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高一数学北师大版必修1课件:1.1.1集合的含义_图文

1.1 集合的含义 【课标要求】 1.通过实例理解集合的有关概念. 2.初步理解集合中元素的三个特性. 3.体会元素与集合的属于关系. 4.了解常用数集及其专用符号,学会用集合语言表示有关数学对 象. |新知预习| 1.集合、元素的含义及标记方法 含义 标记方法 集 指定的某些 常用大写字母 A, 合 对象的全体 B,C,D,?标记 元 集合中的每 常用小写字母 a, 素 个对象 b,c,d,?标记 2.元素与集合间的关系 (1)属于:若 a 在集合 A 中,则 a 属于集合 A,记作 a∈A. (2)不属于:若 a 不在集合 A 中,则 a 不属于集合 A,记作 a?A. 3.常用的数集及其记法 |自我尝试| 1.判断(正确的打“√”,错误的打“×”) (1)组成集合的元素一定是数.( × ) (2)高一四班的全体同学组成一个集合.( √ ) (3)一个集合中可以找到两个相同的元素.( × ) (4)集合 N 中的最小元素为 0.( √ ) (5)若 a∈Q,则一定有 a∈R.( √ ) 2.下列各项中,不能组成集合的是( ) A.所有的正数 B.所有的老人 C.不等于 0 的数 D.我国古代四大发明 【解析】 “老人”无明确的标准,对于某个人是否“老”无法 客观地判断,因此“所有的老人”不能构成集合,故选 B. 【答案】 B 3.已知集合 A 由 x<1 的数构成,则有( A.3∈A B.1∈A C.0∈A D.-1?A ) 【解析】 很明显 3,1 不满足不等式,而 0,-1 满足不等式. 【答案】 C 4.已知集合 M 具有性质:若 a∈M,则 2a∈M,现已知-1∈M, 则下列元素一定是 M 中的元素的是( ) A.1 B.0 C.-2 D.2 【解析】 因为 a∈M, 且 2a∈M, 又-1∈M, 故-1×2=-2∈M. 【答案】 C 5.设直线 y=2x+3 上的点集为 P,点(2,7)与点集 P 的关系为 (2,7)________P(填“∈”或“?”). 【解析】 直线 y=2x+3 上的点的横坐标 x 和纵坐标 y 具有 y= 2x+3 的关系,即只要具备此关系的点就是集合 P 的元素. 由于当 x=2 时,y=2×2+3=7, 故(2,7)∈P. 【答案】 ∈ 课堂探究 ? 类型一 集合的概念 [例 1] 下列对象能构成集合的是( ) A.高一年级全体较胖的学生 B.sin 30° ,sin 45° ,cos 60° ,1 C.全体很大的自然数 D.平面内到△ABC 三个顶点距离相等的所有点 【解析】 由于较胖与很大没有一个确定的标准,因此 A,C 不 能构成集合;对于 B 中由于 sin 30° =cos 60° 不满足互异性;对于 D 满 足集合的三要素,因此选 D. 【答案】 D 方法归纳, 判断一组对象组成集合的依据 判断给定的对象能不能构成集合,关键在于能否找到一个明确的 标准,对于任何一个对象,都能确定它是不是给定集合的元素. 跟踪训练 1 下列各项中,不可以组成集合的是( A.所有的正数 B.等于 2 的数 C.接近于 0 的数 D.不等于 0 的偶数 ) 【解析】 由于接近于 0 的数,没有一个确定的标准,因此 C 中 的对象不能构成集合.故选 C. 【答案】 C ? 类型二 元素与集合的关系 [例 2] 已知集合 A 中含有三个元素 1,0,x,若 x3∈A,求实数 x 的值. 【思路点拨】 本题在解题过程中,易犯两个错误,一个是没有 考虑到元素的互异性,解出来的结果没有代入去检验,而得出错误的 结果;再一个是解 x3=x 时,漏掉了 x=-1 这个答案,也导致了错误 的结果. 【解析】 ∵x3∈A, ∴x3 是集合 A 中的元素. 又∵集合 A 中含有 3 个元素,∴需分情况讨论: ①若 x3=0, 则 x=0, 此时集合 A 中有两个元素 0, 不符合互异性, 舍去. ②若 x3=1, 则 x=1, 此时集合 A 中有两个元素 1, 不符合互异性, 舍去. ③若 x3=x,则 x=0、x=-1 或 x=1,当 x=0、x=1 时不符合互 异性,都舍去.当 x=-1 时,此时集合 A 中有三个元素 1,0,-1,符 合互异性. 综上可知,x=-1. 方法归纳, 判断元素和集合关系的两种方法 (1)直接法:如果集合中的元素是直接给出的,只要判断该元素在 已知集合中是否给出即可. 此时应首先明确集合是由哪些元素构成的. (2)推理法:对于某些不便直接表示的集合,判断元素与集合的关 系时,只要判断该元素是否满足集合中元素所具有的特征即可.此时 应首先明确已知集合的元素具有什么属性,即该集合中元素要符合哪 种表达式或满足哪些条件. 跟踪训练 2 在本例中,若将“x3∈A”改为“x2∈A”,求实数 x 的值. 【解析】 ∵x2∈A,∴x2 是集合 A 中的元素. 又集合 A 中含有 3 个元素, ∴必须分情况讨论: ①若 x2=0, 则 x=0, 此时集合 A 中有两个元素 0, 不符合互异性, 舍去. ②若 x2=1,则 x=± 1,当 x=1 时,集合 A 中有两个元素 1,不符 合互异性,舍去.当 x=-1 时,集合 A 中有三个元素 1,0,-1,符合 互异性. ③若 x2=x,则 x=0 或 x=1,当 x=0 或 x=1 时,均不符合互异 性,都舍去, 综上可知,x=-1. ? 类型三 集合元素的特性 [例 3] 已知集合 A 含有两个元素 a-3 和 2a-1,若-3∈A,试 求实数 a 的值. 【解析】 因为-3∈A,所以-3=a-3 或-3=2a-1. 若-3=a-3,即 a=0. 此时集合 A 含有两个元素-3,-1,符合题意. 若-3=2a-1,则 a=-1, 此时集合 A 含有两个元素-4,-3,符合题意. 综上所述,满足题意的实数 a 的值为 0 或-1

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