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2012年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷)文科数学及答案


2012 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数 学(供文科考生使用) 如果事件 A, B 互斥,那么 P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ? 如果事件 A, B 相互独立,那么 P ? A ? B ? ? P ? A? ? P ? B ?
如果事件 A 在一次试验中发生的概率是 p ,那么在 n 次独立重复试验中事件 A 恰好发生 k 次的概率
k k P n ? k ? ? Cn p ?1 ? p ? n?k

? k ? 0,1, 2,???,n?

? x ? y ? ?3 ? x ? 2 y ? 12 ? 8.若变量 x, y 满足约束条件 ? ,则 z ? 3x ? 4 y 的最大值是( ) ?2 x ? y ? 12 ? ? x ? 0, y ? 0 A.12 B.26 C.28 D.33 9.已知抛物线关于 x 轴对称,它的顶点在坐标原点 O ,并且经过点 M ? 2, y0 ? .若点 M 到该抛物线焦

点的距离为 3,则 | OM |? (

)

4 球的表面积公式 S ? 4πR 2 , 其中 R 表示球的半径; 球的体积公式 V ? πR3 , 其中 R 表示球的半径 3 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合 题目要求的) 1.设集合 A ? ?a, b? , B ? ?b, c, d? ,则 A U B ? ( )
A. ?b?
7

B. ?b, c, d ?

C. ?a, c, d ?

D. ?a, b, c, d?

2. ?1 ? x ? 的展开式中 x2 的系数是( ) A.21 B.28 C.35 D.42 3.交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况,对甲,乙,丙,丁四个社区 做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为 N ,其中甲社区有驾驶员 96 人,若在甲,乙,丙,丁四 个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数 N 为( ) A.101 B.808 C.1212 D.2012 4.函数 y ? a x ? a ? a ? 0且a ? 1? 的图象可能是( )
y
1

A. 2 2 B. 2 3 C.4 D. 2 5 A B 10.如图,半径为 R 的半球 O 的底面圆 O 在平面 ? 内,过点 O 作平 面 ? 的垂线交半球面于点 A ,过圆 O 的直径 CD 作与平面 ? 成 45 ? D 角的平面与半球面相交 ,所得交线上到平面 ? 的距离最大的点为 P O B , 该交线上的一点 P 满足 ?BOP ? 60? , 则 A, P 两点间的球面距 C ? 离为( ) 2 3 πR πR A. R arccos B. C. R arccos D. 4 3 4 3 2 2 11.方程 ay ? b x ? c 中的 a, b, c ???2,0,1,2,3? ,且 a , b, c 互不相同,在所有这些方程所表示的曲线中, 不同的抛物线共有( A.28 条 ) B.32 条
3

C.36 条

D.48 条

12.设函数 f ? x ? ? ? x ? 3? ? x ? 1,?an ? 是公差不为 0 的等差数列, f ? a1 ? ? f ? a2 ? ? ??? ? f ? a7 ? ? 14, 则
a1 ? a2 ? ? ? ? ? a7 ? ( ) A.0 B.7 C.14 D.21 二、填空题(本大题共 4 小题,每小题 4 分,共 16 分) 1 13.函数 f ? x ? ? 的定义域是________(用区间表示) 1 ? 2x 14.如图,在正方体 ABCD ? A1 B1C1 D1 中, M , N 分别是棱 CD, CC1 的中点,则异面 直线 A1M 与 DN 所成的角的大小是________

y

y

y

D1 A1 B1

C1

1 1 1

1

1 1 1

N

O A

x

O B

x

O C

x

O D
D

x

D A

M B

C

5.如图,正方形 ABCD 的边长为 1,延长 BA 至 E ,使 AE ? 1 ,连结 EC , ED ,则 sin ?CED ? ( ) 3 10 10 5 5 A. B. C. D. 10 10 10 15 E 6.下列命题正确的是( ) A.若两条直线和同一个平面所成的角相等,则这两条直线平行 B.若一个平面内有三个点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行 C.若一条直线平行于两个相交平面,则这条直线与这两个平面的交线平行 D.若两个平面都垂直于第三个平面,则这两个平面平行. a b ? 7.设 a , b 都是非零向量,下列四个条件中,使 成立的充分条件是( ) |a| |b| A. | a |?| b | 且 a P b B. a ? ?b C. a P b D. a ? 2b

