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高二数学椭圆试题


椭圆方程及性质的应用 一、选择题(每小题 4 分,共 48 分) 1.椭圆以两条坐标轴为对称轴,一个顶点是(0,13),另一个顶点是(-10,0), 则焦点坐标为( A.(±13,0) 2.椭圆 + =1 与 A.有相等的长、短轴 C.有相同的焦点 ) B.(0,±10) + C.(0,±13) D.(0,± ) )

则|AB|等于( A.4

) B.2 C.1 D.4

8.已知直线 l 过点(3,-1),且椭圆 C: + =1,则直线 l 与椭圆 C 的公共点的 个数为( A.1 ) B.1 或 2 C.2 D.0 )

=1(0<k<9)的关系为( B.有相等的焦距

9.直线 y=kx-k+1 与椭圆 + =1 的位置关系是( A.相交 B.相切 C.相离

D.不确定

D.有相等的离心率 )

10.已知椭圆 mx2+ny2=1 与直线 x+y=1 相交于 A,B 两点,M 为 AB 的中点,O 为 坐标原点,若直线 OM 的斜率为 A. B. ,则 的值为( C. ) D.2

3.若椭圆的长轴长、 短轴长和焦距成等差数列,则该椭圆的离心率是( A. B. C. D.

4.已知椭圆 + =1 及以下 3 个函数:①f(x)=x; ②f(x)=sinx;③f(x)=cosx,其中函数图象能等分该椭圆面积的函数个数有 ( )A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.0 个

11.如果 AB 是椭圆 + =1 的任意一条与 x 轴不垂直的弦,O 为椭圆的中 心,e 为椭圆的离心率,M 为 AB 的中点,则 kAB?kOM 的值为( A.e-1 B.1-e C.e2-1 D.1-e2 ) )

5.设 AB 是椭圆 + =1(a>b>0)的长轴,若把线段 AB 分为 100 等份,过每个 分点作 AB 的垂线,分别交椭圆的上半部分于点 P1,P2,…,P99,F1 为椭圆的左 焦点,则|F1A|+|F1P1|+|F1P2|+…+|F1P99|+|F1B|的值是( A.98a 6.椭圆 + A.-21 B.99a C.100a ) D. 或 21 )

12.椭圆 + =1 中,以点 M(-1,2)为中点的弦所在的直线斜率为( A. B. C. D.-

二、填空题(每小题 4 分,共 20 分) 13.如图,F1,F2 分别为椭圆 + =1 的左、右焦点,点 P 在椭 圆 上 , △ POF2 是 面 积 为 是 . 的 正 三 角 形 , 则 b2 的 值

D.101a

=1 的离心率为 ,则 k 的值为( B.21 C.- 或 21

7.过椭圆 +y2=1 的右焦点且与椭圆长轴垂直的直线与椭圆相交于 A,B 两点, 14.已知椭圆的中心在坐标原点,焦点在 y 轴上,且长轴长为 12,离心率为 ,

则椭圆方程为

. ,则Γ 的

19.椭圆 ax2+by2=1 与直线 x+y-1=0 相交于 A,B 两点,C 是 AB 的中点,若 |AB|=2 ,OC 的斜率为 ,求椭圆的方程.

15.设 AB 是椭圆Γ 的长轴,点 C 在Γ 上,且∠CBA= ,若 AB=4,BC= 两个焦点之间的距离为 .

16.若点 O 和点 F 分别为椭圆 + =1 的中心和左焦点,点 P 为椭圆上的任 意一点,则 三、解答题 17.设椭圆的中心在原点,焦点在 x 轴上,离心率 e= 个椭圆上的点的最远距离为 ,求这个椭圆方程. ,已知点 P 到这 20.已知离心率为 (1)求椭圆的方程. (2)已知与圆 x2+y2= 相切的直线 l 与椭圆 C 相交于不同两点 A,B,O 为坐标原 点, 求 ? 的值. 的椭圆 C: + =1(a>b>0)过点 M( ,1). ? 的最大值为 .

