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辽宁省实验中学分校2014-2015学年高一下学期期中数学试卷


辽宁省实验中学分校 2014-2015 学年高一下学期期中数学试卷
一、选择题.本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了 解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为 7 人, 则样本容量为() A.35 B.25 C.15 D.7 2.抛掷两颗均匀的正方体骰子,所得的两个点数中一个恰是另一个的两倍的概率是() A. B.
4

C.
3

D.

3.利用秦九韶算法求多项式 f(x)=﹣6x +5x +2x+6 在 x=3 时,v3 的值为() A.﹣486 B.﹣351 C.﹣115 D.﹣339 4.如图给出的是计算和式 + + +…+ 是() 的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件

A.i≤11

B.i≤10

C.i≥10

D.i≥11

5.一个游戏转盘上有四种颜色:红、黄、蓝、黑,并且它们所占面积的比为 6:2:1:4, 则指针停在红色或蓝色的区域的概率为() A. B. C. D.

6. 是 x1,x2,…,x100 的平均值,a1 为 x1,x2,…,x40 的平均值,a2 为 x41,…,x100 的平 均值,则下列式子中正确的是() A. = C. =a1+a2 B. = D. =

7.一个袋内装有大小相同的 6 个白球和 5 个黑球,从中随意抽取 2 个球,抽到白球、黑球 各 1 个的概率为() A. B. C. D.

8.在△ ABC 中,若 sinAcosB<0,则此三角形必是()

A.锐角三角形

B.任意三角形

C.直角三角形

D.钝角三角形

9.下列函数中偶函数的个数为() y=cos2x,y=|sinx|,y=sinx?cosx,y=cos(x+ A.1 B. 2 ) ,y=tanx+1. C. 3 的图象交点个数是() C. 3 个 D.4 个 D.4

10.函数 y=sinx 的图象和 y= A.1 个 B. 2 个

11.若把函数 的图象向右平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图象 关于 y 轴对称,则 m 的最小值是() A. B. C. D.

12.若

<α<π,化简 B.2tanα

的结果是() C.﹣2cotα D.2cotα

A.﹣2tanα

二、填空题.本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分. 13.样本容量为 1000 的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图,计算 x 的 值为,样本数据落在[6,14)内的频数为.

14.已知 f(x)=asinx+btanx+1,满足 f(5)=7,则 f(﹣5)=. 15.下列是某厂 1~4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据,由其散点图可知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是 =﹣0.7x+ ,则 =. 月 份x 用水量 y 1 4.5 2 4 3 3 ) (x∈R) ,有下列命题: ) ; 4 2.5

16.关于函数 f(x)=4sin(2x+

①y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos(2x﹣

②y=f(x)是以 2π 为最小正周期的周期函数; ③y=f(x)的图象关于点 ④y=f(x)的图象关于直线 x=﹣ 其中正确的命题的序号是. 对称; 对称.

三、 解答题 (本大题共 6 小题, 共 70 分.解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.已知角 θ 的终边经过点 P(3t,﹣4t) ,t≠0,求 sinθ,cosθ,tanθ 18.随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm) ,获得身高数据 的茎叶图如图. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差; (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身高为 176cm 的 同学被抽中的概率.

19.设 cos(α﹣ 的值.

)=﹣ ,sin(

﹣β)= ,且

<α<π,0<β<

,求 cos(



20.已知关于 x 的函数 y=cos2x﹣4asinx﹣3a(a∈R)的最大值 M(a) (1)求 M(a) ; (2)求 M(a)的最小值. 21.在一次商贸交易会上,商家在柜台开展促销抽奖活动,甲、乙两人相约同一天上午去该 柜台参与抽奖. (1)若抽奖规则是从一个装有 6 个红球和 4 个白球的袋中无放回地取出 2 个球,当两个球 同色时则中奖,求中奖概率; (2)若甲计划在 9:00~9:40 之间赶到,乙计划在 9:20~10:00 之间赶到,求甲比乙提 前到达的概率. 22.函数 f(x)=3cosωx+ sinωx(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最 高点.B、C 为图象与 x 轴的交点,且△ ABC 为正三角形. (1)求 ω 的值及 f(x)的值域; (2)若 f(x0)= ,且 x0∈(﹣ , ) ,求 f(x0+1)的值.

