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2012年上海静安区数学一模试卷附答案


上海市部分学校九年级数学抽样测试试卷
(测试时间:100 分钟,满分:150 分)

2012.1.5

考生注意: 1.本试卷含三个大题,共 25 题.答题时,考生务必按答题要求在答题纸规定的位置上作答,在草稿纸、 本试卷上答题一律无效. 2.除第一、二大题外,其余各题如无特别说明,都必须在答题纸的相应位置上写出证明或计算的主要步 骤. 3.本次测试可使用科学计算器. 一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1.下列函数中,属于二次函数的是 (A) y ? 2 x ? 3 ; (C) y ? 2 x 2 ? 7 x ; (B) y ? ( x ? 1) 2 ? x 2 ; (D) y ? ?

2 . x2

2.抛物线 y ? ? x 2 ? 2 x ? 4 一定经过点 (A) (2,-4) ; (B) (1,2) ; (C) (-4,0) ; (D) (3,2) . 3.已知在 Rt△ABC 中,∠C=90°,∠A= ? ,AC=3,那么 AB 的长为 (A) 3 sin ? ; (B) 3 cos ? ; (C)

3 ; sin ? 8 ; 15

(D)

3 . cos ? 15 . 8

4.在平面直角坐标系 xOy 中有一点 P(8,15) ,那么 OP 与 x 轴正半轴所夹的角的正弦值等于 (A)

8 ; 17

(B)

15 ; 17

(C)

(D)

5.如果△ABC∽△DEF,且△ABC 的三边长分别为 3、5、6,△DEF 的最短边长为 9,那么△DEF 的周长 等于 (A)14; (B)

126 ; 5

(C)21;

(D)42.

6.下列五幅图均是由边长为 1 的 16 个小正方形组成的正方形网格,网格中的三角形的顶点都在小正方形 的顶点上,那么在下列右边四幅图中的三角形,与左图中的△ABC 相似的个数有 B A C (A)1个; (B)2个; (C)3个; (D)4个.

二、填空题: (本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 7.如果

x 5 3x ? y = ? ,那么 x? y y 3





8.已知在△ABC 中,点 D、E 分别在边 AB、AC 上,DE//BC,

AD 3 AE 的值等于 ? ,那么 AB 5 CE
▲ cm.





9.已知 P 是线段 AB 的一个黄金分割点,且 AB=20cm,AP>BP,那么 AP=

10.如果抛物线 y ? (4 ? k ) x 2 ? k 的开口向下,那么 k 的取值范围是 11.二次函数 y ? x 2 ? 6x ? m 图像上的最低点的横坐标为 ▲ .





12.一个边长为 2 厘米的正方形,如果它的边长增加 x 厘米,面积随之增加 y 平方厘米,那么 y 关于 x 的 函数解析式是 ▲ . A 13.如图,已知在△ABC 中,AB=3,AC=2,D 是边 AB 上的一点, ∠BAC 的平分线 AQ 与 CD、 BC 分别相交于点 P 和点 Q, 那么 ▲ . ▲ ∠ ACD= ∠ B , D B 度. ▲ . ▲ . . Q
(第 13 题图)

AP 的 AQ

P C







14.已知在△ABC 中,AB=AC=5cm,BC= 5 3 ,那么∠A=

15.已知在△ABC 中,∠C=90°,BC=8,AB=10,点 G 为重心,那么 tan ?GCB 的值为 16.向量 a 与单位向量 e 的方向相反,且长度为 5,那么用向量 e 表示向量 a 为 ▲

17.如果从灯塔 A 处观察到船 B 在它的北偏东 35°方向上,那么从船 B 观察灯塔 A 的方向是

18.将等腰△ABC 绕着底边 BC 的中点 M 旋转 30°后,如果点 B 恰好落在原△ABC 的边 AB 上,那么∠A 的余切值等于 ▲ . 三、解答题: (本大题共 7 题,满分 78 分) 19. (本题满分 10 分,其中第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分) 已知抛物线 y ? x 2 ? mx ? 3 的对称轴为 x=-2. (1)求 m 的值; (2)如果将此抛物线向右平移 5 个单位后,求所得抛物线与 y 轴的交点坐标. 20. (本题满分 10 分,其中第(1)小题 6 分,第(2)小题 4 分) 如图,已知在△ABC 中,点 D 在边 AC 上,CD∶AD=1∶2, BA ? a , BC ? b . (1)试用向量 a , b 表示向量 BD ; (2)求作: 量) A 表示结论的向 C
(第 20 题图)

1 (不要求写作法,但要指出所作图中 b?a. 2
B A

D

21. (本题满分 10 分,其中每小题各 5 分) 已知:如图,在△ABC 中,AB=6,BC=8,∠B=60°. 求: (1)△ABC 的面积; (2)∠C 的余弦值. B