C

A

B

x2 y 2 ? ? 1 ( a 为定值,且 a ? 5 )的左焦点为 F ,直线 x ? m 与椭圆相交于点 A, B, ?FAB 的 a2 5 周长的最大值是 12,则该椭圆的离心率是________ 16.设 a , b 为正实数.现有下列命题: 1 1 ①若 a 2 ? b2 ? 1 ,则 a ? b ? 1 ;②若 ? ? 1 ,则 a ? b ? 1 ; b a ③若 | a ? b |? 1 ,则 | a ? b |? 1 ;④若 | a3 ? b3 |? 1 ,则 | a ? b |? 1 . 其中的真命题有________(写出所有真命题的编号) 三、解答题(本大题共 6 小题,共 74 分.解答题应写出文字说明,证明过程或演算步骤.) 17.(本小题 12 分)某居民小区有两个相互独立的安全防范系统(简称系统) A 和 B ,系统 A 和系统 B 1 在任意时刻发生故障的概率分别为 和 p . 10 49 (1)若在任意时刻至少有一个系统不发生故障的概率为 ,求 p 的值; 50 (2)求系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率.
15.椭圆

18.(本小题 12 分)已知函数 f ? x ? ? cos2

x x x 1 ? sin cos ? . 2 2 2 2 (1)求函数 f ? x ? 的最小正周期和值域;
(2)若 f ?? ? ?
3 2 ,求 sin 2? 的值. 10

21.(本小题 12 分)如图,动点 M 与两定点 A? ?1,0? , B ?1,0? 构成 ?MAB ,且直线 MA, MB 的斜率之积为 4,设动点 M 的轨迹为 C . (1)求轨迹 C 的方程; (2)设直线 y ? x ? m ? m ? 0? 与 y 轴相交于点 P ,与轨迹 C 相交于点 Q, R ,且 | PQ | ? | PR | ,求 的取值范围.
y M

| PR | | PQ |

A

O

B

x

19.(本小题 12 分)如图,在三棱锥 P ? ABC 中, ?APB ? 90?, ?PAB ? 60?, AB ? BC ? CA, 点 P 在平面 ABC 内的射影 O 在 AB 上. P (1)求直线 PC 与平面 ABC 所成的角的大小; C (2)求二面角 B ? AP ? C 的大小.
A

21.(本小题 14 分)已知 a 为正实数, n 为自然数,抛物线 y ? ? x2 ?
O B

f ? n ? 为该抛物线在点 A 处的切线在 y 轴上的截距.

an 与 x 轴正半轴相交于点 A .设 2

(1)用 a 和 n 表示; (2)求对所有 n 都有

f ?n? ? 1

f ?n? ? 1

?

n 成立的 a 的最小值; n ?1

(3) 当 0 ? a ? 1 时 , 比较 小,并说明理由. 20.(本小题 12 分)已知数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,常数 ? ? 0 ,且 ? a1an ? S1 ? Sn 对一切正整数 n 都成 立. (1)求数列 ?an ? 的通项公式; (2)设 a1 ? 0, ? ? 100 ,当 n 为何值时,数列 {lg
1 } 的前 n 项和最大? an

f ?1? ? f ? n ? 1? 1 1 1 ? ? ???? 与 6? 的大 f ?1? ? f ? 2? f ? 2? ? f ? 4? f? n f ? 0 ? ? f ?1? ? ? f? 2 n ?

2012 年普通高等学校招生全国统一考试(四川卷) 数 学(供文科考生使用)答案
1、D[解析]集合 A 中包含 a,b 两个元素,集合 B 中包含 b,c,d 三个元素,共有 a,b,c,d 四个元素, 所以 A ? B ? {a、b、c、d } [点评]本题旨在考查集合的并集运算,集合问题属于高中数学入门知识,考试时出题难度不大,重 点是掌握好课本的基础知识. 2、A[解析]二项式 (1 ? x) 展开式的通项公式为 Tk ?1 = C x ,令 k=2,则 T3 ? C x
7

