{ an }满足 a1 ? 11 已知数列 ?an ?的前 n 项和 Sn 满足 Sn ? 2an ? (?1) , n ? 1
n

?1? 写出数列 ?an ?的前三项 a1 , a2 , a3 ; ? 2 ? 求数列 ?an ?的通项公式; k 12 已知数列 ?an ?中 a1 ? 1 ,且 a2 k ? a2 k ?1 ? ? ?1? , a2k ?1 ? a2k ? 3k

其中 k ? 1, 2,3, ? (Ⅰ)求 a3 , a5 (Ⅱ)求 ?an ?的通项公式.

na (a, b, c ,都是正实数) ,数列 an 与 an ?1 的大小关系是( ) nb ? c A an ? an?1 B an ? an?1 C an ? an?1 D 不能确定 1 在数列{ an }中, a1 ? 2 , an ?1 ? an ? ln(1 ? ) ,则 an = ( ) n A 2 ? ln n B 2 ? n ln n C 2 ? (n ? 1) ln n D 1 ? n ? ln n 3. 已知数列{ an }满足 an?1 ? a1 ? an?1 (n ? 2) , a1 ? a, a2 ? b ,设 Sn ? a1 ? a2 ? ... ? an ,
4. 已知 an = 则下列结论正确的是( ) A a100 ? a ? b, S100 ? 50(a ? b) C B D

a100 ? ?b, S100 ? 50a

a100 ? a ? b, S100 ? 50a a100 ? ?a, S100 ? b ? a (n ? N * ) ,则 a20 ?
3 2

4. 已知数列 {an } 满足 a1 ? 0, an?1 ?
B. ? 3

an ? 3 3an ? 1

A. 0

C. 3

D.

5. 若数列 {an } 满足 a1 ? 1 , an ? 2 , an ? A. 1 B. 2 C.
1 2

an?1 (n ? 3) ,则 a17 等于 an?2

D. 2?987

(五)课后作业:
1. 已知数列 ?an ? ,满足 a1 ? 1 , an ? a1 ? 2a2 ? 3a3 ? … ?(n ?1)an?1 (n ? 2),则 ?an ? 的
通项 an ? ?

?1 ?

n ?1 n?2

2. 在数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , a2 ? 2 ,且 an?2 ? an ? 1 ? (?1) n (n ? N ? ) ,
则 S100 ?

5. 数列 ?an ? 中, a1 ? 1 , an ?

1 an ?1 ? 1 ( n ≥ 2 )求其通项公式. 2 ? 1? ? ? 2an ? 0 ? an ? 2 ? 6 ? ? ? 6. 数列 ?an ? 满足 an?1 ? ? ,若 a1 ? ,则 a2 ? 7 ? 2a ? 1? 1 ? a ? 1 ? n n ? ? ? ?2 ? ?

; a24 ?

7. 在数列 ?an ? 中,若 a1 ? 1 , an?1 ? 2an ? 3 ( n ≥ 1 ),则该数列的通项 an ?

8. 已知 an ? A. a12

n (n ? N * ) ,则数列 ?an ? 的最大项是 n ? 156 B. a13 C. a12 或 a13 D. 不存在
2

9. 已知数列 ?an ? 中,满足 an ?
别是( A a1 , a50 ) B a1 , a44 C

n ? 2004 ,则该数列前 100 项中的最大项和最小项分 n ? 2005
D

a45 , a44

a45 , a50

10. 已知函数 f ( x ) ?

Sn 为数列 ?an ? 的前 n 项和.

1? x , 设数列 ?an ? 满足: 1 ? a( a ? 0 且 a ? ?1 ) an?1 ? f (an ) , , a 1? x

?1? 若 a ? 2 ,求 a2 , a3 , a4 ; ? 2 ? 求证:数列 ?an ? 是周期数列; ? 3? 探究:是否存在满足1 ? a ? 4 的 a ,使 S2011 ? 2011 ?


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