C
(第 21 题图)

22. (本题满分 10 分)

已知:如图,矩形 DEFG 的一边 DE 在△ABC 的边 BC 上,顶点 G、F 分别在边 AB、AC 上,AH 是边 BC 上的高,AH 与 GF 相交于点 K,已知 BC=12,AH=6,EF∶GF=1∶2,求矩形 DEFG 的周长. A K

G

F

B

D

H E

C

23. (本题满分 12 分,其中第(1)小题 5 分,第(2)小 题 7 分) 已知:如图,斜坡AP的坡度为1∶2.4,坡长AP为26米,在坡顶A处的同一水平面上有一座古塔BC,在 斜坡底P处测得该塔的塔顶B的仰角为45° ,在坡顶A处测得该塔的塔顶B的仰角为76° . 求: (1)坡顶A到地面PQ的距离; B (2)古塔BC的高度(结果精确到1米) . (参考数据:sin76°≈0.97,cos76°≈0.24,tan76°≈4.01)

(第 22 题图)

A P
(第 23 题图)

C Q

24. (本题满分 12 分,其中第(1)小题 5 分,第(2)小题 7 分) 已知:如图,在△ ABC 中,AD 是边 BC 上的中线,点 E 在线段 BD 上,且 BE=ED,过点 B 作 BF∥AC, 交线段 AE 的延长线于点 F. A (1)求证:AC=3BF; (2) 如果 AE ? 3ED , 求证:AD ? AE ? AC ? BE . B C

E F

D

(第 24 题图)

25. (本题满分 14 分,其中第(1) 、 (2)小题各 4 分,第(3)小题 6 分) 已知:如图,在平面直角坐标系 xOy 中,二次函数 y ? ? x 2 ? bx ? c 的图像经过点 A(-1,1)和点 B (2,2) ,该函数图像的对称轴与直线 OA、OB 分别交于点 C 和点 D. (1)求这个二次函数的解析式和它的对称轴; y (2)求证:∠ABO=∠CBO; (3)如果点 P 在直线 AB 上,且△POB 与△BCD 的坐标. A 1 -1 O -1 1

1 3

相似,求点 P B

x

(第 25 题图)

上海市部分学校九年级数学抽样测试参考答案及评分说明
一、选择题: (本大题共 6 题,每题 4 分,满分 24 分) 1.C; 2.A; 3.D; 4.B; 5.D; 6.B. 二、填空题: (本大题共 12 题,每题 4 分,满分 48 分) 7.9; 8. 14.120;

3 ; 9. 10 5 ? 10 ; 10.k<-4; 11.-3;12. y ? x 2 ? 4 x ; 2 3 15. ; 16. ? 5e ; 17.南偏西 35°; 18. 3 . 4

13.

2 ; 3

三、解答题: (本大题共 7 题,满分 78 分) 19.解: (1)由题意,得 ?

m ? ?2 .……………………………………………………(2 分) 2

∴m=4.…………………………………………………………………………(2 分)

(2)此抛物线的表达式为 y ? x 2 ? 4x ? 3 ? ( x ? 2) 2 ? 1 .……………………(2 分) ∵向右平移 5 个单位后,所得抛物线的表达式为 y ? ( x ? 3) 2 ? 1 , 即 y ? x 2 ? 6 x ? 8 .………………………………………………………………(2 分) ∴它与 y 轴的交点坐标为(0,8) .……………………………………………(2 分) 20.解: (1)∵CD∶AD=1∶2, A 1 1 ∴ CD ? CA ,得 CD ? CA .…………(2 分)

3

3

∵ CA ? BA ? BC ? a ? b . ………………(2 分) ∴ CD ? (a ? b) ? a ? b ………………(1 分)

D

1 B C M 3 1 1 2 ∴ BD ? BC ? CD ? b ? (a ? b) ? a ? b .…………………………(1 分) 3 3 3 1 (2) AM ? b ? a .……………………………………(画图正确 3 分,结论 1 分) 2
21.解: (1)作 AH⊥BC,垂足为点 H. 在 Rt△ABH 中, ∵∠AHB=90°,∠B=60°,AB=6,∴BH=3, AH ? 3 3 .………(2 分,2 分) ∴S△ABC=

1 3

1 3

1 ? 8 ? 3 3 ? 12 3 .…………………………………………………(1 分) 2

(2)∵BC=8,BH=3,∴CH=5. ………………………………………………(1 分) 在 Rt△ACH 中, ∵ AH ? 3 3 ,CH=5,∴ AC ? 2 13 .………………………………………(2 分) ∴ cos C ?