18.已知 F1,F2 是椭圆的两个焦点,P 为椭圆上一点,∠F1PF2=60°. (1)求椭圆离心率的范围. (2)求证:△F1PF2 的面积只与椭圆的短轴长有关.

椭圆方程及性质的应用参考答案 1 【解析】选 D. 由条件知 , 椭圆的焦点在 y 轴上 , 且 a=13,b=10, 所以

由 =

= ,得 k=21.

7【解析】选 C.因为 +y2=1 中 a2=4,b2=1, c2=a2-b2=169-100=69,所以焦点坐标为(0,〒 2【解析】选 B.对于椭圆 c2=(25-k)-(9-k)=16, 焦点在 y 轴上,所以它们有相等的焦距. 所以点(3,-1)在椭圆的内部,故直线 l 与椭圆有 2 个公共点. 3 【解析】选 B. 由椭圆的长轴长、短轴长和焦距成等差数列 , 所以 2 〓 9【解析】选 A.直线 y=kx-k+1=k(x-1)+1 过定点(1,1),且该点在椭圆内部, 2b=2a+2c,即 2b=a+c,所以 5c -3a +2ac=0,等式两边同除以 a 得 5e +2e-3=0, 因此必与椭圆相交,故选 A. 解得 e= 或 e=-1(舍). 10【解析】选 A.设 A(x1,y1),B (x2,y2),线段 AB 的中点 M(x0,y0), 4【解析】选 B.我们知道:①f(x)=x,②f(x)=sinx 都是奇函数,其图象关于 原点对称,而椭圆 + =1 的图象也关于原点对称,故①②函数图象能等分 因为 A,B 在椭圆上,所以 m 该 椭 圆 面 积 ; 而 ③ f(x)=cosx 是 偶 函 数 , 其 图 象 不 关 于 原 点 对 称 , 故 两式相减可得 m(x1-x2)(x1+x2)+n(y1-y2)(y1+y2)=0 ② f(x)=cosx 的图象不能等分该椭圆面积.综上可知:只有①②满足条件. 5 【 解 析 】 选 D. 设 F2 为 椭 圆 的 右 焦 点 , 根 据 椭 圆 的 定 义 及 对 称 性 有:|F1P1|=|F2P99|,|F1P2|=|F2P98|,…,|F1P49|=|F2P51|, 因此|F1P1|+|F1P99|=|F1P2|+|F1P98|=…=|F1P49|+|F1P51|=|F1A|+|F1B|=2a. 故结果应为 50〓2a+|F1P50|=101a. 【解析】 6 选 C.当椭圆的焦点在 x 轴上时,a2=9,b2=4+k,得 c2=5-k,由 = 得 k=- ;。当焦点在 y 轴上时,a2=4+k,b2=9,得 c2=k-5, 12.【解析】选 B.设弦的两个端点为 A(x1,y1),B(x2,y2), = , 所以 k ?k = AB OM 所以 =,即-1=,所以-1=- ? , = . +n =1,m +n =1, 由题意可得 = = , =-1 ①
2 2 2 2

). 所以 c2=3,所以右焦点坐标 F( ,0), 将 x= 代入 +y2=1 得,y=〒 ,故|AB|=1. <1,

+

=1(0<k<9), 8【解析】选 C.因为直线过定点(3,-1)且 +

11.【解析】选 C.设 A(x1,y1),B(x2,y2),中点 M(x0,y0), 由点差法, + =1, + =1,作差得 = ? = , = =e2-1.



①-②得

+

=0,

线的对称轴为 x0=-2,因为-2≤x0≤2,所以当 x0=2 时, +2+3=6.答案:6

?

取得最大值

又因为弦中点为 M(-1,2),所以 x1+x2=-2,y1+y2=4, 所以 + =0,所以 k= = = . c2= ,所以 c=2. =1,所以 + =1.

