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高中数学组卷解析专题训练 (2)


一.选择题(共 11 小题) 1. (2015?安徽二模)如图,半圆的直径 AB=6,O 为圆心,C 为半圆上不同于 A、B 的任意 一点,若 P 为半径 OC 上的动点,则 的最小值为( )

A.

B.9

C.

D.﹣9

考点: 向量在几何中的应用. 专题: 常规题型. 分析: 根据图形知:O 是线段 AB 的中点,所以
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=2

,再根据向量的点乘积运算分

析方向与大小即可求出. 解答: 解:∵ 圆心 O 是直径 AB 的中点,∴ + 所以 =2 ? ,∵ 与

=2 共线且方向相反∴ 当大小相等时点乘积最 =﹣

小.由条件知当 PO=PC= 时,最小值为﹣2×

故选 C 点评: 本题考查了向量在几何中的应用,结合图形分析是解决问题的关键. 2. (2014?洛阳一模)已知函数 f(x)=|log2x|﹣m(m>0)的零点分别为 x1,x2(x1<x2) , 函数 g(x)=|log2x|﹣ 值为( A. 4 ) B. 8 C.4 D.8 (m>0)的零点分别为 x3,x4(x3<x4) ,则 的最小

考 函数与方程的综合运用;函数零点的判定定理. 点: 专 函数的性质及应用;不等式的解法及应用. 题: 分 由题意求出 x1,x2,x3,x4,化简所求表达式,利用基本不等式求出表达式的最小值即 析: 可. 解 解:函数 f(x)=|log2x|﹣m(m>0)的零点分别为 x1,x2(x1<x2) , 答: m ∴ x1= ,x2=2 ,
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函数 g(x)=|log2x|﹣

(m>0)的零点分别为 x3,x4(x3<x4) ,

∴ x3=

,x4=





=

=

=

=

= ∵ = ,当且仅当 m= 时等号成立,



=8



故选:D. 点 本题考查函数与方程的综合应用,函数的零点以及基本不等式的应用,考查转化思想以 评: 及计算能力. 3. (2014?安徽模拟)已知 f(x)=asin2x+bcos2x,其中 a,b∈R,ab≠0,若 f(x)≤|f( |对一切 x∈R 恒成立,且 f( A. [kπ﹣ C. ,kπ+ )>0,则 f(x)的单调递增区间是( B. [kπ+ ,kπ+ )



](k∈Z)

](k∈Z)

[kπ,kπ+

](k∈Z)

D. [kπ﹣

,kπ](k∈Z)

考点: 三角函数的最值. 专题: 计算题;三角函数的图像与性质. 分析: 利用辅助角公式,化简得 f(x)=
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sin(2x+θ) .根据 f(x)≤|f(

)|对一切

x∈R 恒成立,可得当 x= 由 f(

时函数有最大值或最小值,从而得出 θ= ,进而得到 f(x)=

+kπ(k∈Z) .再 sin(2x﹣ ) ,

)>0,取 k=﹣1 得到 θ=﹣

最后根据正弦函数单调区间的公式加以计算,可得 f(x)的单调递增区间. 解答: 解:根据题意,可得 f(x)=asin2x+bcos2x= sin(2x+θ) , (其中 tanθ= ) .
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∵ f(x)≤|f( ∴ 当 x= 因此,2? ∵ f( )=

)|对一切 x∈R 恒成立, 或最小值﹣ +kπ(k∈Z) , sinθ>0, ﹣π=﹣ ) , +kπ≤x≤ ](k∈Z) . +kπ(k∈Z) , . .

时,函数有最大值 +θ=

+kπ(k∈Z) ,解得 θ= sin(π+θ)=﹣

∴ sinθ<0,从而取 k=﹣1 得到 θ= 由此可得 f(x)= 令﹣ +2kπ≤2x﹣ ≤

sin(2x﹣

+2kπ(k∈Z) ,得 ,kπ+

∴ f(x)的单调递增区间是[kπ+ 故选:B 点评: 本题给出三角函数表达式,在 x=

时函数有最大值或最小值的情况下求函数的单调

区间.着重考查了三角恒等变换、三角函数的图象与性质、三角函数的最值及其应用 等知识,属于中档题. 4. (2014?洛阳一模)已知三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上,AB=BC=CA=3, SA=SB=SC,球心 O 到平面 ABC 的距离为 1,则 SA 与平面 ABC 所成角的大小为( ) A.30° B.60° C.30°或 60° D.45°或 60° 考点: 与二面角有关的立体几何综合题. 专题: 空间角. 分析: 由已知条件得 OE=1,AE= ,OA=SO= =2,SE=3,SA=2 平面 ABC 所成角,由此能求出结果. 解答: 解:如图,三棱锥 S﹣ABC 的所有顶点都在球 O 的球面上, AB=BC=CA=3,SA=SB=SC,球心 O 到平面 ABC 的距离为 1,
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,∠ SAE 是 SA 与

∴ OE=1,AE=

=



∴ OA=SO= =2, ∴ SE=3,SA= =2 , ∵ SE⊥ 面 ABC, ∴ ∠ SAE 是 SA 与平面 ABC 所成角, ∵ cos∠ SAE= ,

∴ ∠ SAE=60°. 当球心不在三棱锥内时, 同理解得∠ SAE=30°.
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故选:C.

点评: 本题考查线面角的求法,是中档题,解题时要认真审题,注意空间思维能力的培养. 5. (2012?安徽) 过抛物线 y =4x 的焦点 F 的直线交该抛物线于 A, B 两点, O 为坐标原点. 若 |AF|=3,则△ AOB 的面积为( ) A. B. C. D.2
2

考点: 直线与圆锥曲线的关系;抛物线的简单性质. 专题: 压轴题. 分析: 设直线 AB 的倾斜角为 θ,利用|AF|=3,可得点 A 到准线 l:x=﹣1 的距离为 3,从而
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cosθ= ,进而可求|BF|,|AB|,由此可求 AOB 的面积. 解答: 解:设直线 AB 的倾斜角为 θ(0<θ<π)及|BF|=m, ∵ |AF|=3, ∴ 点 A 到准线 l:x=﹣1 的距离为 3 ∴ 2+3cosθ=3 ∴ cosθ= ∵ m=2+mcos(π﹣θ) ∴ ∴ △ AOB 的面积为 S= =

故选 C. 点评: 本题考查抛物线的定义, 考查三角形的面积的计算, 确定抛物线的弦长是解题的关键.

