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上海市八校2013届高三下学期联合调研考试数学理试题


上海市八校 2013 届高三联合调研考试数学(理)试题
一、填空题(本题满分 56 分)本大题共有 14 题,要求在答题纸相应题序的空格内直接填写 结果,每个空格填对得 4 分,否则一律得零分。 1.若 z ? C ,且 (3 ? z )i ? 1 ,则 z ? ________________。 2.函数 y ? log0.5 x 的定义域为 。 。

3.已知 f ( x ? 1) ? 2x ? 2 ,那么 f ?1 (2) 的值是

4.方程

3 cos x cos x

sin x cos x

?

3 , x ? ?3,4? 实数解 x 为 2



5.已知 {an } 为等差数列,其前 n 项和为 Sn ,若 a3 ? 6 , S3 ? 12 ,则公差 d =



6. ?an ? 是无穷数列,已知 an 是二项式 (1 ? 2 x)n (n ? N*) 的展开式各项系数的和,记

Pn ?

1 1 1 ? ? ? ? ,则 lim Pn ? ____________。 n ?? a1 a2 an
。 。
?

7.已知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点, DE ? DC 的最大值为 8.双曲线过 ( 3,3) ,且渐近线夹角为 60 ,则双曲线的标准方程为
?

9.△ ABC 中,三内角 A 、 B 、 C 所对边的长分别为 a 、 b 、 c ,已知 ?B ? 60 ,不等式

? x 2 ? 6 x ? 8 ? 0 的解集为 {x | a ? x ? c} ,则 b ? ______。
10.从 1,2,3,4,5,6,7,8,9,10 这 10 个数中任意抽取三个数,其中仅有两个数是连续整数的概率 是 。

11.如图为一几何体的的展开图,其中 ABCD 是边长为 6 的正方形,SD=PD =6,CR=SC,AQ=AP,点 S,D,A,Q 及 P,D,C,R 共线,沿图中虚线将它们折叠, 使 P,Q,R,S 四点重合,则需要________个这样的几何体,就可以拼成一 个棱长为 12 的正方体。 12 . f (x) 为 R 上 的 偶 函 数 , g (x) 为 R 上 的 奇 函 数 且 过 ?? 1,3? ,

g ( x) ? f ( x ? 1) ,则 f (2012 ? f (2013 ? ) )



第1页

13.曲线 C 是平面内与两个定点 F1(-1,0)和 F2(1,0)的距离的积等于常数 a 2 (a ? 1) 的 点的轨迹.给出下列三个结论: ① 曲线 C 过坐标原点; ② 曲线 C 关于坐标原点对称; ③若点 P 在曲线 C 上,则△F 1 PF 2 的面积大于 其中,所有正确结论的序号是
*

1 2 a 。 2



14.设等差数列 ?an ? 满足:公差 d ? N , an ? N * ,且 ?an ? 中任意两项之和也是该数列中 的一项. 若 a1 ? 35 ,则 d 的所有可能取值之和为 。

二. 选择题(本题满分 20 分)本大题共有 4 题,每题都给出四个结论,其中有且只有一个结 论是正确的, 必须把答题纸上相应题序内的正确结论代号涂黑, 选对得 5 分, 否则一律得零分。 15.设等比数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,则“ a1 ? 0 ”是“ S3 ? S2 ”的 (A)充分而不必要条件 (C)充要条件 (B)必要而不充分条件 (D)既不充分又不必要条件 ) ( )

16.右图给出了一个程序框图,其作用是输入 x 的值,输出相应的 y 值,若要使输入的 x 值与输出的 y 值相等,则这样的 x 值有 ( (A)1 个 (B)2 个 (C)3 个 (D)4 个

x 17. 若点 M ( a, ) 和 N (b, ) 都在直线 l : ? y ? 1 上, 则点 P(c, ) ,
1 Q( , b) 和 l 的关系是 c (A)P 和 Q 都在 l 上
(C)P 在 l 上,Q 不在 l 上

1 b

1 c

1 a

(B)P 和 Q 都不在 l 上 (D)P 不在 l 上,Q 在 l 上
Q (t )

18.受全球金融危机和国家应对金融危机政策的影响,某公司 2012 年一年内每天的利润 Q (t ) (万元)与时间 t (天)的关系如图 所示,已知该公司 2012 年的每天平均利润为 35 万元,令
C (t ) (万元)表示时间段 [0, t ] 内该公司的平均利润,用图像描述 C (t ) 与 t