辽宁省实验中学分校 2014-2015 学年高一下学期期中数 学试卷

一、选择题.本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分. 1.某单位有职工 750 人,其中青年职工 350 人,中年职工 250 人,老年职工 150 人,为了 解该单位职工的健康情况,用分层抽样的方法从中抽取样本,若样本中的青年职工为 7 人, 则样本容量为() A.35 B.25 C.15 D.7 考点: 专题: 分析: 解答: 分层抽样方法. 计算题;概率与统计. 先计算青年职工所占的比例,再根据青年职工抽取的人数计算样本容量即可. 解:青年职工、中年职工、老年职工三层之比为 7:5:3, =15.

所以样本容量为

故选 C. 点评: 本题考查分层抽样的定义和方法, 求出每个个体被抽到的概率, 用个体的总数乘以 每个个体被抽到的概率,就得到样本容量 n 的值. 2.抛掷两颗均匀的正方体骰子,所得的两个点数中一个恰是另一个的两倍的概率是() A. B. C. D.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 分析: 列举出所有情况, 看朝上的面的点数中, 一个点数能被另一个点数整除的情况数占 总情况的多少即可. 解答: 解: 可用列表法表示出同时抛掷两枚质地均匀的骰子的结果, 发现共有 36 种可能, (1,6) (2,6)(3,6) (4,6) (5,6) (6,6) (1,5) (2,5) (3,5) (4,5) (5,5) (6,5) (1,4) (2,4) (3,4) (4,4) (5,4) (6,4) (1,3) (2,3) (3,3) (4,3) (5,3) (6,3) (1,2) (2,2) (3,2) (4,2) (5,2) (6,2) (1,1) (2,1) (3,1) (4,1) (5,1) (6,1) 由于没有顺序,因此发现,在这 36 种结果中,一个恰是另一个的两倍的情况出现,6 次. ∴一个点数能被另一个点数整除的概率是 = ,

故选:B. 点评: 本题考查的是对概率的理解和简单的计算; 采用列举法解题的关键是找到所有存在 的情况.用到的知识点为:概率=所求情况数与总情况数之比. 3.利用秦九韶算法求多项式 f(x)=﹣6x +5x +2x+6 在 x=3 时,v3 的值为() A.﹣486 B.﹣351 C.﹣115 D.﹣339
4 3

考点: 秦九韶算法. 专题: 算法和程序框图. 分析: 根据秦九韶算法先别多项式进行改写,然后进行计算即可. 解答: 解:根据秦九韶算法,把多项式改成如下形式 f(x)=( ( (﹣6x+5)x+0)x+2)x+6, 当 x=3 时,v1=﹣6×3+5=﹣13,v2=﹣13×3=﹣39,v3=﹣39×3+2=﹣115, 故选:C. 点评: 本题主要考查秦九韶算法的应用, 根据秦九韶算法的步骤把多项式进行改写是解决 本题的关键.

4.如图给出的是计算和式 + + +…+ 是()

的值的一个程序框图,其中判断框内应填入的条件

A.i≤11

B.i≤10

C.i≥10

D.i≥11

考点: 循环结构. 专题: 图表型;算法和程序框图. 分析: 由题意可知,首先是判断框中的条件满足,所以框图依次执行循环,满足 S= + + +…+ ,框图应执行 10 次循环,此时 i 的值为 11,判断框中的条件应该不满足,

算法结束,由此得到判断框中的条件. 解答: 解:框图首先给累加变量 S 赋值为 0,n 赋值 2,给循环变量 i 赋值 1. 此时判断框中的条件满足,执行 S=0+ ,n=2+2=4,i=1+1=2; 此时判断框中的条件满足,执行 S=0+ ,n=4+2=6,i=2+1=3;

