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广州市7区2014-2015高一下数学期末考试题及答案

2014-2015 学年第二学期期末教学质量监测

高一数学
一、选择题:(本大题共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分) 1. sin 600 的值等于( A.
?

)。 B. ?

1 2

1 2

C. ?

3 2

D.

3 2

2. 已知角 α 的终边经过点 P(?1, 2) ),则 tan ? ? ? A.3 B. -3

? ?

??

? 的值是( 4?
1 3

) 。 D. ?

C.

1 3

3. 在△ ABC 中,角 A、B、C 的对边分别为 a、b、c ,已知 A ? ( A. ) 。

?
3

, a ? 3 , b ? 1, 则 B=

? 3

B.

? 6

C.

5? 6

D.

? 5? 或 6 6

4. 已知 a ? b ? 0 , 则下列不等式一定成立的是( A. a ? ab
2

) 。

B. a ? b

1 1 ? C. a b

?1? ?1? D. ? ? ? ? ? ? 2? ? 2?

a

b

5. 已知向量 a 与 b 的夹角为 120 ,且 a ? b ? 1 ,则 a-b 等于(
?

) 。 D. 1

A. 3

B.

3

C. 2

6. 设等差数列 ?an ? 的前项和为 Sn ,已知 S10 ? 100 ,则 a2 ? a9 ? ( A. 100 B. 40 C. 20

) 。 D. 12

高一数学试题

第 - 1 - 页 共 10 页

7. 在等比数列 ?an ? 中, 若 a3a6 ? 9, a2 a4 a5 ? 27 , 则 a2 的值为( A. 2 B. 3 C. 4 D. 9

) 。

? y ? 1, ? 8. 如果实数 x 、 y 满足条件 ? 2 x ? y ? 1 ? 0, 则 2 x ? y 的最大值为( ? x ? y ? 1 ? 0. ?
A. 1 B.

) 。

5 3

C. 2

D. 3

9. 已知函数 f ( x) ? 2sin(? x ? ? ) ? ? ? 0, ? ? 析式是( ) 。

? ?

??

? 的图像如图 1 所示,则函数 f ( x) 的解 2?

A. f ( x) ? 2sin ?

? ? ? 10 x? ? 6 ? ? 11
1

y

? ? ? 10 B. f ( x) ? 2sin ? x? ? 6 ? ? 11
C. f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

O

? ?

? ?
? 6 ? ? 6 ?
图1

11? 12

x

D. f ( x) ? 2sin ? 2 x ?

? ?

? ?

? 10. 已 知 OA ? 1 , OB ? 3 , OA ? OB ? 0 , 点 C 在 AB 上 , 且 ?AOC ? 30 , 设

??? ?

??? ?

??? ? ??? ?

??? ? ??? ? ??? ? m ,则 等于( OC ? mOA? nOB( m , ? n ) R n
A. 1 3 B. 3 C.

) 。

3 3

D.

3

二、填空题:(本大题共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分) 11. 已知向量 a ? (1, 2), b ? ( x, 2) ,且 a ? b ,则实数 x 的值为 。

高一数学试题

第 - 2 - 页 共 10 页

12. 已知关于 x 的一元二次不等式 ax ? bx ? 2 ? 0 的解集为 {x | ?1 ? x ? 2} ,则
2

a ? b ? ___ ___。

13. 某观察站 C 与两灯塔 A 、 B 的距离分别为 300 米和 500 米,测得灯塔 A 在观察站 C 北 偏东 30 ,灯塔 B 在观察站 C 南偏东 30 处,则两灯塔 A 、 B 间的距离为__________。
? ?

14. 定义等积数列 {an } :若 an an?1 ? p ( p 为非零常数, n ? 2 ) ,则称 {an } 为等积数列,

p 称为公积.若 {an } 为等积数列, 公积为 1, 首项为 a , 前 n 项和为 Sn , 则 a2015 ? _________,

S2015 ? _________。

三、解答题:(本大题共 6 小题,满分 80 分,解答题写出必要的文字说明、推演步骤) 15. (本小题满分 12 分) 已知向量 a = (4, 3), b = (- 1, 2) . (1)求 a 与 b 的夹角的余弦值; (2)若向量 a ? ? b 与 2a ? b 平行,求 ? 的值。

高一数学试题

第 - 3 - 页 共 10 页

16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? 3(sin 2 x ? cos2 x) ? 2sin x cos x . (1)求 f ( x) 的最小正周期; (2)设 x ? [ ?

? ?