[点评]解决线性规划题目的常规步骤: 一列(列出约束条件) 、二画(画出可行域) 、三作(作目标函数变形式的平行线) 、四求(最优解). 9、B[解析]设抛物线方程为 y2=2px(p>0),则焦点坐标为(

p p ,0 ) ,准线方程为 x= ? , 2 2

? M在抛物线上, ? M到焦点的距离等于到准 线的距离,即 p 2 p 2 2 ? (2 - ) ? y0 ? (2 ? ) ?3 2 2 解得:p ? 1, y 0 ? 2 2 ? 点M(2,2 2),根据两点距离公式 有: ?| OM |? 2 2 ? (2 2 ) 2 ? 2 3
[点评]本题旨在考查抛物线的定义: |MF|=d,(M 为抛物线上任意一点,F 为抛物线的焦点,d 为点 M 到准线的距离). 10、A [解析]以 O 为原点,分别以 OB、OC、OA 所在直线为 x、 A y、z 轴,则

k 7

k

2、 2 7

2 ? x 2的系数为C7 ? 21

[点评]高考二项展开式问题题型难度不大,要得到这部分分值,首先需要熟练掌握二项展开式的通 项公式,其次需要强化考生的计算能力. 3、B[解析]N= 96 ? 21 ?

96 96 96 ? 25 ? ? 43 ? ? 808 12 12 12

[点评]解决分层抽样问题,关键是求出抽样比,此类问题难点要注意是否需要剔除个体. 4、C[解析]采用特殊值验证法. 函数 y ? a x ? a(a ? 0, a ? 1) 恒过(1,0) ,只有 C 选项符合. [点评]函数大致图像问题,解决方法多样,其中特殊值验证、排除法比较常用,且简单易用. 5、[答案]B

[解析]? AE ? 1,正方形的边长也为 1? ED ?
2 EC ? ( EA ? AB) ? CB ? 5 2

AE ? AD ? 2

2

2

CD ? 1 ? cos?CED ? ED ? EC - CD 2 ED ? EC
2 2 2

AO ? PO 2 ? COS?AOP ? ? 2 R 4 2 2 1 3 A( R,0, R), P( R, R,0) 2 2 2 2

B

D P α C O

?

3 10 10

? ?AOP ? arccos

2 4

? 2 ? AP ? R ? arccos 4
a c y ? 2 ,若表示抛物线,则 a ? 0, b ? 0 2 b b

sin ?CED ? 1 ? cos2 ?CED ?

[点评]注意恒等式 sin2α+cos2α=1 的使用,需要用 α 的的范围决定其正余弦值的正负情况. 6、C[解析]若两条直线和同一平面所成角相等,这两条直线可能平行,也可能为异面直线,也可能 相交,所以 A 错;一个平面不在同一条直线的三点到另一个平面的距离相等,则这两个平面平行, 故 B 错;若两个平面垂直同一个平面两平面可以平行,也可以垂直;故 D 错;故选项 C 正确. [点评]本题旨在考查立体几何的线、面位置关系及线面的判定和性质,需要熟练掌握课本基础知识 的定义、定理及公式.

10 10

[点评]本题综合性较强,考查知识点较为全面,题设很自然的把向量、立体几何、三角函数等基础 知识结合到了一起.是一道知识点考查较为全面的好题.要做好本题需要有扎实的数学基本功. 11、B[解析]方程 ay ? b2 x2 ? c 变形得 x ?
2

所以,分 b=-2,1,2,3 四种情况:

?a ? 1, c ? 0, 或2, 或3 ? (1)若 b=-2, ?a ? 2, c ? 0, 或1, 或3 ; (2)若 b=2, ?a ? 3,c ? 0, 或1, 或2 ?

?a ? ?2, c ? 0, 或1, 或3 ? ?a ? 1, c ? ?2, 或0, 或3 ?a ? 3,c ? ?2, 或0, 或1 ?

a b 7、D[解析]若使 成立,则 a与b方向相同, 选项中只有 D 能保证,故选 D. ? |a| |b| [点评]本题考查的是向量相等条件 ? 模相等且方向相同.学习向量知识时需注意易考易错零向量,
其模为 0 且方向任意.

