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数列的概念与简单的表示法一对一辅导讲义


教学目标 重点、难点 考点及考试要求

1、理解数列的概念,了解通项公式的意义和分类 2、能由通项公式求出数列的各项。反之能求出数列的前几项 3、培养学生分析问题的能力及探索规律的能力 1、数列的概念; 2、通项公式的意义和分类。 1、数列的概念 2、数列的各项 3、数列的前几项









第一课时 数列的概念与简单的表示法知识点梳理

课前检测

1、下列说法正确的是





1,3,5,7? A. 数列 1,3,5,7 可表示为 ?
B. 数列 1,0, ? 1,?2 与数列 ? 2,?1,0,1 是相同的数列
1 ? n ? 1? C. 数列 ? ? 的第 k 项是 1 ? k ? n ?

D.

数列可以看做是一个定义域为正整数集 N * 的函数 )

2、数列 1,3,6,10, x,21,28,? 中,由给出的数之间的关系可知 x 的值是( A. 12 B. 15 C. 17 D. 18 ( )

3、已知数列的通项公式为 an ? n 2 ? 8n ? 15 ,则 3 A. 不是数列 ?an ? 中的项 C.

B. 只是数列 ?an ? 中的第 2 项 D. 是数列 ?an ? 中的第 2 项或第 6 项 ( )

只是数列 ?an ? 中的第 6 项

4、数列 ?an ? 的通项公式为 an ? 3n 2 ? 28n ,则数列 ?an ? 各项中最小项是 A. 第 4 项 B. 第5项 C. 第6项 D. 第7项 ( )

5、已知数列 1, 3, 5, 7 ,?, 2n ? 1,?,则 3 5 是它的 A. 第 22 项 B. 第 23 项 C. 第 24 项 D.

第 28 项

知识梳理 知识点一:数列的概念 ⒈ 数列的定义:按一定顺序排列的一列数叫做数列. 注意:⑴数列的数是按一定次序排列的,因此,如果组成两个数列的数相同而排列次序不同,那么 它们就是不同的数列; ⑵定义中并没有规定数列中的数必须不同,因此,同一个数在数列中可以重复出现. ⒉ 数列的项: 数列中的每一个数都叫做这个数列的项. 各项依次叫做这个数列的第 1 项, 第 2 项, …, 第 项,….其中数列的第 1 项也叫作首项。 3. 数列的一般形式: ,或简记为 ,其中 是数列的第 项

知识点二:数列的分类 1. 根据数列项数的多少分: 有穷数列:项数有限的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6 是有穷数列 无穷数列:项数无限的数列.例如数列 1,2,3,4,5,6,…是无穷数列 2. 根据数列项的大小分: 递增数列:从第 2 项起,每一项都大于它的前一项的数列。 递减数列:从第 2 项起,每一项都小于它的前一项的数列。 常数数列:各项相等的数列。 摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列 知识点三:数列的通项公式与前 项和 1. 数列的通项公式 如果数列 通项公式. 如数列: 的通项公式为 的通项公式为 ( ( ) ; ) ; 的第 项 与 之间的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的

的通项公式为



) ;

注意: (1)并不是所有数列都能写出其通项公式; (2)一个数列的通项公式有时是不唯一的,如数列:1,0,1,0,1,0,…; 它的通项公式可以是 ,也可以是 .

(3)数列通项公式的作用:①求数列中任意一项;②检验某数是否是该数列中的一项. (4)数列的通项公式具有双重身份,它表示了数列的第 项,又是这个数列中所有各项的一般表 示. 2. 数列 的前 项和

数列 当 时

的前 项逐个相加之和: ;当 时, ,

; .

故 . 知识点四:数列与函数的关系 数列可以看成以正整数集 (或它的有限子集 小到大依次取值时对应的一列函数值。 反过来,对于函数 ,如果 ( )为定义域的函数 ,当自变量从 ,

)有意义,那么我们可以得到一个数列

, ,…, ,…;通项公式反映了一个数列项与项数的函数关系,给了数列的通项公式, 这个数列便确定了,代入项数就可求出数列的每一项. 关于数列的一些问题常通过函数的相关知识方法解决,如:单调性,最值等. 知识点五:数列的表示方法 数列可看作特殊的函数,其表示也应与函数的表示法(解析式法、图象法、列表法)有联系 1. 通项 公式法(解析式法) : 如果数列 的第 项与序号 之间的关系可以用一个公式来表示, 那么这个公式就叫做这个数列的 通项公式。 2. 图象法: 数列是一种特殊的函数,可以用函数图象的画法画数列的图形.具体方法是以项数 为横坐标,相 应的项 为纵坐标,即以 为坐标在平面直角坐标系中做出点。所得的数列的图形是一群孤立 的点,因为横坐标为正整数,所以这些点都在 轴的右侧,而点的个数取决于数列的项数.从图象 中可以直观地看到数列的项随项数由小到大变化而变化的趋势. 3. 列表法 相对于列表法表示一个函数, 数列有这样的表示法: 用 表示第 项,依次写出成为 4. 递推公式法 , ,…, 表示第一项, 用 . 表示第二项, ……,用