此时判断框中的条件满足,执行 S=0+ + + ,n=6+2=8,i=3+1=4; …

此时判断框中的条件满足,执行 S= + + +…+

,n=20+2=22,i=10+1=11;

此时判断框中的条件不满足, 故判断框内应填入的一个条件为 i≤10. 故选:B. 点评: 本题考查了循环结构, 是当型循环, 区别当型和直到型的关键在于是满足条件执行 循环还是不满足条件执行循环, 满足条件执行循环的是当型结构, 不满足条件执行循环的是 直到型结构,是基础题. 5.一个游戏转盘上有四种颜色:红、黄、蓝、黑,并且它们所占面积的比为 6:2:1:4, 则指针停在红色或蓝色的区域的概率为() A. B. C. D.

考点: 几何概型. 专题: 概率与统计. 分析: 指针停在红色或蓝色的概率就是红色或蓝色区域的面积与总面积的比值, 计算面积 比即可. 解答: 解:根据题意可知:四种颜色:红、黄、蓝、黑,并且它们所占面积的比依次为 6: 2:1:4, 红色或蓝色的区域占总数的 故指针停在红色或蓝色的区域的概率是 , .

故选:B. 点评: 本题考查几何概率的求法: 首先根据题意将代数关系用面积表示出来, 一般用阴影 区域表示所求事件 A;然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例,这个比例即事件 A 发生的概率. 6. 是 x1,x2,…,x100 的平均值,a1 为 x1,x2,…,x40 的平均值,a2 为 x41,…,x100 的平 均值,则下列式子中正确的是() A. = C. =a1+a2 B. = D. =

考点: 众数、中位数、平均数. 专题: 概率与统计. 分析: 根据平均数的公式分别计算两个平均数,即可得到对应的关系. 解答: 解:∵a1 是 x1,x2,…,x40 的平均值,a2 是 x41,x42,…,x100 的平均值, ∴x1+x2+x3+…+x40=40a1,x41+x42+x43+…+x100=60a2, ∴ 故选 A. .

点评: 本题考查了平均数的计算, 解答此题的关键是能够把 n 个数的和转化为这 n 个数的 平均数与项数 n 的乘积.比较基础. 7.一个袋内装有大小相同的 6 个白球和 5 个黑球,从中随意抽取 2 个球,抽到白球、黑球 各 1 个的概率为() A. B. C. D.

考点: 古典概型及其概率计算公式. 专题: 概率与统计. 2 分析: 由题意知从 11 个球中摸出 2 个,共有 C11 =55 个基本事件,从中随意抽取 2 个球, 1 1 抽到白球、黑球各 1 个的,共有 C6 C5 =30 个基本事件,根据概率公式计算即可. 2 解答: 解:由题意知从 11 个球中摸出 2 个,共有 C11 =55 个基本事件,从中随意抽取 2 1 1 个球,抽到白球、黑球各 1 个的,共有 C6 C5 =30 个基本事件, ∴满足条件的事件概率 P= = ,

故选:A. 点评: 本题考查等可能事件的概率, 本题解题的关键是做出满足条件的事件数, 这里借助 于组合数来表示,本题是一个基础题. 8.在△ ABC 中,若 sinAcosB<0,则此三角形必是()

A.锐角三角形

B.任意三角形

C.直角三角形

D.钝角三角形

考点: 三角形的形状判断. 专题: 计算题. 分析: 由 sinAcosB<0, 结合 0<A<π 可得 sinA>0, 从而有 cosB<0, 则可得 B 为钝角, 即可得答案. 解答: 解:∵sinAcosB<0 又∵0<A<π∴sinA>0 ∵sinAcosB<0 ∴cosB<0 ∴π>B ∴B 为钝角, 则此三角形必是钝角三角形. 故选 D. 点评: 本题主要是利用三角形的内角范围及正弦函数的性质判定三角形的形状, 属于简单 题.