, ] ,求 f ( x) 的值域和单调递增区间。 3 3

17. (本小题满分 14 分) 在 ?ABC 中, 角 A, B, C 所对的边分别为 a, b, c , 且满足 cos (1)求 ?ABC 的面积; (2)若 b ? c ? 6 ,求 a 的值。

? ??? ? A 2 5 ??? , AB ? AC ? 3 . ? 2 5

高一数学试题

第 - 4 - 页 共 10 页

18. (本小题满分 14 分) 等差数列 {an } 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 13 , a2 为整数,且 Sn ? S5 . (1)求 {an } 的通项公式; (2)设 bn ?

1 ,求数列 {bn } 的前 n 项和 Tn 。 an an?1

19. (本小题满分 14 分) 围建一个面积为 360m 的矩形场地,要求矩形场地的一面利用旧墙 (利用的旧墙需维 修,可供利用的旧墙足够长),其他三面围墙要新建,在旧墙对面的新墙上要留一个宽 2 m 的 进出口,如图 2 所示.已知旧墙的维修费用为 45元 / m ,新墙的造价为 180元 / m .设利用旧 墙的长度为 x (单位: m ),修建此矩形场地围墙的总费用为 y (单位:元). (1)将 y 表示为 x 的函数,并写出此函数的定义域; (2)若要求用于维修旧墙的费用不得超过修建此矩形场地围墙的总费用的 15%,试确 定 x ,使修建此矩形场地围墙的总费用最小,并求出最小总费用。
2

x

图2

高一数学试题

第 - 5 - 页 共 10 页

20. (本小题满分 14 分) 设数列 ?an ? 的前 n 项和为 Sn ,已知 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ?? nan ? (n ?1)Sn ? 2n

(n ? N * ) .
(1)求 a2,a3 的值; (2)求证:数列 ?Sn ? 2? 是等比数列; (3)设 bn ?

8n ?14 ,数列 ?bn ? 的前 n 项和为 Tn ,求满足 Tn ? 0 的最小自然数 n 的值. Sn ? 2

高一数学试题

第 - 6 - 页 共 10 页

2014-2015 学年第二学期期末教学质量监测 高一数学试题参考答案及评分标准
一、选择题:本大题考查基本知识和基本运算.共 10 小题,每小题 5 分,满分 50 分. 题号 答案 1 C 2 D 3 B 4 C 5 B 6 C 7 B 8 D 9 C 10 B

二、填空题:本大题考查基本知识和基本运算.共 4 小题,每小题 5 分,满分 20 分. 题号 答案 11 12 13 14

?4

0

700m

a , 1008a ?

1007 . ( 第一空 2 分,第二空 3 分) a

三、解答题:本大题共6小题,满分80分. 15. 解: (1)? a ? (4, 3), b ? (?1, 2)

? a ? b ? 4 ? (?1) ? 3 ? 2 ? 2, a ? 42 ? 32 ? 5, b ? (?1) 2 ? 22 ? 5 ………………3 分

a ?b 2 2 5 ……………………6 分 ? ? a b 5 5 25 (2) ∵ a = (4, 3), b = (- 1, 2). ∴ a ? ?b ? (4 ? ? ,3 ? 2? ), 2a ? b ? (7,8) …………………………8 分 ∵向量 a ? ? b 与 2a ? b 平行, 4 ? ? 3 ? 2? ? ∴ …………………………10 分 7 8 1 解得: ? ? ? …………………………12 分 2
∴ cos ? a, b ?? 16. 解: (1)∵ f ( x) ? ? 3(cos2 x ? sin 2 x) ? 2 sin x cos x ? ? 3 cos 2 x ? sin 2 x

? 2sin(2 x ? ) 3

?

.

…………………… 4 分 ………… 5 分

? f ( x) 的最小正周期为 ? .
(2)∵ x ? [ ?

? ?

, ], 3 3

??? ? 2 x ?

?

3

?

?
3



∴ ?1 ? sin(2 x ?

?
3

)?

3 . 2
……………… 9 分 第 - 7 - 页 共 10 页

? f ( x) 的值域为 [?2, 3] .
高一数学试题

? 当 y ? sin( 2 x ?
由?

?
3

) 递增时, f ( x) 递增.

?
2

? 2x ?

?
3

?

?
3

,得 ?

?
12

?x?

?
3



故 f ( x ) 的递增区间为 ? ?

? ? ?? , . ? 12 3 ? ?

……………………12 分

17. 解: (1)∵ cos

A 2 5 ? 2 5
2

∴ cos A ? 2 cos ∵ AB ? AC ? 3

A 3 4 ? 1 ? , sin A ? 2 5 5

……………………4 分

??? ? ??? ?