以上两种情况下有 4 条重复,故共有 9+5=14 条;同理 若 b=1,共有 9 条; 若 b=3 时,共有 9 条. 综上,共有 14+9+9=32 种 [点评]此题难度很大,若采用排列组合公式计算,很容易忽视重复的 4 条抛物线. 列举法是解决排 列、组合、概率等非常有效的办法.要能熟练运用. 12、D[解析]∵ {an } 是公差不为 0 的等差数列,且 f (a1 ) ? f (a2 ) ???? ? f (a7 ) ? 14

3 z 3 x ? ,做函数 y ? ? x 的平行线, 4 4 4 当其经过点 B(4,4)时截距最大时,即 z 有最大值为 z ? 3x ? 4 y = 3 ? 4 ? 4 ? 4 ? 28 .
8、C[解析]目标函数 z ? 3x ? 4 y 可以变形为 y ? ?

∴[(a1 ? 3) 3 ? a1 ? 1] ? [(a2 ? 3) 3 ? a2 ? 1] ? ? ? [(a7 ? 3) 3 ? a7 ? 1] ? 14 ∴(a1 ? a2 ? ?a7 ) ? 7 ? 14 ∴a1 ? a2 ? ?a7 ? 21
[点评]本小题考查的知识点较为综合,既考查了高次函数的性质又考查了等差数列性质的应用,解

决此类问题必须要敢于尝试,并需要认真观察其特点.

第二部分

(非选择题 共 90 分)
1 2 1 2

?

二、13、[答案]( - ?, ) [解析]由分母部分的 1-2x>0,得到 x∈ ( - ?, ).

? 2 ,2 ? 2 ? , ? 。………6 分 所以 f(x)的最小正周期为 2 ? ,值域为 ? ? c o( s x? ) 2 2 ? 2 4 ? ?

? 3 2 ? 3 2 。 cos(? ? ) ? ,所以 cos( ? ? ? ) 4 5 2 4 10 [点评]定义域问题属于低档题,只要保证式子有意义即可,相对容易得分.常见考点有:分母不为 0; ? ? ? 18 7 2 偶次根下的式子大于等于 0;对数函数真数大于 0;0 的 0 次方没有意义. ? ?cos ( 2 ?? ) ? 1 ? 2cos( ?? ) ? 1? ? 所以 sin 2? ? ?cos ( ? 2?) ,………12 分 D1 C1 2 4 4 25 25
(2)由(1)知,f( ? )= 14、[答案]90? [解析]方法一:连接 D1M,易得 DN⊥ A1D1 ,DN⊥ D1M, 所以,DN⊥ 平面 A1MD1, 又 A1M ? 平面 A1MD1,所以,DN⊥ A1D1,故夹角为 90? 方法二:以 D 为原点,分别以 DA, DC, DD1 为 x, y, z 轴,建立空间直角坐 标系 D—xyz.设正方体边长为 2,则 D(0,0,0) ,N(0,2,1) ,M(0,1,0) A1(2,0,2)故, DN ? ( 0,2,1 ), MA1 ? (2, ? 1,2)
A A1 D B1 N C B

[点评]本小题主要考查三角函数的性质、两角和的正(余)弦公式、二倍角公式等基础知识,考查运算 能力,考查化归与转化等数学思想. 19、[解析](1)连接 OC. 由已知, ?OCP为直线PC与平面ABC 所成的角 设 AB 的中点为 D, 连接 PD、 CD.因为 AB=BC=CA,所以 CD ? AB. 因为 ?APB ? 90?,?PAB ? 60?,所以?PAD为等边三角形, 不妨设 PA=2,则 OD=1,OP= 3 , AB=4. 所以 CD=2 3 ,OC= OD2 ? CD 2 ? 1 ? 12 ? 13 . Rt ?OCP中, tan ?OPC ?

M

P C

DN ? MA1 所以,cos< ? DN, = 0,故 DN⊥ D1M,所以夹角为 90? MA1 ? ? | DN || MA1 |
[点评]异面直线夹角问题通常可以采用两种途径: 第一,把两条异面直线平移到同一平面中借助三 角形处理; 第二,建立空间直角坐标系,利用向量夹角公式解决. 15、[答案]

2 c 2 2 2 [解析]根据椭圆定义知:4a=12, 得 a=3 , 又? a ? c ? 5 ? c ? 2,? e ? ? 3 a 3
[解析]若 a,b 都小于 1,则 a-b<1,若 a,b 中至少有一个大于等于 1, 则 a+b>1,

(2)过 D 作 DE ? AP 于 E,连接 CE.由已知可得,CD ? 平面 PAB.据三垂线定理可知,CE⊥ PA, 所以, ?CED为二面角B — AP — C的平面角. 由(1)知,DE= 3 ,在 Rt△ CDE 中,tan ?CED ? 故 二面角B — AP — C的大小为arctan2