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6. (2012?安徽)在平面直角坐标系中,点 0(0,0) ,P(6,8) ,将向量 方向旋转 A.(﹣7 后得向量 ,﹣ ,则点 Q 的坐标是( , )

绕点 O 逆时针

)B.(﹣7

) C.(﹣4

,﹣2) D.(﹣4

,2)

考点: 平面向量的坐标运算. 专题: 计算题. 分析: 由点 0(0,0) ,P(6,8) ,知
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,设 绕点逆时针方向旋转 后得向量

, ,由此能求出结

则 cosθ= ,sinθ= ,由向量

果. 解答: 解:∵ 点 0(0,0) ,P(6,8) , ∴ 设 则 cosθ= ,sinθ= , ∵ 向量 绕点逆时针方向旋转 后得向量 , ﹣sinθsin , )=﹣7 , , ,

设 Q(x,y) ,则 x=10cos(θ+ y=10sin(θ+ ∴ =(﹣7 )=10(sinθcos ,﹣ ) .

)=10(cosθcos +cosθsin )=﹣

故选 A. 点评: 本题考查平面向量的坐标运算,是基础题.解题时要认真审题,仔细解答. 7. (2012?北京)某三棱锥的三视图如图所示,该三棱锥的表面积是( )

A.28+6

B.30+6

C.56+12

D.60+12

考点: 由三视图求面积、体积.

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专题: 立体几何. 分析: 通过三视图复原的几何体的形状,利用三视图的数据求出几何体的表面积即可. 解答: 解:三视图复原的几何体是底面为直角边长为 4 和 5 的三角形, 一个侧面垂直底面的等腰三角形,高为 4,底边长为 5,如图, 所以 S 底= S 后= S 右= S 左= =10, , =10, =6 . .

几何体的表面积为:S=S 底+S 后+S 右+S 左=30+6 故选:B.

点评: 本题考查三视图与几何体的关系,注意表面积的求法,考查空间想象能力计算能力. 8. (2012?福建)函数 f(x)在[a,b]上有定义,若对任意 x1,x2∈[a,b],有 则称 f(x)在[a,b]上具有性质 P.设 f(x) 在[1,3]上具有性质 P,现给出如下命题: ① f(x)在[1,3]上的图象是连续不断的; 2 ② f(x )在[1, ]上具有性质 P; ③ 若 f(x)在 x=2 处取得最大值 1,则 f(x)=1,x∈[1,3]; ④ 对任意 x1,x2,x3,x4∈[1,3],有 +f(x4)] 其中真命题的序号是( ) ② ③ A.① B.① [f(x1)+f(x2)+f(x3)

④ C.②

④ D.③

考点: 利用导数求闭区间上函数的最值;抽象函数及其应用;函数的连续性. 专题: 压轴题;新定义. 分析: 根据题设条件,分别举出反例,说明① 和② 都是错误的;同时证明③ 和④ 是正确的.
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解答: 解:在① 中,反例:f(x)= 在[1,3]上满足性质 P,

但 f(x)在[1,3]上不是连续函数,故① 不成立; 在② 中,反例:f(x)=﹣x 在[1,3]上满足性质 P,但 f(x )=﹣x 在[1, 足性质 P, 故② 不成立; 在③ 中:在[1,3]上,f(2)=f( )≤
2 2

]上不满







故 f(x)=1, ∴ 对任意的 x1,x2∈[1,3],f(x)=1, 故③ 成立; 在④ 中,对任意 x1,x2,x3,x4∈[1,3], 有 ≤ ≤ = [f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)], =



[f(x1)+f(x2)+f(x3)+f(x4)],

故④ 成立. 故选 D. 点评: 本题考查的知识点为函数定义的理解,说明一个结论错误时,只需举出反例即可.说 明一个结论正确时,要证明对所有的情况都成立.

9. (2012?广东)对任意两个非零的平面向量



,定义



=

,若平面向量 、

满足| |≥| |>0, 与 的夹角 则 ○ =( )

,且 ○ 和 ○ 都在集合

中,

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A.

B.1

C.

D.

考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 空间向量及应用. 分析: 由题意可得 ? =
2

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= ,同理可得 ? =
2

= ,故有 n≥m 且

m、n∈z.再由 cos θ=

, 与 的夹角 θ∈(0, ? =

) ,可得 cos θ∈( ,1) ,即 = 的值.



( ,1) ,由此求得 n=3,m=1,从而得到 解答: 解:由题意可得

? =

=

=

= .

同理可得

? =

=

=

= .

由于| |≥| |>0,∴ n≥m 且 m、n∈z. ∴ cos θ=
2

.再由 与 的夹角 θ∈(0,

) ,可得 cos θ∈( ,1) ,即

2

∈( ,1) .

故有 n=3,m=1,∴ ? = = , 故选 C. 点评: 本题主要考查两个向量的数量积的定义,得到 n≥m 且 m、n∈z,且 解题的关键,属于中档题. 10. (2012?湖北)我国古代数学名著《九章算术》中“开立圆术”曰:置积尺数,以十六乘之, 九而一,所得开立方除之,即立圆径,“开立圆术”相当于给出了已知球的体积 V,求其直径 d 的一个近似公式 d≈ .人们还用过一些类似的近似公式.根据 π=3.14159…..判断,下 ) C.d≈ D.d≈

∈( ,1) ,是

列近似公式中最精确的一个是( A.d≈ B. d≈

考点: 进行简单的演绎推理. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 根据球的体积公式求出直径,然后选项中的常数为 ,表示出 π,将四个选项逐一代
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入,求出最接近真实值的那一个即可.
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解答: 解:由 V= 选项 A 代入得 π= 选项 C 代入得 π=

,解得 d=

设选项中的常数为 ,则 π=

=3.375;选项 B 代入得 π= =3; =3.14;选项 D 代入得 π= =3.142857

由于 D 的值最接近 π 的真实值 故选 D. 点评: 本题主要考查了球的体积公式及其估算,同时考查了计算能力,属于中档题. 11. (2012?湖北)函数 f(x)=xcosx 在区间[0,4]上的零点个数为( ) A.4 B.5 C.6 D.7 考点: 利用导数研究函数的极值;函数的零点与方程根的关系. 专题: 计算题;压轴题. 2 分析: 令函数值为 0,构建方程,即可求出在区间[0,4]上的解,从而可得函数 f(x)=xcosx 在区间[0,4]上的零点个数 2 解答: 解:令 f(x)=0,可得 x=0 或 cosx =0
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2

∴ x=0 或 x =
2

2

,k∈Z

∵ x∈[0,4],则 x ∈[0,16], ∴ k 可取的值有 0,1,2,3,4, ∴ 方程共有 6 个解 2 ∴ 函数 f(x)=xcosx 在区间[0,4]上的零点个数为 6 个 故选 C 点评: 本题考查三角函数的周期性以及零点的概念,属于基础题 二.填空题(共 9 小题) 12. (2014?洛阳一模)设 e1,e2 分别是具有公共焦点 F1,F2 的椭圆和双曲线的离心率,P 是两曲线的一个公共点,O 是 F1,F2 的中点,且满足|PO|=|OF2|,则 = .