∴ bc cos A ? 3 ………………………6 分 ∴ bc ? 5 ………………………7 分 ∴ ?ABC 的面积 S ?ABC ? (2)∵ bc ? 5 , b ? c ? 6 ∴ b ? 5, c ? 1 或 b ? 1, c ? 5 …………………………………11 分 由余弦定理得

1 bc sin A ? 2 ……………………8 分 2

a 2 ? b2 ? c2 ? 2bc cos A ? 20 ………………………13 分
∴ a ? 2 5 ………………………………14 分 18. 解: (1)在等差数列 {an } 中,由 Sn ? S5 得 a5 ? 0 , a6 ? 0 , 又 a1 ? 13 , ∴? ……………………2 分

?13 ? 4d ? 0 13 13 ?d ?? , ,解得 ? 4 5 ?13 ? 5d ? 0

…………………5 分

∵ a2 为整数,∴ d ? ?3 , ∴ {an } 的通项公式为 an ? 16 ? 3n .

……………………6 分 ……………………7 分

高一数学试题

第 - 8 - 页 共 10 页

(2)∵ bn ?

1 1 1 1 1 ? ? ( ? ) ,……………………9 分 an an?1 (16 ? 3n)(13 ? 3n) 3 13 ? 3n 16 ? 3n

∴ Tn ? b1 ? b2 ? ? ? bn

1 1 1 1 ? [( ? ) ? (? 3 10 13 7

1 1 1 ?) ( ? ?? ) ? 10 4 7

1 1 ( ? )] …………12 分 ? 1 n 3 3? n1 6 3

1 1 1 n ……………………14 分 ? ( ? )? 3 13 ? 3n 13 13(13 ? 3n)
19. (本小题满分 14 分) 解:(1)设矩形场地的宽为 am ,则

y ? 45x ? 180( x ? 2) ? 180 ? 2a ? 225x ? 360a ? 360 ……………2 分
∵ ax ? 360 ∴a ?

360 x

……………4 分

∴ y ? 225 x ? (2) ∵ x ? 0 ∴ y ? 225 x ?

3602 ? 360 ( x ? 2) x

……………6 分

3602 ? 360 ? 2 225 ? 3602 ? 360 ? 10440 x 3602 ,即 x ? 24 时,等号成立. x

……………9 分

当且仅当 225 x ?

……………11 分

当 x ? 24 时,修建此矩形场地围墙的总费用的 15%为:1566 元,用于维修旧墙的 费用为:1080 元. ∵1080<1566 ……………13 分 ∴当 x ? 24m 时,修建此矩形场地围墙的总费用最小,最小总费用是 10440 元. …………14 分 20.解: (1)∵ a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ?? nan ? (n ?1)Sn ? 2n (n ? N )
*

∴ a1 ? 2,

a1 ? 2a2 ? (a1 ? a2 ) ? 4 a1 ? 2a2 ? 3a3 ? 2(a1 ? a2 ? a3 ) ? 6 ……………………………………2 分
∴ a2 ? 4, a3 ? 8 ……………………………………3 分

高一数学试题

第 - 9 - 页 共 10 页

(2)证明:∵ a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ?? nan ? (n ?1)Sn ? 2n (n ? N * )

① ②

∴当 n ? 2 时, a1 ? 2a2 ? 3a3 ? ?? (n ?1)an ? (n ? 2)Sn?1 ? 2(n ?1) 由① ? ②得

……………………4 分

nan ? [(n ?1)Sn ? 2n] ? [(n ? 2)Sn?1 ? 2(n ?1)] ? n(Sn ? Sn?1 ) ? Sn ? 2Sn?1 ? 2 ? nan ? Sn ? 2Sn?1 ? 2
∴ ?Sn ? 2Sn?1 ? 2 ? 0 ,即 Sn ? 2Sn?1 ? 2 ∴ Sn ? 2 ? 2(Sn?1 ? 2) ∵ S1 ? 2 ? 4 ? 0 ∴ Sn?1 ? 2 ? 0 ∴ ……………………6 分

Sn ? 2 ? 2 ∴数列 ?Sn ? 2? 是以 4 为首项,2 为公比的等比数列。…………………8 分 Sn ?1 ? 2

(3) 由(2)得 Sn ? 2 ? 2n?1 ∴ bn ?
8n ? 14 4n ? 7 ? Sn ? 2 2n
3 1 5 4n ? 7 ? 2 ? 3 ??? 2 2 2 2n
………………………………9 分

∴ Tn ? ?

1 3 1 5 4n ? 11 4n ? 7 Tn ? ? 2 ? 3 ? 4 ? ? ? ? n ?1 2 2 2 2 2n 2
以上两式相减得

1 3 1 1 1 4n ? 7 Tn ? ? ? 4( 2 ? 3 ? ? ? n ) ? 2 2 2 2 2 2n

即 Tn ?

2 n ? 4n ? 1 2n

………………………………12 分

当 n ? 1, 2, 3, 4 时, Tn ? 0 ,当 n ? 5 时, Tn ? 0 ………………………………13 分

所以满足 Tn ? 0 的最小自然数 n 的值为 5。………………………………14 分 高一数学试题 第 - 10 - 页 共 10 页


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