,…,简记为

递推公式:如果已知数列 的第 1 项(或前几项) ,且任一项 与它的前一项 (或前 项)间 的关系可以用一个公式来表示,那么这个公式就叫做这个数列的递推公式。递推公式也是给出数列 的一种方法。 如数列:3,5,8,13,21,34,55,89,…的递推公式为: .

第二课时数列的概念与简单的表示法典型例题

典型例题

题型一:根据数列的前几项写出数列的一个通项公式

例 1.写出下列各数列的一个通项公式,使其前四项分别是: (1) 0, 解析: (1)将数列改写为 , , , ,…, 故 来表示; . , , ,…;(2) 1, , , ,…;(3) 9, 99,999, 9999,…;(4) 6, 1, 6,1,….

(2)此数列奇数项为正,偶数项为负,可用

其绝对值中分子为奇数数列,分母是自然数的平方数列,故 (3)将数列改写为 , , , ,…, 故 .

.

(4)将数列每一项减去 6 与 1 的平均值

得新数列

, -

,

, -

,…,





总结升华:写通项时注意以下常用思路: ①若数列中的项均为分数,则先观察分母的规律再观察分子的规律,如(1);特别注意有时分数 是约分后的结果,要根据观察还原分数; ②注意(-1)n 在系数中的作用是让数列中的项正、负交替出现,如(2);(-1)n 作指数,让数列中 隔项出现倒数; ③(4)可视为周期数列,故想到找一个周期为 2 的函数为背景。 ④归纳猜想的关键是从特殊中去寻找一般规律,很多情况下是将已写出的项进行适当的变形,使规 律明朗化.

变 1.根据下面数列的前几项的值,写出数列的一个通项公式: (1) 3, 5, 9, 17, 33,…; (2)1, (3) 0, 1, 0, 1, 0, 1,…; (4)-
1 1 1 , , - ,…; 2 3 4

2 1? 3



4 3? 5

,-

8 5? 7



16 7?9



…;

变 2.某数列{an}的前四项为 0,

2

,0,

2

,则以下各式:

①an=

2 2

[1+(-1) ]

n

②an= )

1 ? (?1)n

③an= ?

?

?0

2 ( n为偶数 ) ( n为奇数 )

其中可作为{an}的通项公式的是( A.① B.①②

C.②③

D.①②③

题型二:已知数列的前 n 项和,求通项公式
⑴ Sn ? 2n 2 ? 3n ; ⑵ Sn ? 3n ? 1 .

例 2.已知下列数列 ?an ? 的前 n 项和 Sn ,分别求它们的通项公式 an .

( ?S 1 n ? 1) 【解题思路】利用 an ? ? ,这是求数列通项的一个重要公式. ?Sn ? Sn?1 (n ? 2) 【解析】⑴当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 2 ? 12 ? 3 ? 1 ? 5 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (2n 2 ? 3n) ? 2(n ? 1)2 ? 3(n ? 1) ? 4n ? 1 .

?

?

当 n ? 1 时, 4 ? 1 ? 1 ? 5 ? a1 ,?an ? 4n ? 1 . ⑵当 n ? 1 时, a1 ? S1 ? 3 ? 1 ? 4 , 当 n ? 2 时, an ? Sn ? Sn?1 ? (3n ? 1) ? (3n?1 ? 1) ? 2 ? 3n?1 .

?4(n ? 1) 当 n ? 1 时, 2 ? 31?1 ? 2 ? a1 ,? an ? ? . n ?1 ?2 ? 3 (n ? 2)
例 3.已知数列 (1) 思路点拨: 先由 符合所求出的 解析: (1)当 当 时, 时, , , . 的前 项和公式 , 时, (2) ,求出 ,求通项 . . ;再由当 时, ,求出 ,并验证 是否



(2)当

时,



时,





(

)为所求.

总结升华:已知

求出

依据的是

的定义:

,分段求解,然后检验结果

能否统一形式,能就写成一个,否则只能写成分段函数的形式.

变 3.已知数列

的前 项和

,求通项

.