35

O
50
100 150 200 250 300 350

t

之间的函数关系中较准确的是(
C (t )

)
C (t )

?35

35

35

O
50
100 150 200 250 300 350

O
t
50
100 150 200 250 300 350

t

?35
C (t )

A

?35
C (t )

B

35

35

O
50 100 150 200 250 300 350

O
t
50 100 150 200 250 300 350

第2页

t

三. 解答题: (本题满分 74 分) 本大题共有 5 题, 解答下列各题必须在答题纸的规定区域 (对 应的题号)内写出必要的步骤。 19.(本题满分 12 分;第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分) 如图,已知点 P 在圆柱 OO1 的底面圆 O 上, AB 为圆 O 的直径,

A1

O1

B1

OA ? 2 , ?AOP ? 120? ,三棱锥 A1 ? APB 的体积为
(1)求圆柱 OO1 的表面积;

8 3。 3
A

O
P

B

(2)求异面直线 A B 与 OP 所成角的大小。 1 (结果用反三角函数值表示)

20.(本题满分 14 分;第(1)小题 8 分,第(2)小题 6 分) 如图,有一块边长为 1(百米)的正方形区域 ABCD,在点 A 处有一个可转 动的探照灯,其照射角 ?PAQ 始终为 45 (其中点 P、Q 分别在边 BC、
?

D

Q

C

a t 探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域 CD 上), ?P B ? ? ,tn ? ? , 设 A
的面积 S (平方百米)。 (1) 将 S 表示成 t 的函数; (2) 求 S 的最大值。

P

45? ?
A B

21. (本题满分 14 分;第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) 已知椭圆 C 以 F ? ?2,0? , F2 ? 2,0? 为焦点且经过点 P ( ? 1 (1)求椭圆 C 的方程;

5 3 , ), 2 2

(2) 已知直线 l 过点 P , 且直线 l 的一个方向向量为 m ? ? 3,3? 。 一组直线 l1 , l2 ,?, ln ,?, l2n
* ( n? N ) 都 与 直线 l 平 行 且 与 椭 圆 C 均 有 交 点 , 他们 到 直 线 l 的 距 离 依 次为

??

d , 2d ,?, nd ,?, 2nd (d ? 0) ,直线 ln 恰好过椭圆 C 的中心,试用 n 表示 d 的关系式,并求
出直线 li ?i ? 1,2,?,2n? 的方程。 (用 n 、 i 表示)

第3页

22.(本题满分 16 分;第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分) 已知下表为函数 f ( x) ? ax3 ? cx ? d 部分自变量取值及其对应函数值,为了便于研究,相关 函数值取非整数值时,取值精确到 0.01。

x
y

-0.61 0.07

-0.59 0.02

-0.56 -0.03

-0.35 -0.22

0 0

0.26 0.21

0.42 0.20

1.57 -10.04

3.27 -101.63

根据表中数据,研究该函数的一些性质: (1) 判断 f (x) 的奇偶性,并证明; (2) 判断 f (x) 在 ?0.55,0.6? 上是否存在零点,并说明理由; (3) 判断 a 的符号,并证明 f (x) 在 ?? ?,?0.35? 是单调递减函数。

23. (本题满分 18 分;第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分) 对 于 数 列 A : a1, a2 , a3 (ai ? N, i ? 1, 2,3) , 定 义 “ T 变 换 ” : T 将 数 列 A 变 换 成 数 列 其中 bi ? | ai ? ai ?1 | (i ? 1, 2) , b3 ? | a ?1a | 。 且 这种“ T 变换”记作 B ? T ( A) 。 B : b1 , b2 , b3 , 3 继续对数列 B 进行“ T 变换”, 得到数列 C : c1 , c2 , c3 , 依此类推, 当得到的数列各项均为 0 时 变换结束。 (1)试问 A : 2, 6, 4 经过不断的“ T 变换”能否结束?若能,请依次写出经过“ T 变换”得到的 各数列;若不能,说明理由; (2)设 A : a1 , a2 , a3 , B ? T ( A) 。若 B : b, 2, a (a ? b) ,且 B 的各项之和为 2012 。求 a ,

b;
(3)在(2)的条件下,若数列 B 再经过 k 次“ T 变换”得到的数列各项之和最小,求 k 的最 小值,并说明理由。

第4页

参考答案
一、填空题(本题满分 56 分,本大题共有 14 题,每题 4 分) 1、 ? 3 ? i ; 2、 ? 0,1? ; 3、 3 ; 4、

7? ; 6

5、2;

