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2015年高中数学步步高大一轮复习讲义(文科)第1讲 抽样方法与总体分布的估计

第十一章

统计与概率

第 1 讲 抽样方法与总体分布的估计
一、选择题 1. 对某商店一个月内每天的顾客人数进行了统计, 得到样本的茎叶图 (如图所示),则该样本的中位数、众数、极差分别是 ( A.46,45,56 C.47,45,56 解析 样本共 30 个,中位数为 ). B.46,45,53 D.45,47,53 45+47 2 =46;显然样本数据出现次

数最多的为 45,故众数为 45;极差为 68-12=56,故选 A. 答案 A ). 2.小波一星期的总开支分布如图(a)所示,一星期的食品开支如图(b)所示,则小 波一星期的鸡蛋开支占总开支的百分比为 (

A.30% 解析

B.10%

C.3%

D.不能确定

由题图(b)可知小波一星期的食品开支共计 300 元,其中鸡蛋开支 30

元.又由题图(a)知,一周的食品开支占总开支的 30%,则可知一周总开支为 30 1 000 元,所以鸡蛋开支占总开支的百分比为1 000×100%=3%.

答案

C

3. 交通管理部门为了解机动车驾驶员(简称驾驶员)对某新法规的知晓情况, 对甲、 乙、丙、丁四个社区做分层抽样调查.假设四个社区驾驶员的总人数为 N,其 中甲社区有驾驶员 96 人.若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分 别为 12,21,25,43,则这四个社区驾驶员的总人数 N 为( A.101 解析 为 B.808 C.1 212 ). D.2 012

12 1 甲社区驾驶员的抽样比例为96=8,四个社区驾驶员总人数的抽样比例

12+21+25+43 101 101 1 = N ,由 N =8,得 N=808. N B

答案

4.甲、乙两人在一次射击比赛中各射靶 5 次,两人成绩的条形统计图如图所示, 则( ).

A.甲的成绩的平均数小于乙的成绩的平均数 B.甲的成绩的中位数等于乙的成绩的中位数 C.甲的成绩的方差小于乙的成绩的方差 D.甲的成绩的极差小于乙的成绩的极差 解析 由题意可知,甲的成绩为 4,5,6,7,8,乙的成绩为 5,5,5,6,9.所以甲、乙的

成绩的平均数均为 6,A 错;甲、乙的成绩的中位数分别为 6,5,B 错;甲、乙 1 1 的成绩的方差分别为5×[(4-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(7-6)2+(8-6)2]=2,5 12 ×[(5-6)2+(5-6)2+(5-6)2+(6-6)2+(9-6)2]= 5 ,C 对;甲、乙的成绩的 极差均为 4,D 错. 答案 C

5.一个样本容量为 10 的样本数据,它们组成一个公差不为 0 的等差数列{an}, 若 a3=8,且 a1,a3,a7 成等比数列,则此样本的平均数和中位数分别是

( A.13,12 C.12,13 解析 B.13,13 D.13,14

).

设等差数列{an}的公差为 d(d≠0),a3=8,a1a7=(a3)2=64,(8-2d)(8

+4d)= 64, (4 - d)(2+ d)= 8,2d - d2 =0 ,又 d≠0,故 d = 2 ,故样本数据为 4,6,8,10,12,14,16,18,20,22, 样本的平均数为 13,故选 B. 答案 B ?4+22?×5 12+14 =13, 中位数为 2 = 10

6. 样本(x1, x2, ?, xn)的平均数为 x , 样本(y1, y2, ?, ym)的平均数为 y ( x ≠ y ). 若 1 样本(x1, x2,?, xn, y1, y2, ?,ym)的平均数 z =α x +(1-α) y ,其中 0<α<2, 则 n,m 的大小关系为( A.n<m C.n=m 解析 ). B.n>m D.不能确定

依题意得 x1+x2+?+xn=n x ,y1+y2+?+ym=m y ,

x1+x2+?+xn+y1+y2+?+ym=(m+n) z =(m+n)α x +(m+n)(1-α) y , ∴n x +m y =(m+n)α x +(m+n)(1-α) y , ?n=?m+n?α, ∴? ?m=?m+n??1-α?, 于是有 n-m=(m+n)[α-(1-α)]=(m+n)(2α-1), 1 ∵0<α<2,∴2α-1<0,∴n-m<0,即 m>n. 答案 A

二、填空题 7.用系统抽样法要从 160 名学生中抽取容量为 20 的样本,将 160 名学生随机地 从 1~160 编号,按编号顺序平均分成 20 组(1~8 号,9~16 号,?,153~160 号),若第 16 组抽出的号码为 126,则第 1 组中用抽签的方法确定的号码是 ________. 解析 设第 1 组抽取的号码为 b, 则第 n 组抽取的号码为 8(n-1)+b, ∴8×(16

-1)+b=126,∴b=6,故第 1 组抽取的号码为 6. 答案 6

8.某学校为了解学生数学课程的学习情况,在 1 000 名学生中随机抽取 200 名, 并统计这 200 名学生的某次数学考试成绩,得到了样本的频率分布直方图(如 图). 根据频率分布直方图可估计这 1 000 名学生在该次数学考试中成绩不低于 60 分的学生人数是________.