9.下列函数中偶函数的个数为() y=cos2x,y=|sinx|,y=sinx?cosx,y=cos(x+ A.1 B. 2 ) ,y=tanx+1. C. 3 D.4

考点: 二倍角的正弦;余弦函数的奇偶性. 专题: 三角函数的图像与性质. 分析: 根据三角函数的性质,我们逐一分析各个函数的奇偶性,即可得到答案. 解答: 解:y=cos2x 是偶函数; y=|sinx|是偶函数; y=sinx?cosx= sin2x 是奇函数; y=cos(x+ )不是偶函数;

y=tanx+1 不是偶函数. 故选:B. 点评: 本题主要考查函数奇偶性的判断, 要求熟练掌握常见函数的奇偶性, 属于基本知识 的考查.

10.函数 y=sinx 的图象和 y= A.1 个 B. 2 个

的图象交点个数是() C. 3 个 D.4 个

考点: 正弦函数的图象;函数的图象. 专题: 阅读型. 分析: 在同一坐标系内作出两函数图象,结合两函数的图象分析解决. 解答: 解:y=sinx 的图象和 y= 的图象均关于原点对称,且(0,0)是其中一个交点.

在第一象限内当 x=

时,y=sinx=1,y=

= <1,当 x=

时,y=sinx=1,y=

= >1,

只有一个交点,对称的在第三象限也只有一个交点. 所以交点个数为 3 个 故选 C. 点评: 本题考查了正弦函数的图象,需具有作图、用图的能力.应用了数形结合思想.

11.若把函数 的图象向右平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图象 关于 y 轴对称,则 m 的最小值是() A. B. C. D.

考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;余弦函数的对称性. 专题: 计算题. 分析: 由解析式的特点和题意, 利用两角和的余弦公式对解析式进行化简, 由所得到的图 象关于 y 轴对称,根据对称轴方程求出 m 的最小值. 解答: 解:由题意知, 对称轴方程 , ,

∵函数的图象向右平移 m(m>0)个单位长度后,所得到的图象关于 y 轴对称, ∴由对称轴的方程得,m 的最小值是 .

故选 C. 点评: 本题考查了复合三角函数图象的变换,注意 A、φ、ω 对函数图象的影响,再利用 了余弦函数图象的特点和诱导公式进行求值.

12.若

<α<π,化简 B.2tanα

的结果是() C.﹣2cotα D.2cotα

A.﹣2tanα

考点: 二倍角的正弦. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由角的范围可得 即可得解. 解答: 解:∵ ∴ <α<π, , ,从而由倍角公式,同角三角函数关系式化简已知



>0,

>0,



=



=|

|﹣|

|

=



=

=

=2cotα.

故选:D. 点评: 本题主要考查了倍角公式, 同角三角函数关系式的应用, 解题时注意分析角的范围, 属于基本知识的考查. 二、填空题.本大题共 4 小题,每题 5 分,共 20 分. 13.样本容量为 1000 的频率分布直方图如图所示.根据样本的频率分布直方图,计算 x 的 值为 0.09,样本数据落在[6,14)内的频数为 680.

考点: 频率分布直方图. 专题: 概率与统计. 分析: 由题意,可先求出最高的小矩形的高 x 的值,再计算出[6,14)内所有小矩形的面 积即可得到样本数据落在[6,14)内的频率,再根据公式频数=样本容量×频率求得样本数据 落在[6,14)内的频数. 解答: 解: 由图及频率分布直方图的意义得, 4× (0.02+0.03+0.03+0.08+x) =1, 解得 x=0.09 ∴样本数据落在[6,14)内的频数为 1000×4×(0.08+0.09)=680. 故答案为:0.09,680. 点评: 本题考查样本的频率分布估计总体分布, 频率分布直方图, 解题的关键是理解频率 分布直方图,由图求出样本数据落在[6,14)内的频率,本题是频率分布直方图有关的基本 题,也是这几年 2015 届高考中常出现的题型. 14.已知 f(x)=asinx+btanx+1,满足 f(5)=7,则 f(﹣5)=﹣5. 考点: 正弦函数的奇偶性;正切函数的奇偶性与对称性. 专题: 计算题. 分析: 由已知中 f(x)=asinx+btanx+1,构造奇函数 g(x)=f(x)﹣1=asinx+btanx,根 据奇函数的性质及已知中 f(5)=7,即可得到答案. 解答: 解:令 g(x)=f(x)﹣1=asinx+btanx 则函数 g(x)为奇函数 又∵f(5)=7, ∴g(5)=6 ∴g(﹣5)=﹣6

