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教学设计 三个正数的算术—几何平均不等式

人教版高中数学选修 4-5 不等式选讲 §1.1.3《三个正数的算术—几何平均不等式》教学设计 课题 授课教师 内容分析: 基本不等式在证明不等式的过程中是一个很重要的桥梁, 也是求最值的的一种常 见方法,经常运用于实际问题,是高考高频考点。三个正数的算术—几何平均不等式 是基本不等式的进一步推广, 通过三个正数的算术—几何平均不等式,常常可以将一 些较为复杂的求最值的问题化为简单问题, 在化归方法中起着重要的承接作用。 因此, 本节课注重在例题中呈现类比及转化等数学思想,引导学生进行数学思想方法的探 究,培养用数学思想方法解决问题的意识. 学情分析: 学生已经学习不等式的基本性质和基本不等式等相关知识, 初步掌握运用所学知 识解决简单的数学问题, 但不等式作为高中数学的重点和难点,是学生的相对“头疼” 的知识内容,尤其是基本不等式成立的前提条件“一正,二定,三相等” ,学生解题 时常常会顾此失彼, 出现基本不等式运用的一些常见错误。拓展到三个正数或者更多 正数时,务必要结合基本不等式,注重类比,对不等式成立的前提条件加以强调。 学习目标: 知识与技能:了解三个正数的均值不等式的证明方法及其推广形式, 掌握它的形式特 征,会运用它证明简单的不等式及求简单的最值问题。 过程与方法:通过观察归纳、类比、猜想等方法发现、证明、理解、运用定理,并将 它推广到一般情形,培养学生运用合情推理,演绎推理获取知识运用知识的能力。 情感、态度、价值观:学会类比探究数学知识,感受生活中的数学,体验成功的喜悦, 形成正确的学习态度。 学习重点:三个正数的算术-几何平均不等式 学习难点:运用拆项,调配系数,凑型等方法创造条件使用三个正数的算术—几何平 均不等式求最值及证明不等式. 授课类型:新授课 教 具:PPT、学案 三个正数的算术—几何平均不等式(第 1 课时) 苏圣奎 单位 厦门六中 指导教师 王楠 1 教学过程设计 教学 环节 教师活动 学生活动 设计意图 温 故 知 新 引导学生复习与本节课相关的 学生解答学案上的复习 知识: 内容: 1、常用公式: 1. 常用公式: 以旧引新,揭 示课题。 3 3 ? a ? b ? ? ___________ . ? a ? b ? ? a3 ? 3a 2b ? 3ab 2 ? b3 a3 ? b3 ? ____________. 2、重要不等式: a 3 ? b3 ? ? a ? b ? ? a 2 ? ab ? b 2 ? . a2 ? b2 ? 2ab ? a、b ? R?, 当且仅当a ? b 时等号成立 3、基本不等式: 从 2.3 两个知识中等价得出 a?b ? ? ab ? a、b ? R? ? 2 ? 两个正数的算术平均数 不小于它们的几何平均数 4、 类比, 猜想三个正数的算 术—几何平均不等式为: a?b?c 3 ? abc ? a、b、c ? R? ? 3 a ? b ? 2 ab ? a、b ? R? ?, 当且仅当a ? b 时等号成立 4、问题:类比基本不等式,猜想一 下, 三个正数的算术—几何平均不等 式是什么? 1、猜想: a?b?c 3 1. 学生自主思考,猜想结 借 助 类 比 的 若a, b, c ? R? , 求证: ? abc , 3 论. 方法,引导学 当且仅当a ? b ? c时, 等号成立. 生进行猜想, ? 若a, b, c ? R? , 求证: a 3 ? b3 ? c 3 ? 3abc, 当且仅当a ? b ? c时, 等号成立. 培养学生合 情推理能力. 2、证明: 因为a3 ? b3 ? c3 ? 3abc (作差) 新 知 探 究 从已有知识 出发,层层推 3 2.学生在教师引导下,经历 进,调动学生 = ? a ? b ? ? 3a 2b ? 3ab 2 演绎推理的论证过程. 进行逻辑思 ? c 3 ? 3abc 维的内驱力, 逐步导出结 3 = ? a ? b ? ? c3 ? 3a 2b ? 3ab 2 ? 3abc 论,培养学生 演绎推理能 = ? a ? b ? c ? ?? a ? b ? ? ? a ? b ? c ? c ? ? 3ab ? a ? b ? c ? ? ? 力. 2 2 2 = ? a ? b ? c ? ?? a ? b ? ? ? a ? b ? c ? c 2 ? 3ab? ? ? 2 2 2 2 = ?a ? b ? c? ? ? a ? b ? c ? ab ? bc ? ac ? ? = 1 2 2 a ? b? ? ?b ? c ? 2 ? ? a ? c ? ? ?a ? b ? c? ? ?? ? 2 所以a3 ? b3 ? c3 ? 3abc, 当且仅当a ? b ? c时, 等号成立. 3、定理: 若a, b, c ? R? , 则a3 ? b3 ? c3 ? 3abc, 当且仅当a ? b ? c时, 等号成立. 4、定理解读: 3、 能用准确的数学语言表述 出定理. ?1? a、b、c都为正数(一正) ? 2? 4、类比基本不等式,引导学 a?b?c 3 ? abc ? a ? b ? c ? 3 3 abc 3 生对定理进行解读,让学生 3 若abc为定值,a ? b ? c 可能有最小值 抓住利用定理解决问题的关 a?b?c 3 ? a ?b?c ? ? abc ? abc ? ? ? 3 3 ? ? 键, 若a ? b ? c为定值,abc 可能有最大值 对定理有效的 解读有利于学 生抓住数学的 本质, 提高学生 运用知识的敏 感性, 从而提升 学生的正确运 用数学知识的 能力. ⑶当且仅当 a ? b ? c 时,等式成 立,此时取到最大(小)值. 5、定理推广:n 个正数的算术 5、 类比基本不等式和三个正 借 助 类 比 的 —几何平均不等式: 数的算术-几何平均不等式, 方法,引导学 生进

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