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2.3.1《等差数列的前n项和》课件(新人教A版必修5)-1-2课时


2.3《等差数列的前n项和》

复习回顾
1.等差数列的概念、符号语言

an-an-1=d (n∈N*且 n≥2)
2.等差数列的通项公式

推广: a n ? a m ? ? n ? m ? d, n ? m 变形:???

an=a1+(n-1)d

3.等差数列的常用性质

若数列{an}是公差为d的等差数列
1) m+n=2k,则am+an=2ak ;n,m,k∈N* 2) 若m+n=p+q,则am+an=ap+aq n,m,p,q∈N*
3) {an}是有穷等差数列,则与首末两项

等距离的两 项之和都相等,且等于首末 两项之和 即a1+an=a2+an-1=…

探究发现

泰姬陵坐落于印度古都阿 格,是十七世纪莫卧儿帝国 皇帝沙杰罕为纪念其爱妃所 建,她宏伟壮观,纯白大理 石砌建而成的主体建筑叫人 心醉神迷,成为世界七大奇 迹之一。陵寝以宝石镶饰, 图案之细致令人叫绝。 传说陵寝中有一个三角形 图案,以相同大小的圆宝石 镶饰而成,共有100层(见左 图),奢靡之程度,可见一 斑。你知道这个图案一共花 了多少宝石吗?

200多年前,德国古代著名数学家高斯 10岁 的时候很快就解决了这个问题。

高斯十岁时,有一次老师出了一道题目 ,老师说: “现在给大家出道题目: 1+2+…100=?”过了两分钟,正当大家在: 1+2=3;3+3=6;4+6=10…算得不亦乐乎时 ,高斯站起来回答说: “1+2+3+…+100=5050.”

你知道高斯是怎样计算的吗?

1+2+3+ …… +100 = ?
高斯的算法是: 首项与末项的和: 第2项与倒数第2项的和: 第3项与倒数第3项的和: …… 1+100=101 2+99 =101 3+98 =101

第50项与倒数第50项的和: 50+51=101 于是所求的和是:101× =5050

从高斯的算法你能得到什么启发?你能 解决等差数列:1,2,3· · · · , n, · · · 的前n项 和问题吗? 问题:什么是数列的前n项和?

探究发现
问题 : 如何求等差数列

等差数列?an ?的前n项和,用Sn 表示, 记作:

?an ?的前n项和?

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an
S n ? an ? an?1 ? an?2 ? ? ? a2 ? a1
如果把两式左右两端相加,将会有什么结果?

探究发现

倒序相加法

如何求等差数列?an ?的前n项和Sn ?
Sn ? a n ? a n ?1 ? a n ? 2 ? ? ? a 2 ? a1

Sn ? a1 ? a2 ? a3 ? ? ? an?1 ? an

2Sn ? ? a1 ? a n ? ? ? a 2 ? a n ?1 ? ? ? ? ? a n ? a1 ?
2S n ? n(a1 ? an )

n(a1 ? an ) 公式1 Sn ? 2

练习1:根据条件,求相应等差数列{an} 的前n项和Sn: 1)已知an=2n -1,求S100 S100=10000

2)已知a2 = 3, a5 = -6,求S20 a1=6,d= - 3 ,S20= -450

n(a1 ? an ) 公式1 Sn ? 2
an ? a1 ? (n ? 1)d

n(n ? 1) 公式2 Sn ? na1 ? d 2

练习2:根据条件,求相应等差数列{an} 的前n项和Sn:
1) a2= 3, d = 2,求S50; 2) a1= -2, d=-3,求S20;

例1:根据条件,求相应等差数列{an}的 前n项和Sn: 1) a1= - 4, a8= -18, n =8;
2) a1=14, d=-2, n=50; Sn = -88

Sn = -1450

总结:等差数列前n项和公式

公式一

公式二

n( a1 ? a n ) Sn ? 2

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2

在两个求和公式中,各有五个元素Sn、n、 a1 、an、d只要知道其中三个元素,结合通项 公式就可求出另两个元素.

公式应用 之
n ? 20,

知三求二

a1,d , n, an , S n

例2 :在等差数列 ?a n ? 中,已知: d ? 4 ,s n ? 460 ,
求 a1 及 a 20

n(n ? 1) 解: 利用 公式2 Sn ? na1 ? d 2

a = -15
1

再根据 公式1

n(a1 ? an ) Sn ? 2

a20= 61

n(n ? 1) S n ? na1 ? d 2
d? 变形得到: Sn ? d n 2 ? ? ? a1 ? ? n 2 ? 2?

公式三

Sn 是关于项数n的一元二次函数,图象是抛物线 1)当d>0,Sn 有最小值; 2)当d<0,Sn 有最大值;
观察到上面的公式三,你还有 什么发现?

练 习 (2004.全国文)等差数列 ?a n ?的前 n 项 和记为 s n .已知 a10 ? 30, a ? 50 .

(1)求通项 a n ;

a n ? 2n ? 10

20

(2)令 sn ? 242 ,求 n . n ? 11

例1. 2000年11月14日教育部下发了《关于在中 小学实施“校校通”的工程通知》.某市据此提 出了实施 “校校通”小学工程校园网.据测 算,2001年该市用于“校校通”的总目标:从 2001年起用10年的时间,在全市中小学建成不同 标准的校园网。据测算,2001年该市用于“校 校通”工程的经费为500万元.为了保证工程的 顺利实施,计划每年投入的资金都比上一年增加 50万元.那么从2001年起的未来10年内,该市在 “校校通”工程中的总投入是多少?

例2. 己知一个等差数列{an}前10项的和是 310,前20项的和是1220.由这些条件能确定这 个等差数列的前n项和的公式吗?
a ? a 1 n 解:由题意知 S10 ? ?10 ? 310 2


a1 ? a10 ? 62;



a1 ? a20 S20 ? ? 20 ? 1220 2
所以

a1 ? a20 ? 122; ② ②-①,得 10d ? 60 则 d ? 6
( n n ?1 ) 2 Sn ? a1n ? d ? 3n ? n 2

代入①得:
所以有

a1 ? 4

例3. 已知数列 ?a n ? 的前 项和 2 1 为 sn ? n ? 2 n , 求这个数列的通项公 式.这个数列是等差数列吗?如果是,它的首项 与公差分别是什么?

n

练习:若数列的前n项和Sn ? n - 10n
2

(n ? N )求此数列的通项公式a n
*

例4.己知等差数列 5,
2 4 4 , 3 ,… 7 7

的前n项和为Sn, 求使得Sn最大的项数n的值.
2 4 解:由题意知,等差数列5, 4 , 3 , …的公差 7 7
5 n ? 为 7,所以sn= 2

[2×5+(n-1)( ?
75 n ? 5n 2 14

5 7

)]
15 2 1125 n- 2 ) + 56

=

=

5 ? ( 14

课堂小结
等差数列前n项和公式

n(a1 ? an ) Sn ? 2
?Sn ? Sn ?1 , n ? 2, an ? ? ?S1 , n ? 1.

n(n ? 1) Sn ? na1 ? d 2 d 2 d ? n ? (a1 ? )n 2 2

作业布置
P46. 习题2.3 A组4、5、6,B组1、3


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