∴f(﹣5)=﹣5 故答案为:﹣5 点评: 本题考查的知识点是正弦函数的奇偶性,正切函数的奇偶性及函数奇偶性的应用, 其中根据已知条件构造奇函数 g(x)=f(x)﹣1 是解答本题的关键. 15.下列是某厂 1~4 月份用水量(单位:百吨)的一组数据,由其散点图可知,用水量 y 与月份 x 之间有较好的线性相关关系,其线性回归方程是 =﹣0.7x+ ,则 =5.25. 月 份x 用水量 y 1 4.5 2 4 3 3 4 2.5

考点: 线性回归方程. 专题: 计算题;应用题. 分析: 根据所给的数据,做出 x,y 的平均数,即得到样本中心点,根据所给的线性回归 方程,把样本中心点代入,只有 a 一个变量,解方程得到结果. 解答: 解:∵ =3.5 ∴ = ﹣ =3.5+0.7×2.5=5.25.

故答案为:5.25 点评: 本题考查线性回归方程,考查样本中心点的性质,考查线性回归方程系数的求法, 是一个基础题,本题运算量不大,是这一部分的简单题目. ) (x∈R) ,有下列命题: ) ;

16.关于函数 f(x)=4sin(2x+

①y=f(x)的表达式可改写为 y=4cos(2x﹣

②y=f(x)是以 2π 为最小正周期的周期函数; ③y=f(x)的图象关于点 ④y=f(x)的图象关于直线 x=﹣ 其中正确的命题的序号是①,③. 考点: 函数 y=Asin(ωx+φ)的图象变换;三角函数的周期性及其求法. 专题: 压轴题;分析法. 分析: 先根据诱导公式可判断①,再由最小正周期的求法可判断②,最后根据正弦函数 的对称性可判断③和④,得到答案. 解答: 解:∵f (x)=4sin(2x+ ﹣ ) ,故①正确; )=4cos( )=4cos(﹣2x+ )=4cos(2x 对称; 对称.

∵T= 令 x=﹣

,故②不正确; 代入 f (x)=4sin(2x+ )得到 f(﹣ )=4sin( + )=0,故 y=f (x)

的图象关于点

对称,③正确④不正确;

故答案为:①③. 点评: 本题主要考查正弦函数的基本性质﹣﹣周期性、对称性,考查诱导公式的应用.三 角函数的基础知识是解题的关键. 三、 解答题 (本大题共 6 小题, 共 70 分.解答应写出必要的文字说明, 证明过程或演算步骤) 17.已知角 θ 的终边经过点 P(3t,﹣4t) ,t≠0,求 sinθ,cosθ,tanθ 考点: 任意角的三角函数的定义. 专题: 三角函数的求值. 分析: 由题意可得 x=3t,y=4t,得 r= 数的定义,分类讨论求得 sinθ,cosθ,tanθ 的值. 解答: 解:由题意可得 x=3t,y=4t,得 r= 当 t>0 时,r=5t.因此 当 t<0 时,r=﹣5t.因此 ; . =5|t|. =5|t|,再利用任意角的三角函

点评: 本题主要考查任意角的三角函数的定义, 两点间的距离公式的应用, 体现了分类讨 论的数学思想,属于基础题. 18.随机抽取某中学甲乙两班各 10 名同学,测量他们的身高(单位:cm) ,获得身高数据 的茎叶图如图. (1)根据茎叶图判断哪个班的平均身高较高; (2)计算甲班的样本方差; (3)现从乙班这 10 名同学中随机抽取两名身高不低于 173cm 的同学,求身高为 176cm 的 同学被抽中的概率.