解析

低于 60 分学生所占频率为(0.002+0.006+0.012)×10=0.2,故低于 60

分的学生人数为 1 000×0.2=200,所以不低于 60 分的学生人数为 1 000-200 =800. 答案 800

9.沈阳市某高中有高一学生 600 人,高二学生 500 人,高三学生 550 人,现对学 生关于消防安全知识了解情况进行分层抽样调查,若抽取了一个容量为 n 的样 本,其中高三学生有 11 人,则 n 的值等于________. 解析 答案 由 33 n 11 =550,得 n=33(人). 600+500+550

10.某年级 120 名学生在一次百米测试中,成绩全部介于 13 秒与 18 秒之间.将 测试结果分成 5 组:[13,14),[14,15),[15,16),[16,17),[17,18],得到如图所 示的频率分布直方图. 如果从左到右的 5 个小矩形的面积之比为 1∶3∶7∶6∶ 3,那么成绩在[16,18]的学生人数是____________.

解析

成绩在[16,18]的学生的人数所占比例为

6+3 9 = ,所以成绩 1+3+7+6+3 20

9 在[16,18]的学生人数为 120×20=54. 答案 54

三、解答题 11.某政府机关有在编人员 100 人,其中副处级以上干部 10 人,一般干部 70 人, 工人 20 人.上级机关为了了解政府机构改革意见,要从中抽取一个容量为 20 的样本,试确定用何种方法抽取,请具体实施抽取. 解 用分层抽样方法抽取.

具体实施抽取如下: 10 70 20 (1)∵20∶100=1∶5,∴ 5 =2, 5 =14, 5 =4, ∴从副处级以上干部中抽取 2 人,从一般干部中抽取 14 人,从工人中抽取 4 人. (2)因副处级以上干部与工人的人数较少, 他们分别按 1~10 编号与 1~20 编号, 然后采用抽签法分别抽取 2 人和 4 人;对一般干部 70 人采用 00,01,02,?, 69 编号,然后用随机数表法抽取 14 人. (3)将 2 人,4 人,14 人的编号汇合在一起就取得了容量为 20 的样本. 12.某校高一某班的某次数学测试成绩(满分为 100 分)的茎叶图和频率分布直方 图都受了不同程度的破坏,但可见部分如图,据此解答下列问题:

(1)求分数在[50,60]的频率及全班人数; (2)求分数在[80,90]之间的频数,并计算频率分布直方图中 [80,90]间的矩形的 高. 解 (1)分数在[50,60]的频率为 0.008×10=0.08.

2 由茎叶图知,分数在[50,60]之间的频数为 2,所以全班人数为0.08=25. (2)分数在[80,90]之间的频数为 25-2-7-10-2=4, 频率分布直方图中[80,90] 4 间的矩形的高为25÷ 10=0.016. 13.汽车行业是碳排放量比较大的行业之一,欧盟规定,从 2012 年开始,对 CO2 排放量超过 130 g/km 的 MI 型新车进行惩罚(视为排放量超标),某检测单位对 甲、 乙两类 MI 型品牌的新车各抽取了 5 辆进行 CO2 排放量检测,记录如下(单 位:g/km): 甲 乙 80 100 110 120 120 x 140 y 150 160

经测算发现,乙类品牌车 CO2 排放量的均值为 x 乙=120 g/km. (1)求甲类品牌汽车的排放量的平均值及方差; (2)若乙类品牌汽车比甲类品牌汽车 CO2 的排放量稳定性好,求 x 的取值范围. 解 (1)甲类品牌汽车的 CO2 排放量的平均值 x 甲= 80+110+120+140+150 = 5

120(g/km), 甲类品牌汽车的 CO2 排放量的方差 s2 甲= ?80-120?2+?110-120?2+?120-120?2+?140-120?2+?150-120?2 5

=600. (2)由题意知乙类品牌汽车的 CO2 排放量的平均值 x 乙= 100+120+x+y+160 5

=120(g/km),得 x+y=220,故 y=220-x,所以乙类品牌汽车的 CO2 排放量 的方差 ?100-120?2+?120-120?2+?x-120?2+?220-x-120?2+?160-120?2 s乙= , 5
2 2 因为乙类品牌汽车比甲类品牌汽车 CO2 的排放量稳定性好,所以 s2 乙<s甲,解得

90<x<130. 14.已知某单位有 50 名职工,现要从中抽取 10 名 职工,将全体职工随机按 1~50 编号,并按编号顺序 平均分成 10 组,按各组内抽取的编号依次增加 5 进行

系统抽样. (1) 若第 5 组抽出的号码为 22,写出所有被抽出职工 (2) 的号码; (2)分别统计这 10 名职工的体重(单位:公斤),获得体重数据的茎叶图如图 所示,求该样本的方差; (3)在(2)的条件下, 从这 10 名职工中随机抽取两名体重不轻于 73 公斤(≥73 公斤)的职工,求体重为 76 公斤的职工被抽取到的概率. 解 (1)由题意,第 5 组抽出的号码为 22.

因为 k+5×(5-1)=22,所以第 1 组抽出的号码应该为 2,抽出的 10 名职 工的号码分别为 2,7,12,17,22,27,32,37,42,47. (2)因为 10 名职工的平均体重为 1 x =10(81+70+73+76+78+79+62+65+67+59)=71, 1 所以样本方差为:s2=10(102+12+22+52+72+82+92+62+42+122)=52. (3)从 10 名职工中随机抽取两名体重不轻于 73 公斤的职工,共有 10 种不同 的取法: (73,76), (73,78), (73,79), (73,81), (76,78), (76,79), (76,81), (78,79), (78,81),(79,81). 记“体重为 76 公斤的职工被抽取”为事件 A,它包括的事件有(73,76), (76,78),(76,79),(76,81)共 4 个. 4 2 故所求概率为 P(A)=10=5.


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