考点: 椭圆的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 设出椭圆的长半轴,双曲线的实半轴,它们的半焦距,利用椭圆的和双曲线的定义可 得焦半径,写出两个曲线的离心率,即可得到结果. 解答: 解:设椭圆的长半轴是 a1,双曲线的实半轴是 a2,它们的半焦距是 c 并设|PF1|=m,|PF2|=n,m>n,根据椭圆的和双曲线的定义可得 m+n=2a1,m﹣n=2a2, 解得 m=a1+a2,n=a1﹣a2, ∵ |PO|=|OF2|,∴ PF1⊥ PF2, 2 2 2 由勾股定理得|PF1| +|PF2| =|F1F2|
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∴ (a1+a2) +(a1﹣a2) =(2c) 2 2 2 化简可得 a1 +a2 =2c ∴ =2

2

2

2



=

=

=



故答案为:



点评: 本题考查圆锥曲线的共同特征,解题的关键是得到两个曲线的参数之间的关系,属于 中档题. 13. (2012?安徽)设△ ABC 的内角 A,B,C 所对边的长分别为 a,b,c,则下列命题正确的 是 ① ② ③ (写出所有正确命题的编号) . ① 若 ab>c ,则 C< ② 若 a+b>2c,则 C< ③ 若 a +b =c ,则 C< ④ 若(a+b)c<2ab,则 C> ⑤ 若(a +b )c <2a b ,则 C>
2 2 2 2 2 3 3 3 2



考点: 命题的真假判断与应用;余弦定理的应用. 专题: 证明题;压轴题. 分析: 2 ① 利用余弦定理,将 c 放大为 ab,再结合均值定理即可证明 cosC> ,从而证明 C<
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;② 利用余弦定理,将 c 放大为( 而证明 C< ;③ 利用反证法,假设 C≥

2

) ,再结合均值定理即可证明 cosC> ,从 时,推出与题设矛盾,即可证明此命题正

2

确;④ ⑤ 只需举反例即可证明其为假命题,可举符合条件的等边三角形 解答: 解:① ab>c ?cosC=
2



= ?C<

,故① 正确;

② a+b>2c?cosC=



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= 确; ③ 当 C≥



= ?C<

,故② 正

时,c ≥a +b ?c ≥ca +cb >a +b 与 a +b =c 矛盾,故③ 正确; < ,故④ 错误; ,故⑤ 错误

2

2

2

3

2

2

3

3

3

3

3

④ 举出反例:取 a=b=c=2,满足(a+b)c≤2ab 得:C= ⑤ 举出反例:取 a=b=c=
2 2 2 2 2

,满足(a +b )c ≤2a b ,此时有 C=

故答案为① ② ③ 点评: 本题主要考查了解三角形的知识,放缩法证明不等式的技巧,反证法和举反例法证明 不等式,有一定的难度,属中档题

14. (2012?北京)己知正方形 ABCD 的边长为 1,点 E 是 AB 边上的动点.则 为 1 . 考点: 平面向量数量积的运算. 专题: 平面向量及应用. 分析: 直接利用向量转化,求出数量积即可. 解答: 解:因为 = =
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的值

=

=1.

故答案为:1

点评: 本题考查平面向量数量积的应用,考查计算能力. 15. (2012?北京)在直角坐标系 xOy 中.直线 l 过抛物线 y =4x 的焦点 F.且与该抛物线相 交于 A、 B 两点. 其中点 A 在 x 轴上方. 若直线 l 的倾斜角为 60°. 则△ OAF 的面积为 . 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;直线的倾斜角;抛物线的简单性质. 专题: 圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: 确定直线 l 的方程,代入抛物线方程,确定 A 的坐标,从而可求△ OAF 的面积. 2 解答: 解:抛物线 y =4x 的焦点 F 的坐标为(1,0) ∵ 直线 l 过 F,倾斜角为 60°
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2

∴ 直线 l 的方程为:

,即
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代入抛物线方程,化简可得 ∴ y=2 ,或 y=﹣

∵ A 在 x 轴上方 ∴ △ OAF 的面积为 =

故答案为: 点评: 本题考查抛物线的性质, 考查直线与抛物线的位置关系, 确定 A 的坐标是解题的关键. 16. (2012?福建)数列{an}的通项公式 an=ncos +1,前 n 项和为 Sn,则 S2012= 3018 .

考点: 数列的求和. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先求出 cos 的规律,进而得到 ncos
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的规律,即可求出数列的规律即可求出结

论. 解答: 解:因为 cos ∴ ncos ∴ ncos

=0,﹣1,0,1,0,﹣1,0,1…;

=0,﹣2,0,4,0,﹣6,0,8…; 的每四项和为 2;

∴ 数列{an}的每四项和为:2+4=6. 而 2012÷4=503; ∴ S2012=503×6=3018. 故答案为:3018. 点评: 本题主要考察数列的求和,解决本题的关键在于求出数列各项的规律.

17. (2012?福建)对于实数 a 和 b,定义运算“*”:a*b=

设 f(x)=(2x﹣

1)*(x﹣1) ,且关于 x 的方程为 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相等的实数根 x1,x2,x3, 则 x1x2x3 的取值范围是 .

