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湖南省师大附中12-13学年高一上学期期中考试(数学)


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湖南省湖南师大附中 2012-2013 学年高一第一学期期中考试数学试题 时量:120 分钟 满 分:100 分(必考试卷Ⅰ) 50 分(必考试卷Ⅱ) 命题人:高一备课组 试卷Ⅰ 一、选择题:本大题共 7 个小题,每小题 5 分,满分 35 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1. 已知全集 U ? {1, 2,3, 4,5,6,7,8} , M ? {1,3,5,7}, N ? {2,5,8} ,则 (? M ) ? N ? ( U A. {5} B. {2,8} C. {1,3,7} D. {4, 6} ( ) )

2. 函数 f ( x) ? 3ax ?1 ? 2a 在区间 (?1,1) 上存在一个零点,则 a 的取值范围是 A. ?1 ? a ?

1 5

B. a ?

1 5

C. a ?

1 或a ? ?1 5

D. a ? ?1 )

3. 下列函数中,既是偶函数,又在区间 (0, ??) 上单调递减的函数是( A. y ? x
?2

B. y ? x

?1

C. y ? x ? 2
2

D. y ? log 1 x
2

4. 下列函数中,值域为 (0, ??) 的函数是( A. y ? 2
x


2

B. y ? 4

?

1 x

C. y ? x ? 2 x ? 2
2

D. y ?| lg x |

5.设 a ? ( ) 5 , b ? ( ) 5 , c ? ( ) 5 ,则 a, b, c 的大小关系是 A. a ? b ? c 6. 函数 y ? B. c ? a ? b ) C. a ? b ? c D. b ? c ? a

2 5

3

2 5

2

3 5

x 的定义域是( lg(2 ? x)
B. [0.1) ? (1, 2)

A. [0, 2)

C. (1, 2)

D. [0,1) )

7. 已知函数 f ( x) ?| log 3 x | ,若 a ? b 时,有 f (a) ? f (b) ,则( A. a ? b ? 1 B. a ? b ? 1 C. ab ? 3

D. ab ? 1

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二、填空题:本大题共 6 个小题,每小题 5 分,共 30 分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上. 8.计算 log 4 36 ?

1 log 2 9 ? 2

.

9.若幂函数 y ? f ( x) 的图像经过点 (27,3) ,则 f (8) 的值是
2

. .

10.函数 f ( x) ? x ? 2ax ? 1 在区间 [?1, 2] 上的最小值是 f (2) ,则 a 的取值范围是 11.用二分法求方程 ln x ? 2 ? x ? 0 在区间 [1, 2] 上零点的近似值,先取区间中点 c ? 间是 .

3 ,则下一个含根的区 2

12.给出下列四个命题:①函数 f ( x) ? 1, x ? R 是偶函数;②函数 f ( x) ? x 与 g ( x ) ?

x2 ? x x ?1

是相同的函数;③函数 y ? 3x( x ? N ) 的图像是一条直线; ④已知函数 f (x) 的定义域为 R, 对任意实数 x1 , x 2 ,当 x1 ? x 2 时,都有 序号是

f ( x1 ) ? f ( x2 ) ? 0 ,则 f (x) 在 R 上是减函数.其中正确命题的 x1 ? x2

. (写出你认为正确的所有命题序号)

13. 设函数 f ( x) ? ?log (? x), x ? 0 , 则 f ( x) 是 1

?log 2 x, ? ? ?
2

x?0

函数(填奇、偶、非奇非偶),若 f (a) ? f (?a) ,

则实数 a 的取值范围是

.

三、解答题:本大题共 3 小题,共 35 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 14. (本小题满分 11 分) 解关于 x 的不等式: a
6? x

? a 2?3 x (a ? 0, 且 a ? 1) .

15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? m ? (1) 求 m 的值; (2) 先判断 f ( x) 的单调性,再证明之.
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2 是 R 上的奇函数, 2 ?1
x

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16. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? log 3 (8 ? 2 x ? x 2 ) ,设其值域是 M , (1)求函数 f ( x) 的值域 M ; (2)若函数 g ( x) ? 4 ? 2
x 1? x

? m 在 M 内有零点,求 m 的取值范围.

试卷Ⅱ 一、选择题:本大题共 1 个小题,每小题 5 分,满分 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的. 1. 已知函数 f ( x) ?

4x ? 1 在区间 [?a, a](a ? 0) 上的最大值与最小值分别是 M , m , 2x
. B. 1 C. 2 D. 因 a 的变化而变化

则 m ? M 的值为 A. 0

二、填空题:本大题共 1 个小题,每小题 5 分,共 5 分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上. 2. 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ( a , b 是常数,且 a ? 0 )有零点 2 ,且方程 f ( x) ? x 有两个相等的
2

实数根.则 f ( x) 的解析式是

.