CH 5 5 13 .………………………………………………(2 分) ? ? AC 2 13 26

22.解:设 EF=x,则 GF=2x. ∵GF∥BC,AH⊥BC,∴AK⊥GF. ∵GF∥BC,∴△AGF∽△ABC.………………………………………………(2 分)

AK GF .…………………………………………………………………(2 分) ? AH BC 6 ? x 2x ∵AH=6,BC=12,∴ .……………………………………………(2 分) ? 6 12
∴ 解得 x=3.………………………………………………………………………(2 分) ∴矩形 DEFG 的周长为 18.……………………………………………………(2 分) 23.解: (1)过点 A 作 AH⊥PQ,垂足为点 H. ∵斜坡 AP 的坡度为 1∶2.4,∴

AH 5 ? .…………………………………(2 分) PH 12

设 AH=5k,则 PH=12k,由勾股定理,得 AP=13k. ∴13k=26. 解得 k=2.

∴AH=10.………………………………………………………………………(2 分) 答:坡顶 A 到地面 PQ 的距离为 10 米.………………………………………(1 分) (2)延长 BC 交 PQ 于点 D. ∵BC⊥AC,AC∥PQ,∴BD⊥PQ.…………………………………………(1 分) ∴四边形 AHDC 是矩形,CD=AH=10,AC=DH.……………………………(1 分) ∵∠BPD=45°,∴PD=BD. …………………………………………………(1 分) 设 BC=x,则 x+10=24+DH. ∴AC=DH=x-14. 在 Rt△ABC 中, tan 76? ? 解得 x ?

BC x ,即 ? 4.0 .…………………………(2 分) AC x ? 14

56 ,即 x ? 19 .………………………………………………………(1 分) 3 AC CE .………………………………………………(2 分) ? BF BE

答:古塔 BC 的高度约为 19 米.………………………………………………(1 分) 24.证明: (1)∵BF∥AC,∴

∵BD=CD,BE=DE,∴CE=3BE.……………………………………………(2 分) ∴AC=3BF.………………………………………………………………………(1 分) (2)∵ AE ? 3ED ,∴ AE 2 ? 3ED 2 .…………………………………………(1 分) 又∵CE=3ED,∴ AE 2 ? ED ? CE .……………………………………………(1 分) ∴

ED AE .……………………………………………………………………(1 分) ? AE CE

∵∠AED=∠CEA,∴△AED∽△CEA.………………………………………(1 分)

AD ED .…………………………………………………………………(1 分) ? AC AE AD BE ∵ED=BE,∴ .……………………………………………………(1 分) ? AC AE
∴ ∴ AD ? AE ? AC ? BE .…………………………………………………………(1 分)

1 ? ?1 ? ? 3 ? b ? c , 25.解: (1)由题意,得 ? ………………………………………………(1 分) 4 ?2 ? ? ? 2b ? c . 3 ?
解得错误!未找到引用源。……………………………………………………………………(1 分) ∴所求二次函数的解析式为 y ? ? x 2 ?

1 3

2 x ? 2 .……………………………(1 分) 3

对称轴为直线 x=1.……………………………………………………………(1 分) 证明: (2)由直线 OA 的表达式 y=-x,得点 C 的坐标为(1,-1) .…………………(1 分) ∵ AB ? 10 , BC ? 10 ,∴AB=BC.………………………………………(1 分) 又∵ OA ? 2 , OC ? 2 ,∴OA=OC.………………………………………(1 分) ∴∠ABO=∠CBO.………………………………………………………………(1 分) 解: (3)由直线 OB 的表达式 y=x,得点 D 的坐标为(1,1) .………………………(1 分) 由直线 AB 的表达式 y ?

1 4 x? , 3 3

得直线与 x 轴的交点 E 的坐标为(-4,0) .……………………………………(1 分) ∵△POB 与△BCD 相似,∠ABO=∠CBO,∴∠BOP=∠BDC 或∠BOP=∠BCD. (i)当∠BOP=∠BDC 时, 由∠BDC==135°,得∠BOP=135°. ∴点 P 不但在直线 AB 上,而且也在 x 轴上,即点 P 与点 E 重合. ∴点 P 的坐标为(-4,0) .………………………………………………………(2 分) (ii)当∠BOP=∠BCD 时, 由△POB∽△BCD,得

BP BD . ? BO BC 2 10 . 5

而 BO ? 2 2 , BD ? 2 , BC ? 10 ,∴ BP ? 又∵ BE ? 2 10 ,∴ PE ?

8 10 . 5

作 PH⊥x 轴,垂足为点 H,BF⊥x 轴,垂足为点 F.

PH PE EH . ? ? BF BE EF 8 24 而 BF=2,EF=6,∴ PH ? , EH ? . 5 5 4 ∴ OH ? . 5 4 8 ∴点 P 的坐标为( , ) .……………………………………………………(2 分) 5 5 4 8 综上所述,点 P 的坐标为(-4,0)或( , ) . 5 5
∵PH∥BF,∴


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