6、

1 ; 2

7、1;

8、

7 y2 x2 ? ? 1 ; 9、 2 3 ; 10、 ; 11、24; 15 8 24

12、-3;

13、②;

14、364;

二. 选择题(本题满分 20 分,本大题共有 4 题,每题 5 分) 15、C ; 16、C ; 17、A; 18、D;

三. 解答题: (本题满分 74 分) 19.(本小题满分 12 分;第(1)小题 6 分,第(2)小题 6 分) (1)由题意 在 ?AOP 中, OA ? OP ? 2, ?AOP ? 1200 ,所以 AP ? 2 3 ????????? 1 分 在 ?BOP 中, OB ? OP ? 2, ?BOP ? 600 ,所以 BP ? 2 ?????????? 2 分

1 VA1 ? APB ? S ?APB ? AA1 3
解得 AA ? 4 , 1

?

1 1 8 ? ? 2 3 ? 2 ? AA1 ? 3 3 2 3

????????????????????????????? 4 分

S 表 ? 2? ? 2 2 ? 2? ? 2 ? 4 ? 24? .?????????????????????? 6 分
(2)取 AA1 中点 Q ,连接 OQ , PQ ,则 OQ // A B , 1 得 ?POQ 或它的补角为异面直线 A B 与 OP 所成的角. ?????????? 8 分 1 又 AP ? 2 3 , AQ ? AO ? 2 ,得 OQ ? 2 2 , PQ ? 4 , 由余弦定理得 cos ?POQ ?

PO2 ? OQ2 ? PQ2 2 ,??????????? 10 分 ?? 2PO ? OQ 4
2 . ??????????????? 12 分 4

得异面直线 A B 与 OP 所成的角为 arc cos 1

20.(本题满分 14 分;第(1)小题 8 分,第(2)小题 6 分) (1) BP ? t ,0 ? t ? 1 ,??????????????????????????? 2 分

第5页

?DAQ ? 450 ? ? , DQ ? tan( 450 ? ? ) ?
S ? S 正方形ABCD - S ?ABP - S ?ADQ 1 1 1? t ? 1- t ? ? 2 2 1? t 1 2 ? 2 ? (t ? 1 ? ) 2 t ?1

1? t ?????????????? 4 分 1? t

t ? ?0,1? ???????????

8分

1 2 (2) S ? 2 ? (t ? 1 ? ),t ? ?0,1? 2 t ?1 ?????????????????? 12 分 ? 2? 2 当且仅当t ? 2 ? 1时取等号。
探照灯照射在正方形 ABCD 内部区域的面积 S 最大值为 2 ? 2 (平方百米) ?? 21. (本题满分 14 分;第(1)小题 6 分,第(2)小题 8 分) (1) 2a ? PF ? PF2 ? 2 10 ? a ? 10 ,???????????????? 1 又? c ? 2,?b2 ? 6 ,??????????????????????? 2分 4分 14 分

x2 y2 ? 椭圆C的方程: ? ? 1 ?????????????????? 10 6

6分

5 3 x? y? 2 ? x ? y ? 4 ? 0 ????????? (2)? 直线l的方程为: 2 ? 3 3
直线 l n // l 且过椭圆 C 的中心,? 直线 l n 的方程为: x ? y ? 0 由题意知:直线 l n 到 l 的距离为 nd ,即:

7分

4 2

? nd ? d ?

2 2 n
8分 9分

?d ?

2 2 , n ? N * ???????????????????????? n

?

?

设直线 li (i ? 1,2,?,2n) 的方程为: x ? y ? ci ? 0 ,????????????

x2 y2 ? ? 1 有交点, 直线 li (i ? 1,2,?,2n) 与椭圆 C : 10 6
消去 y ,得 8x ? 10ci x ? 5ci ? 30 ? 0 , ? ? 100 i ? 32(5ci ? 30) ? 0 c
2 2 2 2

? ?4 ? ci ? 4 ??????????????????????????? 11 分

第6页

由题意知: 直线 li (i ? 1,2,?,2n) 到 l 的距离为 id . 即:

ci ? 4 2

?

4 ? ci 2

? id ? ci ? 4 ? 2id

? ci ? 4 ? 2 ?

2 2 i i ? 4(1 ? ). ??????????????????? 13 分 n n
i ) ? 0 ???????? n
14 分

所以直线 li (i ? 1,2,?,2n) 的方程为: x ? y ? 4(1 ?