三、解答题:本大题共 3 小题,共 40 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 3.(本小题满分 13 分)

1 x ? x?0 ?2 ? ( 3 ) , ? 已知函数 f ( x ) ? ? . ? 1 x 2 ? x ? 1, x ? 0 ?2 ?
(1)请在直角坐标系中画出函数 f ( x) 的图象,并写出该函数的单调区间; (2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 恰有 3 个不同零点,求实数 m 的取值范围。
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4. (本小题满分 13 分) 经市场调查,某门市部的一种小商品在过去的 20 天内的日销售量(件)与价格(元) 均为时间 t (天)的函数,且日销售量近似满足函数 g (t ) ? 80 ? 2t (件) ,而日销售价格近

1 ? ( ?15 ? 2 t   0 ? t ? 10 ) ? 似满足于 f (t ) ? ? (元) . ?25 ? 1 t  10 ? t ? 20 ) ( ? 2 ?
(1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t (0 ? t ? 20) 的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值.

5.(本小题满分 14 分) 一般地,如果函数 f ( x) 的图象关于点 (a, b) 对称,那么对定义域内的任意 x ,则

f ( x) ? f (2a ? x) ? 2b 恒成立. 已知函数 f ( x) ?
称. (1)求常数 m 的值; (2)解方程: log 2 [1 ? f ( x)]log 2 [4? x f ( x)] ? 2 ; (3)求证: f ( ) ? f ( ) ? ? ? f (

4x 1 1 的定义域为 R ,其图象关于点 M ( , ) 对 x 4 ?m 2 2

1 n

2 n

n?2 n ?1 n 3n ? 1 )? f ( )? f ( ) ? ( n ? N ? ). n n n 6

湖南师大附中高一年级数学必修 1 模块结业考试参考答案 试卷Ⅰ
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一.选择题(5′×7=35′) 题号 答案 1 B 2 C 3 A 4 A 5 C

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6 B

7 D

二.填空题(5′×6=30′) 8. 1 ; 11. [ , 2] ; 9. 2 ; 10. a ? 2 ; 13.奇 、 (?1,0) ? (1, ??) .

3 2

12.①④;

三.解答题:本大题共 3 小题,共 35 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 14. (本小题满分 11 分) 解关于 x 的不等式: a
6? x

? a 2?3 x (a ? 0, 且 a ? 1) .

当 0 ? a ? 1时, 6 ? x ? 2 ? 3x ? x ? 1 , 解集是 (1, ??) ……………………6 分 当 a ? 1 时,解集是 (??,1) ……………………11 分 15. (本小题满分 12 分) 已知函数 f ( x) ? m ? (1)求 m 的值; (2)先判断 f ( x) 的单调性,再证明之. 解: (1)据题意有 f (0) ? 0 ,则 m ? 1……………………5 分 (2) f ( x) 在 R 上单调递增,以下证明之: 任取 x1 , x2 ? R ,且 x1 ? x2

2 是 R 上的奇函数, 2 ?1
x

f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? ?

2 2 2(2 x2 ? 2 x1 ) ? x1 ? x2 2 x2 ? 1 2 ? 1 (2 ? 1)(2 x1 ? 1)

? x2 ? x1 ? 2 x2 ? 2 x1 ,∴ f ( x2 ) ? f ( x1 ) ? 0 ? f ( x2 ) ? f ( x1 ) ,
故 f ( x) 在 R 上单调递增……………………12 分 16. (本小题满分 12 分)
2 已知函数 f ( x) ? log 3 (8 ? 2 x ? x ) ,设其值域是 M ,

(1)求函数 f ( x) 的值域 M ;
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(2)若函数 g ( x) ? 4 ? 2
x 1? x

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? m 在 M 内有零点,求 m 的取值范围.

解: (1)设 u ? 8 ? 2 x ? x 2 ,则 8 ? 2 x ? x 2 ? 0 ? ?4 ? x ? 2 ……………………2 分 则 u ? 8 ? 2 x ? x ? 9 ? ( x ? 1) ? (0,9] ,……………………4 分
2 2

? y ? log3 u ? (??, 2] 即函数 f ( x) 的值域 M ? (??, 2] ……………………6 分(2)∵当
x ? ( ??, 2]时,有 t ? 2x ? (0, 4] ,
又4 ?2
x 1? x

? (2 x )2 ? 2 ? 2 x ? t 2 ? 2t ……………………8 分
x 1? x

∴ 函数 g ( x) ? 4 ? 2

? m 在 M 内有零点等价于:

关于 t 的方程: m ? t 2 ? 2t 在 (0, 4] 内有解,………………10 分 而 t ? 2t ? (t ? 1) ? 1? [?1,8]
2 2

∴ m?[?1,8] 试卷Ⅱ

……………………12 分

一、选择题:本大题共 1 个小题,每小题 5 分,满分 5 分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要 求的.