17.【解析】设椭圆方程为 + =1(a>b>0),M(x,y)为椭圆上的点,由 = a=2b,|PM|2=x2+ =-3 +4b2+3(-b≤y≤b), =7,



13.【解析】因为|OF2|=c,所以 又因为 P 点在椭圆上,且 P(1, 又因为 a2=b2+c2=4+b2,所以 b2=2

),所以 + . 答案:2

若 0<b< ,则当 y=-b 时|PM|2 最大,即 所以 b= - > ,故矛盾.

14. 【解析】 因为椭圆的焦点在 y 轴上,所以设椭圆的方程为 + =1(a>b>0). 若 b≥ ,则当 y=- 时,4b2+3=7,b2=1,从而 a2=4.所求方程为 +y2=1. 由 得 由 a2=b2+c2,得 b2=32. 18.【解析】(1)设椭圆方程为 + =1(a>b>0), |PF1|=m,|PF2|=n,则 m+n=2a.在△PF1F2 中,由余弦定理可知, 故椭圆的方程为: + =1. 答案: + =1 15.【解析】如图所示.以 AB 的中点 O 为坐标原点, 建立如图所示的坐标系. 设 D 在 AB 上,且 CD⊥AB,AB=4,BC= ,∠CBA= , 4c2=m2+n2-2mncos60°=(m+n)2-3mn=4a2-3mn≥4a2-3? =4a2-3a2=a2(当且仅当 m=n 时取等号).所以 ≥ ,即 e≥ . 又 0<e<1,所以 e 的取值范围是 (2)由(1)知 mn= b2,所以 . = mnsin60°= b2,

CD=1,DB=1,AD=3 , C(1,1) 且 2a=4, 把 C(1,1) 代 入 椭 圆 标 准 方 程 得 + =1,a =b +c ,b = ,c = ,2c=
2 2 2 2 2

即△PF1F2 的面积只与短轴长有关. . 答案: 19.【解析】设 A(x1,y1),B(x2,y2),代入椭圆方程,得 a 16.【解析】由题意,F(-1,0),设点 P(x0,y0),则有 + =1,解得 a =3 ,因为 =(x0+1,y0), =x0(x0+1)+3 =(x0,y0),所以 = +x0+3,此二次函数对应的抛物 +b =1. ② ②-①,得 =kAB=-1, a(x2+x1)(x2-x1)+b(y2+y1)(y2-y1)=0.而 =kOC= ,则 b= a. +b =1, ①

? =x0(x0+1)+

又因为|AB|= 又由 所以 x1+x2=

|x2-x1|=

|x2-x1|=2

,所以|x2-x1|=2.

20【解析】(1)因为 e= 所以 解得

,又椭圆 C 过点 M(

,1),

得(a+b)x2-2bx+b-1=0, ,x1x2= .

所以椭圆方程为 + =1. 所以|x2-x1|2=(x1+x2)2-4x1x2= 将 b= a 代入,得 a= ,b= , y2=1. -4〃 =4, (2)设 A(x1,y1),B(x2,y2), 当直线 l 的斜率不存在时,l:x=〒 则 x1=x2=〒 所以 ? = ,y1=-y2, =0. ,

所以所求的椭圆方程为 +

【一题多解】由直线方程和椭圆方程联立,得

当直线 l 的斜率存在时,设 l:y=kx+m, 得(a+b)x2-2bx+b-1=0. 设 A(x1,y1),B(x2,y2), 则|AB|= = 因为|AB|=2 . ,所以 = =1. ① 所以 设 C(x,y),则 x= 因为 OC 的斜率为 代入①,得 a= ,b= 所以椭圆方程为 + ,y=1-x= . . 综上, ? =0. ,所以 = . y2=1. ? =x1x2+y1y2=(1+k2)x1x2+km(x1+x2)+m2= =0, 由于 l 与圆相切得: 所以 3m2-8k2-8=0. 将 l 的方程代入椭圆方程得: (1+2k2)x2+4kmx+2m2-8=0, 所以 x1+x2=,x1?x2= , = ,


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