(1) 22.(本题满分 16 分;第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 6 分)

? f (0) ? 0,? d ? 0 ,? f ( x) ? ax3 ? cx , ?????????????

2分 4分

? f (? x) ? ? f ( x) ,? f (x) 为奇函数;?????????????????
(2) 由已知可得: f (0.59) ? ? f (?0.59) ? 0 , f (0.56) ? ? f (?0.56) ? 0 ,

? f (x) 在 ?0.56,0.59?上存在零点; ????????????????? ? f (x) 在 ?0.55,0.6? 上存在零点; ?????????????????
3 (3)? f (x) 在 ?0.55,0.6? 上存在零点 m , f ( x) ? ax ? cx 是奇函数,

8分 10 分

? f (x) 在 ?? 0.6,?0.55? 上存在零点 ? m , ? f ( x) ? ax( x ? m)(x ? m) ? f (1.57) ? a ? 1.57 ? (1.57 ? m)(1.57 ? m) ? 0 ,而 1.57 ? m ? 0,1.57 ? m ? 0
? a ? 0 ????????????????????????????
(其他解法相应给分) 12 分

c ? f ( x) ? ax ( x 2 ? ) 在 ?0.55,0.6? 上存在零点 a

? 0.55 ? ?

c c ? 0.6,? ? ?? 0.36,?0.3 0 2????????????? 5 a a

14 分

设 x1 ? x2 ? ?0.35

第7页

c 2 f ( x 2 ) ? f ( x1 ) ? a( x 2 ? x1 )( x12 ? x1 x 2 ? x 2 ? ) a
2 ? x2 ? 0.1 2 2, x1 x2 ? 0.1 2 2, x12 ? 0.1 2 2; 5 5 5
2 ? x 2 ? x1 x 2 ? x12 ?

c ? 0.3675 ? 0.36 ? 0 a

又? a ? 0

? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0
? f (x) 在 ?? ?,?0.35? 是单调递减函数。????????????????
16 分

(其他解法相应给分) 23. (本题满分 18 分;第(1)小题 4 分,第(2)小题 6 分,第(3)小题 8 分) (1)数列 A : 2, 6, 4 不能结束,各数列依次为 4, 2, 2 ; 2,0, 2 ; 2, 2,0 ; 0, 2, 2 ; 2,0, 2 ; 以下重复出现,所以不会出现所有项均为 0 的情形.??????????? (2)因为 B 的各项之和为 2012 ,且 a ? b , 所以 a 为 B 的最大项,???? 所以 | a1 ? a3 | 最大,即 a1 ? a2 ? a3 ,或 a3 ? a2 ? a1 . 4分 6分

?b ? a1 ? a2 , ? 当 a1 ? a2 ? a3 时,可得 ? 2 ? a2 ? a3 , ?a ? a ? a . 1 3 ? 由 a ? b ? 2 ? 2012 ,得 2(a1 ? a3 ) ? 2012 ,即 a ? 1006 ,故 b ? 1004 . 当 a3 ? a2 ? a1 时,同理可得 a ? 1006 , b ? 1004 . ???????? (3)由 B : b, 2, b ? 2 ,则 B 经过 6 次“ T 变换”

10 分

得 到 的 数 列 分 别 为 : b ? 2, b, 2 ; 2, b ? 2, b ? 4 ; b ? 4, 2, b ? 6 ; b ? 6, b ? 8, 2 ;

2, b ? 10, b ? 8 ; b ? 12, 2, b ? 10 .
由此可见,经过 6 次“ T 变换”后得到的数列也是形如“ b, 2, b ? 2 ”的数列,与数列 B “结构”完全相同,但最大项减少 12. ?????????????? 14 分

因为 1006 ? 12 ? 83 ? 10 ,所以,数列 B 经过 6 ? 83 ? 498 次“ T 变换”后得到的数列 为 8, 2,10 . ???????????????????????????? 16 分

接下来经过“ T 变换”后得到的数列分别为:6,8, 2 ;2,6, 4 ;4, 2, 2 ;2,0, 2 ;2, 2,0 ;

0, 2, 2 ; 2,0, 2 ,??
从以上分析可知,以后重复出现,所以数列各项和不会更小. 所以经过 498 ? 4 ? 502 次“ T 变换”得到的数列各项和最小,

第8页

k 的最小值为 502 .???????????????????????

18 分

(其它解法相应给分)

第9页


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