变 4.已知数列

的前 项积

,求通项

变 5.已知数列的前 n 项和 Sn 满足 log2(Sn+1)=n+1,求{an}的通项公式

题型三:已知数列的递推式,求通项公式
例 4.数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an ?
2an ?1 (n ? 2) ,求 a2 , a3 , a4 , a5 ,并归纳出 an . 2 ? an ?1 【解题思路】已知 ?an ? 的递推公式 an ? f (an?1 ) 求前几项,可逐步计算. 2an ?1 【解析】? a1 ? 1, an ? (n ? 2) , 2 ? an ?1 2a 3 2a1 2a 2 2a 4 2 2 2 2 ? , a4 ? ? , a5 ? ? , ? , a3 ? ? a2 ? 2 ? a2 4 2 ? a3 5 2 ? a4 6 2 ? a1 3 2 2 2 2 2 2 由 , , , , , ? ,可以归纳出 a n ? . 2 3 4 5 6 n ?1

变 6.已知数列

满足:



,写出前 5 项,并猜想



变 7.数列 ?an ? 中, a1 ? 1, an?1 ? 2an ? 1 ,求 a2 , a3 , a4 , a5 ,并归纳出 an .

题型四:已知数列通项公式,求项数及最大(最小)项

例 5.数列 ?an ? 中, an ? n 2 ? 5n ? 4 .⑴ 18 是数列中的第几项?⑵ n 为何值时, an 有最小值?并求最小 值. 【解题思路】数列的通项 an 与 n 之间构成二次函数,可结合二次函数知识去探求. 【解析】⑴由 n 2 ? 5n ? 4 ? 18 ? n 2 ? 5n ? 14 ? 0 ,解得 n ? 7 ,? 18 是数列中的第 7 项. 5 2 9 2 ⑵? a n ? n ? 5n ? 4 ? ( n ? ) ? , n ? N ? ? n ? 2 或 n ? 3 时, (an ) min ? 22 ? 4 ? 2 ? 5 ? ?2 . 2 4 【变式】数列 ?an ? 中, an ? 3n 2 ? 28n ? 1 ,求 an 取最小值时 n 的值.

14 ? 193 ? 【解析】 an ? 3n 2 ? 28n ? 1 ? 3? n ? ? ? ,? n ? 5 时, an 取最小值. 3? 3 ? 【反思归纳】利用二次函数知识解决数列问题时,必须注意其定义域 n 为正整数.

2

题型五:已知数列通项公式,判断数列单调性及有界性
例 6.已知数列 中 ,判断数列 的单调性,并给以证明. 思路点拨:选择数列中任意相邻两项作差比较即可. 解析:∵ ∴ , ( )

∴数列 是递增数列. 总结升华:数列也是函数,可以用证明函数的单调性的方法来证明.

变 8.数列 中: , ( ) (1)写出它的前五项,并归纳出通项公式; (2)判断它的单调性.

第三课时数列的概念与简单的表示法课堂检测

课堂检测 一、选择题 1.已知数列{ a n }中,an= n 2 +n,则 a 3 等于( ) )

A.3 B.9C.12 D.20 2.下列数列中,既是递增数列又是无穷数列的是( 1 1 1 A.1, , , ,…B.-1,-2,-3,-4,… 2 3 4 1 1 1 C.-1,- ,- ,- ,…D.1, 2, 3,…, n 2 4 8 3.下列说法不正确的是( ) A.根据通项公式可以求出数列的任何一项 B.任何数列都有通项公式 C.一个数列可能有几个不同形式的通项公式 D.有些数列可能不存在最大项 2 4 6 8 4.数列 , , , ,…的第 10 项是( 3 5 7 9 A. 16 18 20 22 B. C. D. 17 19 21 23 )

5.已知非零数列{ a n }的递推公式为 a n = A.3 a1 B.2 a1 C.4 a1 D.1

n a · n -1(n>1),则 a 4 =( n-1

)

1 6.已知数列{ a n }满足 a1 >0,且 a n +1= a n ,则数列{an}是( 2 A.递增数列 二、填空题 B.递减数列 C.常数列 D.摆动数列

)

7.已知数列{ a n }的通项公式 a n =19-2n,则使 an>0 成立的最大正整数 n 的值为__________.

8.已知数列{ a n }满足 a1 =2,a 2 =5,a 3 =23,且 a n +1=α a n +β ,则α 、β 的值分别为________、 ________. 9.已知{ a n }满足 a n = 三、解答题 2 3 4 10.写出数列 1, , , ,…的一个通项公式,并判断它的增减性. 3 5 7 4 (?1) n +1(n≥2), a 7 = ,则 a5 =________. 7 an?1

11.在数列{ a n }中, a 1 =3, a17 =67,通项公式是关于 n 的一次函数. (1)求数列{ a n }的通项公式; (2)求 a2016 ; (3)2015 是否为数列{ a n }中的项?若是,为第几项?

12.数列{ a n }的通项公式为 a n =30+n- n 2 . (1)问-60 是否是{ a n }中的一项? (2)当 n 分别取何值时, a n =0, a n >0, a n <0?


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