考点: 根的存在性及根的个数判断;分段函数的解析式求法及其图象的作法. 专题: 压轴题;新定义. 分析: 根据所给的新定义,写出函数的分段形式的解析式,画出函数的图象,在图象上可以 看出当直线与函数的图象有三个不同的交点时 m 的取值, 根据一元二次方程的根与系 数之间的关系,写出两个根的积和第三个根,表示出三个根之积,根据导数判断出函 数的单调性,求出关于 m 的函数的值域,得到结果.
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解答: 解:∵ 2x﹣1≤x﹣1 时,有 x≤0, ∴ 根据题意得 f(x)=

即 f(x)= 画出函数的图象从图象上观察当关于 x 的方程为 f(x)=m(m∈R)恰有三个互不相 等的实数根时,m 的取值范围是(0, ) , 当﹣x +x=m 时,有 x1x2=m, 当 2x ﹣x=m 时,由于直线与抛物线的交点在 y 轴的左边,得到 ∴ x1x2x3=m( 令 y= 则 是增函数,故有 h(m)>h(0)=1 ∴ ∴ 函数 y= <0 在 m∈(0, )上成立, 在这个区间(0, )上是一个减函数, , ,又 在 m∈(0, )上 )= ,m∈(0, )
2 2



∴ 函数的值域是(f( ) ,f(0) ) ,即 故答案为:

点评: 本题考查分段函数的图象,考查新定义问题,这种问题解决的关键是根据新定义写出
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符合条件的解析式,本题是一个综合问题,涉及到导数判断函数的单调性,本题是一 个中档题目. 18. (2012?黑龙江)某个部件由三个元件按下图方式连接而成,元件 1 或元件 2 正常工作, 且元件 3 正常工作,则部件正常工作,设三个电子元件的使用寿命(单位:小时)均服从正 态分布 N(1000,50 ) ,且各个元件能否正常相互独立,那么该部件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 .
2

考点: 正态分布曲线的特点及曲线所表示的意义. 专题: 计算题;压轴题. 分析: 先根据正态分布的意义, 知三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 , 而所
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求事件“该部件的使用寿命超过 1000 小时”当且仅当“超过 1000 小时时,元件 1、元件 2 至少有一个正常”和“超过 1000 小时时,元件 3 正常”同时发生,由于其为独立事件, 故分别求其概率再相乘即可 2 解答: 解:三个电子元件的使用寿命均服从正态分布 N(1000,50 ) 得:三个电子元件的使用寿命超过 1000 小时的概率为 设 A={超过 1000 小时时,元件 1、元件 2 至少有一个正常},B={超过 1000 小时时, 元件 3 正常} C={该部件的使用寿命超过 1000 小时} 则 P(A)= ,P(B)=

P(C)=P(AB)=P(A)P(B)= × = 故答案为 点评: 本题主要考查了正态分布的意义,独立事件同时发生的概率运算,对立事件的概率运 算等基础知识,属基础题

19. (2012?湖北)如图,双曲线



=1(a,b>0)的两顶点为 A1,A2,虚轴两端点为

B1,B2,两焦点为 F1,F2.若以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2,切点分别为 A,B, C,D.则: (Ⅰ )双曲线的离心率 e= ;
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(Ⅱ )菱形 F1B1F2B2 的面积 S1 与矩形 ABCD 的面积 S2 的比值

=



考点: 圆锥曲线的综合. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ )直线 B2F1 的方程为 bx﹣cy+bc=0,所以 O 到直线的距离为
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,根据以

A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2, 可得

, 由此可求双曲线的离心率;

(Ⅱ )菱形 F1B1F2B2 的面积 S1=2bc,求出矩形 ABCD 的长与宽,从而求出面积 S2=4mn= ,由此可得结论.

解答: 解: (Ⅰ )直线 B2F1 的方程为 bx﹣cy+bc=0,所以 O 到直线的距离为 ∵ 以 A1A2 为直径的圆内切于菱形 F1B1F2B2, ∴ ∴ (c ﹣a )c =(2c ﹣a )a 4 2 2 4 ∴ c ﹣3a c +a =0 4 2 ∴ e ﹣3e +1=0 ∵ e>1 ∴ e= (Ⅱ )菱形 F1B1F2B2 的面积 S1=2bc 设矩形 ABCD,BC=2n,BA=2m,∴
2 2 2 2 2 2

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∵ m +n =a ,∴

2

2

2



∴ 面积 S2=4mn=

∴ = ∵ bc=a =c ﹣b ∴
2 2

=
2

∴ =

故答案为:



点评: 本题考查圆与圆锥曲线的综合,考查双曲线的性质,面积的计算,解题的关键是确定 几何量之间的关系. 20. (2012?湖南)设 N=2 (n∈N ,n≥2) ,将 N 个数 x1,x2,…,xN 依次放入编号为 1,2,…, N 的 N 个位置,得到排列 P0=x1x2…xN.将该排列中分别位于奇数与偶数位置的数取出,并 按原顺序依次放入对应的前 和后 个位置,得到排列 P1=x1x3…xN﹣1x2x4…xN,将此操作称 为 C 变换,将 P1 分成两段,每段 个数,并对每段作 C 变换,得到 P2,当 2≤i≤n﹣2 时,将 Pi 分成 2 段,每段
i n *

个数,并对每段作 C 变换,得到 Pi+1,例如,当 N=8 时,

P2=x1x5x3x7x2x6x4x8,此时 x7 位于 P2 中的第 4 个位置. (1)当 N=16 时,x7 位于 P2 中的第 6 个位置; n n﹣4 (2)当 N=2 (n≥8)时,x173 位于 P4 中的第 3×2 +11 个位置. 考点: 演绎推理的基本方法;进行简单的演绎推理. 专题: 压轴题. 分析: (1)由题意,可按照 C 变换的定义把 N=16 时 P2 列举出,从中查出 x7 的位置即可; (2)根据 C 变换的定义及归纳(1)中的规律可得出 P4 中所有的数字分为 16 段,每 段的数字序号组成以 16 为公差的等差数列, 且一到十六段的首项的序号分别为 1, 3, 5,7,9,11,13,15,2,4,6,8,10,12,14,16,再 173=16×10+13,即可确定 出 x173 位于 P4 中的位置. 解答: 解: (1)当 N=16 时,P0=x1x2…x16.由 C 变换的定义可得 P1=x1x3…x15x2x4…x16,
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又将 P1 分成两段,每段 个数,并对每段作 C 变换,得到 P2,故 P2=x1x5x9x13x3x7x11x15x2x6x10x14x4x8x12x16,由此知 x7 位于 P2 中的第 6 个位置;
第 16 页(共 30 页)

