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高中数学人教版必修5知识点总结


高中数学必修 5 知识点
1、正弦定理:在 ? ? ? C 中, a 、 b 、 c 分别为角 ? 、 ? 、 C 的对边, R 为 ? ? ? C 的外接 圆的半径,则有
a sin ? ? b sin ? ? c sin C ? 2R .

2、正弦定理的变形公式:① a ? 2 R sin ? , b ? 2 R sin ? , c ? 2 R sin C ; ② sin ? ?
a 2R a?b?c sin ? ? sin ? ? sin C

, sin ? ?

b 2R

, sin C ?

c 2R



③ a : b : c ? sin ? : sin ? : sin C ; ④
sin ? sin ? sin C 1 1 1 3、三角形面积公式: S ? ? ? C ? b c sin ? ? a b sin C ? a c sin ? . 2 2 2 ? a ? b ? c



4、余弦定理:在 ? ? ? C 中,有 a ? b ? c ? 2 bc cos ? , b ? a ? c ? 2 ac cos ? ,
2 2 2 2 2 2

c ? a ? b ? 2 ab cos C .
2 2 2

5、余弦定理的推论: co s ? ?

b ?c ?a
2 2

2

, co s ? ?

a ?c ?b
2 2

2

, co s C ?

a ?b ?c
2 2

2



2bc

2ac
2 2 2

2ab
?

6、设 a 、 b 、 c 是 ? ? ? C 的角 ? 、 ? 、 C 的对边,则:①若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ; ②若 a ? b ? c ,则 C ? 90 ;③若 a ? b ? c ,则 C ? 90 .
2 2 2 2 2 2

?

?

7、数列:按照一定顺序排列着的一列数. 8、数列的项:数列中的每一个数. 9、有穷数列:项数有限的数列. 10、无穷数列:项数无限的数列. 11、递增数列:从第 2 项起,每一项都不小于它的前一项的数列. 12、递减数列:从第 2 项起,每一项都不大于它的前一项的数列. 13、常数列:各项相等的数列. 14、摆动数列:从第 2 项起,有些项大于它的前一项,有些项小于它的前一项的数列. 15、数列的通项公式:表示数列 ? a n ? 的第 n 项与序号 n 之间的关系的公式. 16、数列的递推公式:表示任一项 a n 与它的前一项 a n ? 1 (或前几项)间的关系的公式. 17、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的差等于同一个常数,则这个数列称为 等差数列,这个常数称为等差数列的公差. 18、由三个数 a , ? , b 组成的等差数列可以看成最简单的等差数列,则 ? 称为 a 与 b 的 等差中项.若 b ?
a?c 2

,则称 b 为 a 与 c 的等差中项.

19、若等差数列 ? a n ? 的首项是 a 1 ,公差是 d ,则 a n ? a1 ? ? n ? 1 ? d . 20、通项公式的变形:① a n ? a m ? ? n ? m ? d ;② a1 ? a n ? ? n ? 1 ? d ;③ d ?

a n ? a1 n ?1



④n ?

a n ? a1 d

? 1 ;⑤ d ?

an ? am n?m



* 21、若 ? a n ? 是等差数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 a m ? a n ? a p ? a q ; * 若 ? a n ? 是等差数列,且 2 n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 2 a n ? a p ? a q .

22、等差数列的前 n 项和的公式:① S n ?

n ? a1 ? a n ? 2

;② S n ? n a 1 ?
*

n ? n ? 1? 2

d.

23、等差数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2 n ? n ? ?

? ,则 S 2 n ? n ? a n ? a n ? 1 ? ,且

S 偶 ? S 奇 ? nd ,

S奇 S偶

?

an a n ?1
*



②若项数为 2 n ? 1 ? n ? ?

? ,则 S

2 n ?1

? ? 2 n ? 1 ? a n ,且 S 奇 ? S 偶 ? a n ,

S奇 S偶

?

n n ?1

(其中

S 奇 ? n an , S 偶 ? ? n ? 1? a n ) .

24、如果一个数列从第 2 项起,每一项与它的前一项的比等于同一个常数,则这个数列称为 等比数列,这个常数称为等比数列的公比. 25、 a 与 b 中间插入一个数 G , a ,G ,b 成等比数列, G 称为 a 与 b 的等比中项. 在 使 则 若
G ? ab ,则称 G 为 a 与 b 的等比中项.
2

26、若等比数列 ? a n ? 的首项是 a 1 ,公比是 q ,则 a n ? a1 q 27、通项公式的变形:① a n ? a m q
n?m

n ?1


n ?1

;② a 1 ? a n q

? ? n ?1 ?

;③ q

?

an a1

;④

q

n?m

?

an am



* 28、若 ? a n ? 是等比数列,且 m ? n ? p ? q ( m 、 n 、 p 、 q ? ? ) ,则 a m ? a n ? a p ? a q ;

* 若 ? a n ? 是等比数列,且 2 n ? p ? q ( n 、 p 、 q ? ? ) ,则 a n ? a p ? a q .