考点: 茎叶图;极差、方差与标准差;等可能事件的概率. 专题: 概率与统计. 分析: 本题中“茎是百位和十位”,叶是个位,从图中分析出参与运算的数据,代入相应公 式即可解答. 解答: 解: (1)由茎叶图可知:甲班身高集中于 160~169 之间,而乙班身高集中于 170~ 180 之间. 因此乙班平均身高高于甲班 (2) 甲班的样本方差为 ,

+(170﹣170) +(171﹣170) +(179﹣170) +(179﹣170) +(182﹣170) ]=57. (3)设身高为 176cm 的同学被抽中的事件为 A; 从乙班 10 名同学中抽中两名身高不低于 173cm 的同学有: (181,173) (181,176) (181,178) (181,179) (179,173) (179,176) (179,178) (178,173) (178, 176) (176, 173) 共 10 个基本事件, 而事件 A 含有 4 个基本事件. ∴ .

2

2

2

2

2

点评: 茎叶图的茎是高位,叶是低位,所以本题中“茎是百位和十位”,叶是个位,从图中 分析出参与运算的数据, 代入相应公式即可解答. 从茎叶图中提取数据是利用茎叶图解决问 题的关键.

19.设 cos(α﹣ 的值.

)=﹣ ,sin(

﹣β)= ,且

<α<π,0<β<

,求 cos(



考点: 两角和与差的余弦函数. 专题: 三角函数的求值. 分析: 根据角与角之间的关系,将 公式即可得到结论. 解答: 解:∵ ∴ <α﹣ <α<π,0<β< , , ﹣β)= , ﹣β)= )﹣( , ﹣β)]=cos(α﹣ )cos( ﹣β)+sin(α﹣ ) =(α﹣ )﹣( ﹣β) ,利用两角和差的余弦

<π, )=﹣ ,sin( )= ,cos(

∵cos(α﹣ ∴sin(α﹣ ∴cos( sin(

)=cos[(α﹣ ﹣β)= .

点评: 本题主要考查两角和差的余弦公式,注意拆角技巧.

20.已知关于 x 的函数 y=cos2x﹣4asinx﹣3a(a∈R)的最大值 M(a) (1)求 M(a) ; (2)求 M(a)的最小值. 考点: 三角函数的最值;复合三角函数的单调性. 专题: 计算题. 分析: (1)利用三角函数的恒等变换化简函数 y 的解析式为﹣2 (sinx+a) +2a ﹣3a+1, 2 2 令 sinx=t∈[﹣1,1],则 函数 y=﹣2(t+a) +2a ﹣3a+1.利用二次函数的性质,求出函数在 闭区间[﹣1,1]的最大值. 2 (2)当 a>1 时,M(a)=a﹣1,最小值大于 0. 当﹣1≤a≤1 时,M(a)=2a ﹣3a+1,最小 值为﹣ .当 a<﹣1 时,M(a)=﹣7a﹣1>6.综合可得 M(a)的最小值. 解答: 解: (1)函数 y=cos2x﹣4asinx﹣3a=1﹣2sin x﹣4asinx﹣3a=﹣2 (sinx+a) +2a ﹣3a+1. 2 2 令 sinx=t∈[﹣1,1],则 函数 y=﹣2(t+a) +2a ﹣3a+1. 2 2 当﹣a<﹣1 时,即 a>1 时,则 t=﹣1 时,M(a)=﹣2(﹣1+a) +2a ﹣3a+1=a﹣1. 2 当﹣1≤﹣a≤1 时,即 1≥a≥﹣1 时,则 t=﹣a 时,M(a)=2a ﹣3a+1. 2 2 当﹣a>1 时,即 a<﹣1 时,则 t=1 时,M(a)=﹣2(1+a) +2a ﹣3a+1=﹣7a﹣1.
2 2 2 2 2

综上,



(2)当 a>1 时,M(a)=a﹣1,最小值大于 0. 当﹣1≤a≤1 时,M(a)=2a ﹣3a+1,最小值为﹣ . 当 a<﹣1 时,M(a)=﹣7a﹣1>6. 综上可得 M(a)的最小值为 .
2