(2)考察 C 变换的定义及(1)计算可发现,第一次 C 变换后,所有的数分为两段, 每段的序号组成公差为 2 的等差数列,且第一段序号以 1 为首项,第二段序号以 2 为 首项;第二次 C 变换后,所有的数据分为四段,每段的数字序号组成以 4 公差的等差 数列, 且第一段的序号以 1 为首项, 第二段序号以 3 为首项, 第三段序号以 2 为首项, 第四段序号以 4 为首项,依此类推可得出 P4 中所有的数字分为 16 段,每段的数字序 号组成以 16 为公差的等差数列,且一到十六段的首项的序号分别为 1,9,5,13,…, 由于 173=16×10+13, 故 x173 位于以 13 为首项的那一段的第 11 个数, 由于 N=2(n≥8) n﹣4 n﹣4 n﹣ 故每段的数字有 2 个,以 13 为首项的是第四段,故 x173 位于第 3×2 +11=3×2 4 +11 个位置. n﹣4 故答案为 3×2 +11 点评: 本题考查演绎推理及归纳推理,解题的关键是理解新定义,找出其规律,本题是探究 型题,运算量大,极易出错,解题进要严谨认真,避免马虎出错 三.解答题(共 10 小题) 21. (2012?北京)已知曲线 C: (5﹣m)x +(m﹣2)y =8(m∈R) (1)若曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆,求 m 的取值范围; (2)设 m=4,曲线 c 与 y 轴的交点为 A,B(点 A 位于点 B 的上方) ,直线 y=kx+4 与曲线 c 交于不同的两点 M、N,直线 y=1 与直线 BM 交于点 G.求证:A,G,N 三点共线. 考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;向量在几何中的应用;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;压轴题;圆锥曲线的定义、性质与方程. 分析: (1)原曲线方程,化为标准方程,利用曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆可得不等式 组,即可求得 m 的取值范围;
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n

2

2

(2)由已知直线代入椭圆方程化简得: (2k +1)x +16kx+24=0,△ =32(2k ﹣3) ,解 得: , 设N (xN, kxN+4) , M (xM, kxM+4) , G (xG, 1) , MB 方程为: ,

2

2

2



,从而可得



=(xN,kxN+2) ,欲证

A,G,N 三点共线,只需证 解答:



共线,利用韦达定理,可以证明.

(1)解:原曲线方程可化简得:

由题意,曲线 C 是焦点在 x 轴点上的椭圆可得:

,解得:

(2)证明:由已知直线代入椭圆方程化简得: (2k +1)x +16kx+24=0,△ =32(2k ﹣
第 17 页(共 30 页)

2

2

2

3)>0,解得: 由韦达定理得: ① , ,②

设 N(xN,kxN+4) ,M(xM,kxM+4) ,G(xG,1) ,MB 方程为:











=(xN,kxN+2) ,

欲证 A,G,N 三点共线,只需证 即



共线

成立,化简得: (3k+k)xMxN=﹣6(xM+xN)

将① ② 代入可得等式成立,则 A,G,N 三点共线得证. 点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查三点共线,解题的关键 是直线与椭圆方程联立,利用韦达定理进行求解.

22. (2012?安徽)如图,点 F1(﹣c,0) ,F2(c,0)分别是椭圆 C:

(a>b>0)

的左右焦点,经过 F1 做 x 轴的垂线交椭圆 C 的上半部分于点 P,过点 F2 作直线 PF2 垂线交 直线 于点 Q.

(Ⅰ )如果点 Q 的坐标是(4,4) ,求此时椭圆 C 的方程; (Ⅱ )证明:直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点.

考点: 直线与圆锥曲线的关系;椭圆的简单性质. 专题: 综合题;压轴题.

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第 18 页(共 30 页)

分析: (Ⅰ )将点 P(﹣c,y1) (y1>0)代入

,可求得 P

,根据点

Q 的坐标是(4,4) ,PF1⊥ QF2,即可求得椭圆 C 的方程;

(Ⅱ )利用 PF1⊥ QF2,求得

,从而可求

,又

,求导函数,可得 x=﹣c 时,y′ =

= ,故可知直线 PQ

与椭圆 C 只有一个交点. 解答: (Ⅰ )解:将点 P(﹣c,y1) (y1>0)代入



∴ P ∵ 点 Q 的坐标是(4,4) ,PF2⊥ QF2 ∴ ∵ ∴ a=2,c=1,b= ∴ 椭圆 C 的方程为 ;

(Ⅱ )证明:设 Q

,∵ PF2⊥ QF2



∴ y2=2a ∴

第 19 页(共 30 页)

∵ P

,∴



,∴

∴ y′ =

∴ 当 x=﹣c 时,y′ =

=

∴ 直线 PQ 与椭圆 C 只有一个交点. 点评: 本题考查椭圆的标准方程,考查直线与椭圆的位置关系,考查导数知识的运用,综合 性强. 23. (2012?福建)已知函数 f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,且 f(x+2)≥0 的解集为[﹣1,1]. (Ⅰ )求 m 的值; (Ⅱ )若 a,b,c∈R,且 =m,求证:a+2b+3c≥9.

考点: 带绝对值的函数;不等式的证明. 专题: 计算题;压轴题. 分析: (Ⅰ )由条件可得 f(x+2)=m﹣|x|,故有 m﹣|x|≥0 的解集为[﹣1,1],即|x|≤m 的解 集为[﹣1,1],故 m=1.
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(Ⅱ )根据 a+2b+3c=(a+2b+3c) (

)=1+

+

+

+1+

+

+

+1,利

用基本不等式证明它大于或等于 9. 解答: 解: (Ⅰ )函数 f(x)=m﹣|x﹣2|,m∈R,故 f(x+2)=m﹣|x|,由题意可得 m﹣|x|≥0 的解集为[﹣1,1], 即|x|≤m 的解集为[﹣1,1],故 m=1. (Ⅱ )由 a,b,c∈R,且 ∴ a+2b+3c=(a+2b+3c) ( =1+ + + +1+ + + +1
第 20 页(共 30 页)

=1, )

