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高考数学必胜秘诀-函数


高考数学必胜秘诀 函数
1.函数的奇偶性。 (1)具有奇偶性的函数的定义域的特征:定义域必须关于原点对称!为此确定函数的 奇偶性时,务必先判定函数定义域是否关于原点对称。 (2)确定函数奇偶性的常用方法(若所给函数的解析式较为复杂,应先化简,再判断 其奇偶性) : ①定义法: ②利用函数奇偶性定义的等价形式: f ( x ) ? f ( ? x ) ? 0 或
f (? x) f ( x)

。 ? ?1 ( f ( x) ? 0 )

③图像法:奇函数的图象关于原点对称;偶函数的图象关于 y 轴对称。 (3)函数奇偶性的性质: ①奇函数在关于原点对称的区间上若有单调性, 则其单调性完全相同; 偶函数在关于原 点对称的区间上若有单调性,则其单调性恰恰相反. ②如果奇函数有反函数,那么其反函数一定还是奇函数. ③若 f ( x ) 为偶函数,则 f ( ? x ) ? f ( x ) ? f (| x |) . ④若奇函数 f ( x ) 定义域中含有 0,则必有 f (0) ? 0 .故 f (0) ? 0 是 f ( x ) 为奇函数的既 不充分也不必要条件。 ⑤定义在关于原点对称区间上的任意一个函数, 都可表示成 “一个奇函数与一个偶函数 的和(或差)。 ” ⑥复合函数的奇偶性特点是: “内偶则偶,内奇同外”. ⑦既奇又偶函数有无穷多个( f ( x ) ? 0 ,定义域是关于原点对称的任意一个数集). 2.函数的单调性。 (1)确定函数的单调性或单调区间的常用方法: ①在解答题中常用: 定义法 (取值――作差――变形――定号) 导数法 、 (在区间 ( a , b ) 内,若总有 f ?( x ) ? 0 ,则 f ( x ) 为增函数;反之,若 f ( x ) 在区间 ( a , b ) 内为增函数,则
f ?( x ) ? 0 ,请注意两者的区别所在。

②在选择填空题中还可用数形结合法、特殊值法等等. 特别要注意 y ? ax ?
( ?? , ? b a ],[ b a

b x

增区间为 ( a ? 0 b ? 0) 型函数的图象和单调性在解题中的运用:
b a , 0), (0, b a ].

, ?? ) ,减区间为 [ ?

③复合函数法:复合函数单调性的特点是同增异减, 特别提醒:求单调区间时,一是勿忘定义域,;二是在多个单调区间之间不一定能添加 符号“ ? ”和“或”;三是单调区间应该用区间表示,不能用集合或不等式表示. (2)你注意到函数单调性与奇偶性的逆用了吗?(①比较大小;②解不等式;③求参数 范围). 3. 常见的图象变换 ①函数 y ? f ? x ? a ? ( a ? 0 ) 的图象是把函数 y ? f ? x ? 的图象沿 x 轴向左平移 a 个单 位得到的。 ②函数 y ? f ? x ? a ? ( ( a ? 0 ) 的图象是把函数 y ? f ? x ? 的图象沿 x 轴向右平移 a 个单 位得到的。 ③函数 y ? f ? x ? + a ( a ? 0 ) 的图象是把函数 y ? f ? x ? 助图象沿 y 轴向上平移 a 个单位 得到的; ④函数 y ? f ? x ? + a ( a ? 0 ) 的图象是把函数 y ? f ? x ? 助图象沿 y 轴向下平移 a 个单 位得到的;

⑤函数 y ? f ? ax ? ( a ? 0 ) 的图象是把函数 y ? f ? x ? 的图象沿 x 轴伸缩为原来的

1 a



到的。 ⑥函数 y ? af ? x ? ( a ? 0 ) 的图象是把函数 y ? f ? x ? 的图象沿 y 轴伸缩为原来的 a 倍得 到的. 4. 函数的对称性。 ①满足条件 f ? x ? a ? ? f ? b ? x ? 的函数的图象关于直线 x ?
y ? f ?? x ? ;

a?b

对称。

2 ②点 ( x , y ) 关于 y 轴的对称点为 ( ? x , y ) ;函数 y ? f ? x ? 关于 y 轴的对称曲线方程为

③点 ( x , y ) 关于 x 轴的对称点为 ( x , ? y ) ;函数 y ? f ? x ? 关于 x 轴的对称曲线方程为
y ? ? f ?x ? ;

④点 ( x , y ) 关于原点的对称点为 ( ? x , ? y ) ;函数 y ? f ? x ? 关于原点的对称曲线方程为
y ? ? f ?? x ? ;

⑤点 ( x , y ) 关于直线 y ? ? x ? a 的对称点为 ( ? ( y ? a ), ? x ? a ) ;曲线 f ( x , y ) ? 0 关于 直线 y ? ? x ? a 的对称曲线的方程为 f ( ? ( y ? a ), ? x ? a ) ? 0 。特别地,点 ( x , y ) 关于直线
y ? x 的对称点为 ( y , x ) ;曲线 f ( x , y ) ? 0 关于直线 y ? x 的对称曲线的方程为 f ( y , x )