点评: 本题主要考查三角函数的恒等变换及化简求值, 二次函数的性质, 复合函数的单调 性的应用,体现了分类讨论的数学思想,属于中档题. 21.在一次商贸交易会上,商家在柜台开展促销抽奖活动,甲、乙两人相约同一天上午去该 柜台参与抽奖. (1)若抽奖规则是从一个装有 6 个红球和 4 个白球的袋中无放回地取出 2 个球,当两个球 同色时则中奖,求中奖概率; (2)若甲计划在 9:00~9:40 之间赶到,乙计划在 9:20~10:00 之间赶到,求甲比乙提 前到达的概率. 考点: 几何概型;等可能事件的概率. 专题: 计算题. 分析: (1) 本题是一个等可能事件的概率, 试验发生包含的事件是从袋中 10 个球中摸出 2 个,每种条件的中奖的情况分为两种,2 个球都是红色和两个球都是白球,写出事件数, 得到概率.

(2)本题是一个几何概型,用(x,y)表示每次试验的结果,试验发生包含的所有可能结 果为 Ω={ (x, y) |0≤x≤40, 20≤y≤60}; 甲比乙提前到达的可能结果为 A={ (x, y) |x<y, 0≤x≤40, 20≤y≤60}.做出对应图形的面积,得到概率. 解答: 解: (1)由题意知本题是一个等可能事件的概率, 试验发生包含的事件是从袋中 10 个球中摸出 2 个,试验的结果共有 满足条件的中奖的情况分为两种: (i)2 个球都是红色,包含的基本事件数为 (ii)2 个球都是白色,包含的基本事件数为 ∴中奖这个事件包含的基本事件数为 15+6=21. ∴中奖概率为 . ; . (种) .

(2)设两人到达的时间分别为 9 点到 10 点之间的 x 分钟、y 分钟. 用(x,y)表示每次试验的结果,则所有可能结果为 Ω={(x,y)|0≤x≤40,20≤y≤60}; 记甲比乙提前到达为事件 A, 则事件 A 的可能结果为 A={ (x, y) |x<y, 0≤x≤40, 20≤y≤60}. 如图所示,试验全部结果构成区域 Ω 为正方形 ABCD.而事件 A 所构成区域是正方形内的 阴影部分. 根据几何概型公式,得到 ∴甲比乙提前到达的概率为 . .

点评: 古典概型和几何概型是我们学习的两大概型, 古典概型要求能够列举出所有事件和 发生事件的个数,而不能列举的就是几何概型,几何概型的概率的值是通过长度、面积、和 体积、的比值得到. 22.函数 f(x)=3cosωx+ sinωx(ω>0)在一个周期内的图象如图所示,A 为图象的最 高点.B、C 为图象与 x 轴的交点,且△ ABC 为正三角形. (1)求 ω 的值及 f(x)的值域; (2)若 f(x0)= ,且 x0∈(﹣ , ) ,求 f(x0+1)的值.

考点: 由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式;三角函数的化简求值. 专题: 三角函数的求值;三角函数的图像与性质. 分析: (1)化简函数解析式可得 f(x)=2 期公式可求 ω,由正弦函数的性质可求值域. (2)由已知及(1)可求 sin + ∈ =2 值. 解答: 解: (1)由已知可得 f(x) )=3cosωx+ 易得正三角形 ABC 的高为 2 ,则 BC=4, =8,解得 ω= ]… sin = ,即 sin . sinωx=2 sin … ,可求 cos sin ,结合范围 x0∈ ,故 f(x0+1)=2 ,得 sin sin ,由题意可求 BC,由周

利用两角和的正弦函数公式即可求

所以函数 f(x)的周期为 4×2=8,即 所以函数 f(x)的值域为[﹣ (2)因为 f(x0)= = , 由 x0∈ 即 cos ,得 + ∈ ,

,由(1)有 f(x0)=2



=

= ,

故 f(x0+1)=2 =2 = = sin

sin

=

.…

点评: 本题主要考查了由 y=Asin(ωx+φ)的部分图象确定其解析式,三角函数的化简求 值,正弦函数的图象与性质,属于基本知识的考查.


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