=3+

+

+

+

+

+

≥3+6=9,当且仅当

=

=

=

=

=

=1 时,等号

成立. 所以 a+2b+3c≥9 点评: 本题主要考查带有绝对值的函数的值域,基本不等式在最值问题中的应用,属于中档 题. 24. (2012?福建)选修 4﹣4:坐标系与参数方程 在平面直角坐标系中,以坐标原点 O 为极点,x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系.已知直线 l 上两点 M, N 的极坐标分别为 (2, 0) , ( ) , 圆 C 的参数方程

(θ 为参数) . (Ⅰ )设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ )判断直线 l 与圆 C 的位置关系. 考 点: 专 题: 分 析: 圆的参数方程;直线与圆的位置关系;简单曲线的极坐标方程. 计算题;压轴题. (Ⅰ )设 P 为线段 MN 的中点,求直线 OP 的平面直角坐标方程; (Ⅱ )求出圆的圆心与半径,判断圆心与直线的距离与半径的关系,即可判断直线 l 与 圆 C 的位置关系. ) , ) ,P 为线段 MN 的中点(1,

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解 解: (Ⅰ )M,N 的极坐标分别为(2,0) , ( 答: 所以 M、N 的直角坐标分别为:M(2,0) ,N(0, ) , 直线 OP 的平面直角坐标方程 y= ;

(Ⅱ )圆 C 的参数方程
2

(θ 为参数) .它的直角坐标方程为: (x﹣2)

+(y+ ) =4, 圆的圆心坐标为(2,﹣

2

) ,半径为 2, ) , )y﹣6π=0.

直线 l 上两点 M,N 的极坐标分别为(2,0) , ( 方程为 y= (x﹣2) ,即 3πx+(12﹣4

圆心到直线的距离为:

第 21 页(共 30 页)

= <2, 所以,直线 l 与圆 C 相交. 点 本题考查圆的参数方程,极坐标方程与直角坐标方程的转化,直线与圆的位置关系, 评: 考查计算能力. 25. (2012?福建)已知函数 f(x)=e +ax ﹣ex,a∈R. (Ⅰ )若曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线平行于 x 轴,求函数 f(x)的单调区间; (Ⅱ )试确定 a 的取值范围,使得曲线 y=f(x)上存在唯一的点 P,曲线在该点处的切线与 曲线只有一个公共点 P. 考点: 利用导数研究曲线上某点切线方程;利用导数研究函数的单调性. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ )求导函数,利用曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线平行于 x 轴,可求 a x 的值,令 f′ (x)=e ﹣e<0,可得函数 f(x)的单调减区间;令 f′ (x)>0,可得单 调增区间;
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x

2

(Ⅱ )设点 P(x0,f(x0) ) ,曲线 y=f(x)在点 P 处的切线方程为 y=f′ (x0) (x﹣x0) +f(x0) ,令 g(x)=f(x)﹣f′ (x0) (x﹣x0)﹣f(x0) ,曲线在该点处的切线与曲线 只有一个公共点 P 等价于 g(x)有唯一零点,求出导函数,再进行分类讨论: (1) 若 a≥0,g(x)只有唯一零点 x=x0,由 P 的任意性 a≥0 不合题意; (2)若 a<0,令 h (x)= ,则 h(x0)=0,h′ (x)=e +2a,可得函数的单调
x

性,进而可研究 g(x)的零点,由此可得结论. x 解答: 解: (Ⅰ )求导函数,可得 f′ (x)=e +2ax﹣e ∵ 曲线 y=f(x)在点(1,f(1) )处的切线平行于 x 轴, ∴ k=2a=0,∴ a=0 ∴ f(x)=e ﹣ex,f′ (x)=e ﹣e x 令 f′ (x)=e ﹣e<0,可得 x<1;令 f′ (x)>0,可得 x>1; ∴ 函数 f(x)的单调减区间为(﹣∞,1) ,单调增区间为(1,+∞) (Ⅱ )设点 P(x0,f(x0) ) ,曲线 y=f(x)在点 P 处的切线方程为 y=f′ (x0) (x﹣x0) +f(x0) 令 g(x)=f(x)﹣f′ (x0) (x﹣x0)﹣f(x0) ∵ 曲线在该点处的切线与曲线只有一个公共点 P,∴ g(x)有唯一零点 ∵ g(x0)=0,g′ (x)= (1)若 a≥0,当 x>x0 时,g′ (x)>0,∴ x>x0 时,g(x)>g(x0)=0 当 x<x0 时,g′ (x)<0,∴ x<x0 时,g(x)>g(x0)=0,故 g(x)只有唯一零点 x=x0,由 P 的任意性 a≥0 不合题意; (2)若 a<0,令 h(x)= ,则 h(x0)=0,h′ (x)=e +2a
x x x

令 h′ (x)=0,则 x=ln(﹣2a) ,∴ x∈(﹣∞,ln(﹣2a) ) ,h′ (x)<0,函数单调递
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减;x∈(ln(﹣2a) ,+∞) ,h′ (x)>0,函数单调递增; ① 若 x0=ln(﹣2a) ,由 x∈(﹣∞,ln(﹣2a) ) ,g′ (x)>0;x∈(ln(﹣2a) ,+∞) ,g′ (x)>0,∴ g(x)在 R 上单调递增 ∴ g(x)只有唯一零点 x=x0; ② 若 x0>ln(﹣2a) ,由 x∈(ln(﹣2a) ,+∞) ,h(x)单调递增,且 h(x0)=0,则当 x∈(ln(﹣2a) ,x0) ,g′ (x)<0,g(x)> g(x0)=0 任取 x1∈(ln(﹣2a) ,x0) ,g(x1)>0, 2 ∵ x∈(﹣∞,x1) ,∴ g(x)<ax +bx+c,其中 b=﹣e﹣f′ (x0) .c= ∵ a<0,∴ 必存在 x2<x1,使得 ∴ g(x2)<0,故 g(x)在(x2,x1)内存在零点,即 g(x)在 R 上至少有两个零点; ③ 若 x0<ln(﹣2a) ,同理利用 ,可得 g(x)在 R 上至少有两个零点;

综上所述,a<0,曲线 y=f(x)上存在唯一的点 P,曲线在该点处的切线与曲线只有 一个公共点 P(ln(﹣2a) ,f(ln(﹣2a) ) ) . 点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性,考查函数的零点,考查分类讨论的数 学思想,属于难题.