OP 3 39 .…………6 分 ? ? OC 13 13

A

B

[点评]本题考查对椭圆概念的掌握程度.突出展现高考前的复习要回归课本的新课标理念. 16、[答案] ① ④ 由 a2-b2=(a+b)(a-b)=1 ,所以,a-b<1 故① 正确. 对于|a3-b3|=|(a-b)(a2+ab+b2)|=1,若 a,b 中至少又一个大于等于 1,则 a2+ab+b2>1,则|a-b|<1 若 a,b 都小于 1,则|a-b|<1,所以④ 正确.综上,真命题有 ①④. [点评]此类问题考查难度较大,要求对四个备选项都要有正确的认识,需要考生具备扎实的数学基 础,平时应多加强这类题的限时性练习. 三、17(1)设:“至少有一个系统不发生故障”为事件 C,那 1-P(C)=1-

CD 2 3 ? ?2 DE 3

…………………………………12 分

[点评]本题旨在考查线面位置关系和二面角的基础概念,重点考查思维能力和空间想象能力,进一 步深化对二面角的平面角的求解.求解二面角平面角的常规步骤:一找(寻找现成的二面角的平面 角) 、二作(若没有找到现成的,需要引出辅助线作出二面角的平面角) 、三求(有了二面角的平面 角后,在三角形中求出该角相应的三角函数值). 20、[解析]取 n=1,得 ?a 1 ? 2s1 ? 2a1 , a1 (?a1 ? 2) ? 0 若 a1=0,则 s1=0, 当 n ? 2时,a n ? sn ? sn?1 ? 0, 所以a n ? 0 若 a1 ? 0,则 a1 ?

49 1 P= 10 50

,解得 P=

1 5

(2)设“系统 A 在 3 次相互独立的检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数”为事件 D, 那么 P(D)= C3
2

2

1 1 1 972 243 ? (1 ? ) 2 ? (1 ? ) 3 ? ? 10 10 10 1000 250

?

,

2a n ? 当 n ? 2时,

2

?
2n

? s n , 2a n ?1 ?

2

?

? s n ?1 ,

上述两个式子相减得:an=2an-1,所以数列{an}是等比数列 综上,若 a1 = 0,

243 答:检测中不发生故障的次数大于发生故障的次数的概率为 . ………………12 分. 250
[点评]本小题主要考查相互独立事件,独立重复试验、互斥事件等概念及相关计算,考查运用概率 知识与方法解决实际问题的能力. 18、 (1)由已知,f(x)= cos
2

则a n ? 0 若 a1 ? 0,则a n ?

?

…………………7 分

(2)当 a1>0,且 ? ? 100 时,令bn ? lg

1 , 所以,bn ? 2 ? n lg 2 an
100 100 ? lg ? lg1 ? 0 6 64 2

x x x 1 1 1 1 ? sin cos ? ? ( 1 ? cosx ) ? sinx ? 2 2 2 2 2 2 2

所以,{bn}单调递减的等差数列(公差为-lg2) ,则 b1>b2>b3>…>b6= lg

当 n≥7 时,bn≤b7= lg

100 100 1 ? lg ? lg1 ? 0 故数列{lg }的前 6 项的和最大. ……12 分 7 128 2 an ,

则抛物线在点 A 切线方程为: y ? ? 2 (2)由(1)知 f(n)=

a (x ?

n

a

n

2

), 即y ? ? 2 a x ? a .则f (n) ? a

n

n

n

…4 分
n

[点评]本小题主要从三个层面对考生进行了考查. 第一,知识层面:考查等差数列、等比数列、对 数等基础知识;第二,能力层面:考查思维、运算、分析问题和解决问题的能力;第三,数学思想: 考查方程、分类与整合、化归与转化等数学思想. 21、[解析](1)设 M 的坐标为(x,y) ,当 x=-1 时,直线 MA 的 斜率不存在;当 x=1 时,直线 MB 的斜率不存在。 于是 x≠1 且 x≠-1.此时, MA 的斜率为 由题意,有