2

? n a1 ? q ? 1 ? ? 29、等比数列 ? a n ? 的前 n 项和的公式: S n ? ? a 1 ? 1 ? q n ? a ? a q . n ? 1 ? q ? 1? ? 1? q ? 1? q

30、等比数列的前 n 项和的性质:①若项数为 2 n ? n ? ? ② S n?m ? S n ? q ? S m .
n

*

? ,则

S偶 S奇

? q .

③ S n , S 2 n ? S n , S 3 n ? S 2 n 成等比数列. 31、 a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b ; a ? b ? 0 ? a ? b . 32、 不等式的性质: ① a ? b ? b ? a ; a ? b , b ? c ? a ? c ; a ? b ? a ? c ? b ? c ; ② ③ ④ a ? b , c ? 0 ? ac ? bc , a ? b , c ? 0 ? ac ? bc ;⑤ a ? b , c ? d ? a ? c ? b ? d ; ⑥ a ? b ? 0, c ? d ? 0 ? ac ? bd ;⑦ a ? b ? 0 ? a ? b
n n

? n ? ? , n ? 1? ;

⑧a ? b ? 0 ?

n

a ?

n

b ? n ? ? , n ? 1? .

33、一元二次不等式:只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式. 34、二次函数的图象、一元二次方程的根、一元二次不等式的解集间的关系: 判别式 ? ? b ? 4 ac
2

? ?0

? ?0

? ?0

二次函数 y ? a x ? b x ? c
2

?a

? 0 ? 的图象

有两个相异实数根 一元二次方程 a x ? b x ? c ? 0
2

x1, 2 ?

?b ? 2a

?

有两个相等实数根
x1 ? x 2 ? ? b 2a

没有实数根

?a

? 0 ? 的根

? x1
ax ? bx ? c ? 0
2

? x2 ?
x ? x1 或 x ? x 2 ?

一元二次 不等式的 解集
ax ? bx ? c ? 0
2

?x

?a ? 0?

? b ? ?x x ? ? ? 2a ? ?

R

?x

x1 ? x ? x 2 ?

?

?

?a

? 0?

35、二元一次不等式:含有两个未知数,并且未知数的次数是 1 的不等式. 36、二元一次不等式组:由几个二元一次不等式组成的不等式组. 37、二元一次不等式(组)的解集:满足二元一次不等式组的 x 和 y 的取值构成有序数对

? x , y ? ,所有这样的有序数对 ? x , y ? 构成的集合.
38、在平面直角坐标系中,已知直线 ? x ? ? y ? C ? 0 ,坐标平面内的点 ? ? x 0 , y 0 ? . ①若 ? ? 0 , ? x 0 ? ? y 0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x 0 , y 0 ? 在直线 ? x ? ? y ? C ? 0 的上方. ②若 ? ? 0 , ? x 0 ? ? y 0 ? C ? 0 ,则点 ? ? x 0 , y 0 ? 在直线 ? x ? ? y ? C ? 0 的下方. 39、在平面直角坐标系中,已知直线 ? x ? ? y ? C ? 0 .
y ? ①若 ? ? 0 , ? x?? ? C 则 0 表示直线 ? x ? ? y ? C ? 0 上方的区域; x ? ? y ? C ? 0 表 ?

示直线 ? x ? ? y ? C ? 0 下方的区域.
y ? ②若 ? ? 0 , ? x?? ? C 则 0 表示直线 ? x ? ? y ? C ? 0 下方的区域; x ? ? y ? C ? 0 表 ?

示直线 ? x ? ? y ? C ? 0 上方的区域. 40、线性约束条件:由 x , y 的不等式(或方程)组成的不等式组,是 x , y 的线性约束条 件. 目标函数:欲达到最大值或最小值所涉及的变量 x , y 的解析式. 线性目标函数:目标函数为 x , y 的一次解析式. 线性规划问题:求线性目标函数在线性约束条件下的最大值或最小值问题. 可行解:满足线性约束条件的解 ? x , y ? . 可行域:所有可行解组成的集合. 最优解:使目标函数取得最大值或最小值的可行解. 41、设 a 、 b 是两个正数,则 几何平均数. 42、均值不等式定理: 若 a ? 0 , b ? 0 ,则 a ? b ? 2 a b ,即 43、常用的基本不等式:① a ? b ? 2 a b ? a , b ? R ? ;② a b ?
2 2

a?b 2

称为正数 a 、 b 的算术平均数, a b 称为正数 a 、 b 的

a?b 2

?

ab .

a ?b
2

2

2

? a,b ? R ? ;

③ ab ? ?

?a?b? ? ? 2 ?

2

? a ? 0, b ? 0 ? ;④

a ?b
2

2

2

?a?b? ?? ? ? 2 ?

2

? a,b ? R ? .

44、极值定理:设 x 、 y 都为正数,则有 ⑴若 x ? y ? s (和为定值) ,则当 x ? y 时,积 x y 取得最大值
s 4
2



⑵若 xy ? p (积为定值) ,则当 x ? y 时,和 x ? y 取得最小值 2

p .


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