26. (2012?福建)如图,椭圆 E:

的左焦点为 F1,右焦点为 F2,

离心率 e= .过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,且△ ABF2 的周长为 8. (Ⅰ )求椭圆 E 的方程. (Ⅱ )设动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P,且与直线 x=4 相交于点 Q.试 探究:在坐标平面内是否存在定点 M,使得以 PQ 为直径的圆恒过点 M?若存在,求出点 M 的坐标;若不存在,说明理由.

考点: 直线与圆锥曲线的综合问题;椭圆的标准方程. 专题: 综合题;压轴题. 分析: (Ⅰ ) 根据过 F1 的直线交椭圆于 A、 B 两点, 且△ ABF2 的周长为 8, 可得 4a=8, 即 a=2,
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第 23 页(共 30 页)

利用 e= ,b =a ﹣c =3,即可求得椭圆 E 的方程.

2

2

2

(Ⅱ ) 由

, 消元可得 (4k +3) x +8kmx+4m ﹣12=0, 利用动直线 l: y=kx+m

2

2

2

与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0,y0) ,可得 m≠0,△ =0,进而可得 P( 由 得 Q(4,4k+m) ,取 k=0,m= ;k=

, ) ,

,m=2,猜想满足条件的点 M

存在,只能是 M(1,0) ,再进行证明即可. 解答: 解: (Ⅰ )∵ 过 F1 的直线交椭圆于 A、B 两点,且△ ABF2 的周长为 8. ∴ 4a=8,∴ a=2 ∵ e= ,∴ c=1 ∴ b =a ﹣c =3 ∴ 椭圆 E 的方程为 .
2 2 2

(Ⅱ )由

,消元可得(4k +3)x +8kmx+4m ﹣12=0

2

2

2

∵ 动直线 l:y=kx+m 与椭圆 E 有且只有一个公共点 P(x0,y0) 2 2 2 ∴ m≠0,△ =0,∴ (8km) ﹣4×(4k +3)×(4m ﹣12)=0 2 2 ∴ 4k ﹣m +3=0① 此时 x0= 由 = ,y0= ,即 P( , )

得 Q(4,4k+m)
2

取 k=0,m= ,此时 P(0, ) ,Q(4, ) ,以 PQ 为直径的圆为(x﹣2) +(y 2 ﹣ ) =4,交 x 轴于点 M1(1,0)或 M2(3,0) 取 k= ﹣ )=
2

,m=2,此时 P(1, ) ,Q(4,0) ,以 PQ 为直径的圆为(x﹣ ) +(y ,交 x 轴于点 M3(1,0)或 M4(4,0)

2

故若满足条件的点 M 存在,只能是 M(1,0) ,证明如下 ∵ ∴ 故以 PQ 为直径的圆恒过 x 轴上的定点 M(1,0) 点评: 本题主要考查抛物线的定义域性质、圆的性质、直线与圆锥曲线的位置关系,考查运
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算能力,考查化归思想,属于中档题.

27. (2012?广东)在平面直角坐标系 xOy 中,已知椭圆 C: 心率 ,且椭圆 C 上的点到点 Q(0,2)的距离的最大值为 3.

的离

(1)求椭圆 C 的方程; 2 2 (2)在椭圆 C 上,是否存在点 M(m,n) ,使得直线 l:mx+ny=1 与圆 O:x +y =1 相交于 不同的两点 A、 B, 且△ OAB 的面积最大?若存在, 求出点 M 的坐标及对应的△ OAB 的面积; 若不存在,请说明理由. 考 圆与圆锥曲线的综合;直线与圆相交的性质;椭圆的标准方程. 点: 专 圆锥曲线的定义、性质与方程;圆锥曲线中的最值与范围问题. 题: 2 2 2 2 2 分 (1)由 得 a =3b ,椭圆方程为 x +3y =3b ,求出椭圆上的点到点 Q 的距离,利 析: 用配方法,确定函数的最大值,即可求得椭圆方程;
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(2)假设 M(m,n)存在,则有 m +n >1,求出|AB|,点 O 到直线 l 距离,表示出面 积,利用基本不等式,即可确定三角形面积的最大值,从而可求点 M 的坐标.
2 2 2 2 2 解 解: (1)由 得 a =3b ,椭圆方程为 x +3y =3b 答: 椭圆上的点到点 Q 的距离

2

2

=

① 当﹣b≤﹣1 时,即 b≥1, ② 当﹣b>﹣1 时,即 b<1, ∴ b=1 ∴ 椭圆方程为

得 b=1 得 b=1(舍)

(2)假设 M(m,n)存在,则有 m +n >1 ∵ |AB|= ,点 O 到直线 l 距离

2

2

∴ ∵ m +n >1
2 2

=

第 25 页(共 30 页)

∴ 0< 当且仅当 又∵ 解得:

<1,∴ ,即 m +n =2>1 时,S△AOB 取最大值 ,
2 2

所以点 M 的坐标为

或 ,△ AOB 的面积为 .





点 本题考查椭圆的标准方程,考查三角形面积的求解,考查基本不等式的运用,正确表示 评:三角形的面积是关键. 28. (2012?广东)设 a<1,集合 A={x∈R|x>0},B={x∈R|2x ﹣3(1+a)x+6a>0},D=A∩ B. (1)求集合 D(用区间表示) ; 3 2 (2)求函数 f(x)=2x ﹣3(1+a)x +6ax 在 D 内的极值点. 考点: 利用导数研究函数的极值;交集及其运算;一元二次不等式的解法. 专题: 导数的综合应用. 2 分析: (1)根据方程 2x ﹣3(1+a)x+6a=0 的判别式讨论 a 的范围,求出相应 D 即可;
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2

(2)由 f′ (x)=6x ﹣6(1+a)x+6a=0 得 x=1,a,然后根据(1)中讨论的 a 的取值 范围分别求出函数极值即可. 2 解答: 解: (1)记 h(x)=2x ﹣3(1+a)x+6a(a<1) 2 △ =9(1+a) ﹣48a=(3a﹣1) (3a﹣9) , 当△ <0,即 当 , ,D=(0,+∞) ,