a

n

f ( n) ? 1 n ? 2n ? 1 n ,则 ? 成立的充要条件是a ? 2n ? 1 即知,a f ( n) ? 1 n ? 1 ,
n n n

y

对于所有的 n 成立,特别地,当 n=1 时,得到 a≥3,

M

(3)当 a=3,n≥1 时,

y y , MB 的斜率为 . X ?1 x ?1

y y · =4 化简可得,4x2-y2-4=0 X ?1 x ?1
2 2

A

O B

x

当 n=0 时, 所以满足条件的 a 的最小值为 3. ………………………………………………8 分 (4)由(1)知 f(k)= a 下面证明:
k

a

n

f ( n) ? 1 n ? =2n+1.故 a=3 时 f ( n) ? 1 n ? 1 对所有自然数 n 均成立.

a ? 3 ? (1? 2)

? 1 ? C n .2 ? ? ? 2n ? 1

1

故动点 M 的轨迹 C 的方程为 4x -y -4=0(x≠1 且 x≠-1)……4 分

?y ? x ? m (2)由 ? 2 消去 y,可得 3x2-2mx-m2-4=0. (﹡) 2 ?4 x ? y ? 4 ? 0

对于方程(﹡),其判别式 ? =(-2m)2-4× 3(-m2-4)=16m2+48>0,而当 1 或-1 为方程(*)的 根时,m 的值为-1 或 1.结合题设(m>0)可知,m>0,且 m≠1 设 Q、R 的坐标分别为(XQ,YQ),(XR,YR),则为方程(*)的两根. 因为 PQ ? PR ,所以

X

Q

?

X
2

R



XQ?

m?2

m
3

2

?3

,XP?

m?2

m
3

2

?3

PR 所以 ? PQ

X X

2 1?
P R

3

?

m

?1 ? 1? 2 1?

2 3

3 2 1? 2 ?1 m

。此时 1 ?
2

3

m

?1

m

2

? 1, 且 1 ?

3

m

2

?2

所以 1 ? 1 ?

2 2 1? 3
2

? 3, 且1 ? ?1 2 1?
R P

2 3
2

? ?1

5 3

1 1 1 f (1) ? f (n ? 1) ? ? ?? ? 6. f (1) ? f (2) f (2) ? f (4) f ( n ) ? f ( 2n ) f (0) ? f (1) 1 首先证明 0<x<1 时, ? 6x 2 x?x 2 设函数 g(x)=6x(x2-x)+1,0<x<1, 则 g ' ( x) ? 18 x( x ? ) . 3 2 2 当 0 ? x ? 时,g'(x)<0; 当 ? x ? 1时, g ' ( x) ? 0 3 3 2 1 故 g(x)在区间(0,1)上的最小值 g ( x) ? g ( ) ? ? 0 min 3 9 1 所以,当 0<x<1 时,g(x)>0,即得 ? 6x 2 x?x 1 k * ? 6a k , 从而 由 0<a<1 知 0 ? a ? 1(k ? N ),因此 k 2k a ?a

所以 1 ?

PR PQ

?

m m X ? 3, 且 PR ? X ? 5 PQ X X 3
R P

综上所述,

5 5 的取值范围是( 1,) ? ( , 3) …………………………12 分 PQ 3 3

PR

1 1 1 ? ??? f (1) ? f (2) f (2) ? f (4) f ( n) ? f ( 2n) 1 1 1 ? ? 2 ?? n 2 4 a?a a ?a a ? a 2n n ?1 a?a f (1) ? f (n ? 1) 2 n ? 6( a ? a ? ? ? a ) ? 6 ? ? 6? ??????14分 1? n f (0) ? f (1)

[点评]本小题主要考察直线、双曲线、轨迹方程的求法等基础知识,考察思维能力、运算能力,考 察函数、分类与整合等思想,并考察思维的严谨性。

[点评]本小题属于高档题,难度较大,需要考生具备扎实的数学基础和解决数学问题的能力.主要考 查了导数的应用、不等式、数列等基础知识;考查了思维能力、运算能力、分析问题与解决问题的 能力和创新意识能力;且又深层次的考查了函数、转换与化归、特殊与一般等数学思维方法。

? ? 22、[解析](1)由已知得,交点 A 的坐标为 ? ? ?

a

? 1 n 2 ,0 ? ,对 y ? ? x ? a 求导得 ? 2 2 ? ?
n

y ? ?2 x

'


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