? 0 ;点 ( x, y) 关于直线 y ? ? x 的对称点为 ( ? y , ? x ) ;曲线 f ( x , y ) ? 0 关于直线 y ? ? x 的

对称曲线的方程为 f ( ? y , ? x ) ? 0 。 ⑥曲线 f ( x , y ) ? 0 关于点 ( a , b ) 的对称曲线的方程为 f (2 a ? x , 2 b ? y ) ? 0 。
c a (由分子、分母中 x 的系数确定),对称中心是点 ( ? d , a ) 。 (由分母为零确定)和直线 y ? c c c ⑧ | f ( x ) | 的图象先保留 f ( x ) 原来在 x 轴上方的图象, 作出 x 轴下方的图象关于 x 轴的

⑦形如 y ? ax ? b ( c ? 0, ad ? bc ) 的图像是双曲线,其两渐近线分别直线 x ? ? d
cx ? d

对称图形,然后擦去 x 轴下方的图象得到; f (| x |) 的图象先保留 f ( x ) 在 y 轴右方的图象, 擦去 y 轴左方的图象,然后作出 y 轴右方的图象关于 y 轴的对称图形得到。 提醒: (1)从结论②③④⑤⑥可看出,求对称曲线方程的问题,实质上是利用代入法转化为 求点的对称问题; (2)证明函数图像的对称性,即证明图像上任一点关于对称中心(对称轴)的对称点 仍在图像上; (3)证明图像 C 1 与 C 2 的对称性,需证两方面:①证明 C 1 上任意点关于对称 中心(对称轴)的对称点仍在 C 2 上;②证明 C 2 上任意点关于对称中心(对称轴)的对称点 仍在 C 1 上。 5. 函数的周期性。 (1)类比“三角函数图像”得: ①若 y ? f ( x ) 图像有两条对称轴 x ? a , x ? b ( a ? b ) ,则 y ? f ( x ) 必是周期函数,且 一周期为 T ? 2 | a ? b | ; ②若 y ? f ( x ) 图像有两个对称中心 A ( a , 0), B ( b , 0)( a ? b ) ,则 y ? f ( x ) 是周期函数, 且一周期为 T ? 2 | a ? b | ; ③如果函数 y ? f ( x ) 的图像有一个对称中心 A ( a , 0) 和一条对称轴 x ? b ( a ? b ) ,则函数
y ? f ( x ) 必是周期函数,且一周期为 T ? 4 | a ? b | ;

(2) 由周期函数的定义 “函数 f ( x ) 满足 f ? x ? ? f ? a ? x ? ( a ? 0) , f ( x ) 是周期为 a 则 的周期函数”得: ①函数 f ( x ) 满足 ? f ? x ? ? f ? a ? x ? ,则 f ( x ) 是周期为 2 a 的周期函数;

②若 f ( x ? a ) ? ③若 f ( x ? a ) ? ?

1 f ( x) 1

( a ? 0 ) 恒成立,则 T ? 2 a ; ( a ? 0 ) 恒成立,则 T ? 2 a .

f (x)

6. 抽象函数:抽象函数通常是指没有给出函数的具体的解析式,只给出了其它一些条 件(如函数的定义域、单调性、奇偶性、解析递推式等)的函数问题。求解抽象函数问题的 常用方法是: (1)借鉴模型函数进行类比探究。几类常见的抽象函数 : ①正比例函数型: f ( x ) ? kx ( k ? 0) --------------- f ( x ? y ) ? f ( x ) ? f ( y ) ; ②幂函数型: f ( x ) ? x 2 -------------- f ( xy ) ? f ( x ) f ( y ) , f ( ) ?
y x f ( x) f ( y) f ( x) f ( y)

; ;

③指数函数型: f ( x ) ? a x ------------ f ( x ? y ) ? f ( x ) f ( y ) , f ( x ? y ) ?
x

④对数函数型: f ( x ) ? log a x ----- f ( xy ) ? f ( x ) ? f ( y ) , f ( ) ? f ( x ) ? f ( y ) ;
y

⑤三角函数型: f ( x ) ? tan x ----- f ( x ? y ) ?

f ( x) ? f ( y) 1 ? f ( x) f ( y)

。如已知 f ( x ) 是定义在
) ? ____(答:0)

R 上的奇函数,且为周期函数,若它的最小正周期为 T,则 f ( ?

T 2

(2)利用函数的性质(如奇偶性、单调性、周期性、对称性等)进行演绎探究: (3)利用一些方法(如赋值法(令 x =0 或 1,求出 f (0) 或 f (1) 、令 y ? x 或 y ? ? x 等) 、递推法、反证法等)进行逻辑探究。


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