2

当 a≤0,



(2)由 f′ (x)=6x ﹣6(1+a)x+6a=0 得 x=1,a, ① 当 ② 当
2

2

,f(x)在 D 内有一个极大值点 a,有一个极小值点; ,∵ h(1)=2﹣3(1+a)+6a=3a﹣1≤0,
2

h(a)=2a ﹣3(1+a)a+6a=3a﹣a >0,
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∴ 1?D,a∈D, ∴ f(x)在 D 内有一个极大值点 a. ③ 当 a≤0,则 a?D, 又∵ h(1)=2﹣3(1+a)+6a=3a﹣1<0. ∴ f(x)在 D 内有无极值点. 点评: 本题主要考查了一元二次不等式的解法 9,以及利用导数研究函数的极值,同时考查 了计算能力和分类讨论的数学思想,属于中档题. 29. (2012?湖南)已知函数 f(x)=e ﹣x,其中 a≠0. (1)若对一切 x∈R,f(x)≥1 恒成立,求 a 的取值集合. (2)在函数 f(x)的图象上取定两点 A(x1,f(x1) ) ,B(x2,f(x2) (x1<x2) ,记直线 AB 的斜率为 K,问:是否存在 x0∈(x1,x2) ,使 f′ (x0)>k 成立?若存在,求 x0 的取值 范围;若不存在,请说明理由. 考点: 导数在最大值、最小值问题中的应用;函数恒成立问题. 专题: 压轴题. 分析: (1)先确定 a>0,再求导函数,确定函数的单调性,可得
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ax

时,f(x)取最

小值 故对一切 x∈R,f(x)≥1 恒成立,则 ,构建新函数 g(t)=t﹣tlnt,则

g′ (t)=﹣lnt,确定函数的单调性,求出函数的最大值,由此即可求得 a 的取值集合; (2)由题意知, ,构建新函数 φ(x)=f′ (x)﹣

k=

,则



,构建函数 F(t)=e

t

﹣t﹣1,从而可证明 φ(x1)<0,φ(x2)>0,由此即可得到存在 x0∈(x1,x2) ,使 f′ (x0)>k 成立. ax 解答: 解: (1)若 a<0,则对一切 x>0,函数 f(x)=e ﹣x<1,这与题设矛盾, ∵ a≠0,∴ a>0 ∵ f′ (x)=ae ﹣1,令 f′ (x)=0,可得 令 f′ (x)<0,可得 ,函数单调减;令 f′ (x)>0,可得
第 27 页(共 30 页)
ax

,函

数单调增, ∴ 时,f(x)取最小值 ①

∴ 对一切 x∈R,f(x)≥1 恒成立,则

令 g(t)=t﹣tlnt,则 g′ (t)=﹣lnt 当 0<t<1 时,g′ (t)>0,g(t)单调递增;当 t>1 时,g′ (t)<0,g(t)单调递 减 ∴ t=1 时,g(t)取最大值 g(1)=1 ∴ 当且仅当 =1,即 a=1 时,① 成立 综上所述,a 的取值集合为{1}; (2)由题意知,

令 φ(x)=f′ (x)﹣k=

,则

令 F(t)=e ﹣t﹣1,则 F′ (t)=e ﹣1 当 t<0 时,F′ (t)<0,函数单调减;当 t>0 时,F′ (t)>0,函数单调增; t ∴ t≠0 时,F(t)>F(0)=0,即 e ﹣t﹣1>0 ∴ ,

t

t



>0,

∴ φ(x1)<0,φ(x2)>0 ∴ 存在 c∈(x1,x2) ,φ(c)=0 ∵ φ(x)单调递增,故这样的 c 是唯一的,且

当且仅当 x∈(

,x2)时,f′ (x)>k

综上所述,存在 x0∈(x1,x2) ,使 f′ (x0)>k 成立,且 x0 的取值范围为
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,x2)

点评: 本题考查导数知识的运用,考查函数的单调性与极值,考查构建新函数确定函数值的 符号,从而使问题得解. 30. (2012?湖南)在直角坐标系 xoy 中,曲线 C1 上的点均在 C2: (x﹣5) +y =9 外,且对 C1 上任意一点 M,M 到直线 x=﹣2 的距离等于该点与圆 C2 上点的距离的最小值. (Ⅰ )求曲线 C1 的方程 (Ⅱ )设 P(x0,y0) (y0≠±3)为圆 C2 外一点,过 P 作圆 C2 的两条切线,分别于曲线 C1 相 交于点 A,B 和 C,D.证明:当 P 在直线 x=﹣4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之 积为定值. 考 直线与圆锥曲线的综合问题;轨迹方程. 点: 专 综合题;压轴题. 题: 分 (Ⅰ )设 M 的坐标为(x,y) ,根据对 C1 上任意一点 M,M 到直线 x=﹣2 的距离等于 析: 该点与圆 C2 上点的距离的最小值,可得|x+2|= 且圆 C2 上的点位
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2

2

于直线 x=﹣2 的右侧,从而可得曲线 C1 的方程; (Ⅱ ) 当点 P 在直线 x=﹣4 上运动时, P 的坐标为 (﹣4, y0) , 设切线方程为 kx﹣y+y0+4k=0, 利用直线与圆相切可得 , 从而可得过 P 所作的两条切线 PA,

PC 的斜率 k1,k2 是方程的两个实根,设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 y1,y2,y3, y4,从而可得 ;同理可得 ,由此可得

当 P 在直线 x=﹣4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值为 6400. 解 (Ⅰ )解:设 M 的坐标为(x,y) ,由已知得|x+2|= 答: 点位于直线 x=﹣2 的右侧 ∴ =x+5
2

且圆 C2 上的

化简得曲线 C1 的方程为 y =20x (Ⅱ )证明:当点 P 在直线 x=﹣4 上运动时,P 的坐标为(﹣4,y0) , ∵ y0≠±3,∴ 过 P 且与圆 C2 相切的直线的斜率 k 存在且不为 0,每条切线都与抛物线有两 个交点,切线方程为 y﹣y0=k(x+4) ,即 kx﹣y+y0+4k=0, ∴ ,整理得 ①

设过 P 所作的两条切线 PA,PC 的斜率分别为 k1,k2,则 k1,k2 是方程① 的两个实根
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,消元可得



设四点 A,B,C,D 的纵坐标分别为 y1,y2,y3,y4, ∴ y1,y2 是方程③ 的两个实根 ∴ ④

同理可得 由② ④ ⑤ 可得



=

=

6400 ∴ 当 P 在直线 x=﹣4 上运动时,四点 A,B,C,D 的纵坐标之积为定值为 6400. 点 本题考查轨迹方程,考查直线与圆相切,考查韦达定理的运用,解题的关键是切线与抛 评:物线联立,属于中档题.

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