4x ? 1 1. 已知函数 f ( x) ? 在区间 [?a, a](a ? 0) 上的最大值与最小值分别是 M , m , 2x
则 m ? M 的值为 A. 0 B. 1 . A C. 2 D. 因 a 的变化而变化

二、填空题:本大题共 1 个小题,每小题 5 分,共 5 分.请把答案填在答题卷对应题号后的横线上. 2. 已知二次函数 f ( x) ? ax ? bx ( a , b 是常数,且 a ? 0 )有零点 2 ,且方程 f ( x) ? x 有两个相等的
2

实数根.则 f ( x) 的解析式是

. f ( x) ? ?

1 2 x ?x 2

三、解答题:本大题共 3 小题,共 40 分,解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤. 3.(本小题满分 13 分)

1 x ? x?0 ?2 ? ( 3 ) , ? 已知函数 f ( x ) ? ? . ? 1 x 2 ? x ? 1, x ? 0 ?2 ?
(1)请在直角坐标系中画出函数 f ( x) 的图象,并写出该函数的单调区间;
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(2)若函数 g ( x) ? f ( x) ? m 恰有 3 个不同零点,求实数 m 的取值范围。 解: (1)函数 f ( x) 的图象如右图;………………5 分 函数 f ( x) 的单调递减区间是 (0,1) 单调增区间是 (??,0) 及 (1, ??) ………………8 分 (2)作出直线 y ? m , 函数 g ( x) ? f ( x) ? m 恰有 3 个不同零点等价于函数 -1 -1 1/2 O 1 y=m x y

y?m 与 函 数

f (x) 的图象恰有三个不同公共点。

1 x ? x?0 ?2 ? ( 3 ) , 1 ? 由函数 f ( x ) ? ? 的图象易知: m ? ( ,1) ………………13 分 2 ? 1 x 2 ? x ? 1, x ? 0 ?2 ?
4. (本小题满分 13 分) 经市场调查,某门市部的一种小商品在过去的 20 天内的日销售量(件)与价格(元) 均为时间 t (天)的函数,且日销售量近似满足函数 g (t ) ? 80 ? 2t (件) ,而日销售价格近

1 ? ( ?15 ? 2 t   0 ? t ? 10 ) ? 似满足于 f (t ) ? ? (元) . 1 ?25 ? t  10 ? t ? 20 ) ( ? 2 ?
(1)试写出该种商品的日销售额 y 与时间 t (0 ? t ? 20) 的函数表达式; (2)求该种商品的日销售额 y 的最大值与最小值. 解: (1)由已知得:

1 ? ?(15 ? 2 t )(80 ? 2t ), (0 ? t ? 10) ? ?t 2 ? 10t ? 1200, (0 ? t ? 10) ? ? ?? 2 y?? ? ?(25 ? 1 t )(80 ? 2t ), (10 ? t ? 20) ?t ? 90t ? 2000, (10 ? t ? 20) ? ? 2
……………………6 分 (2)由(1)知①当 0 ? t ? 10 时 y ? ?t ? 10t ? 1200 ? ?(t ? 5) ? 1225
2 2

( 该函数在 t ? [0,5]递增,在t ? 5,10]递减
? ymax ? 1225(当t ? 5时取得), ymin ? 1200(当t ? 0或10时取得)
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……………………9 分

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②当 10 ? t ? 20 时

2 y ? t 2 ? 90t ? 2000 ? ? 45) ? 25 (t

( 20 该函数在 在t ? 10, ]递减 , y min ? 600 (当t ? 20时取得)
……………………12 分 由①②知

ymax ? 1225 (当t ? 5时取得)

y min ? 600 (当t ? 20时取得)
……………………13 分

5.(本小题满分 14 分) 一般地,如果函数 f ( x) 的图象关于点 (a, b) 对称,那么对定义域内的任意 x ,则

f ( x) ? f (2a ? x) ? 2b 恒成立.
已知函数 f ( x) ?

4x 1 1 的定义域为 R ,其图象关于点 M ( , ) 对称. x 4 ?m 2 2

(1)求常数 m 的值; (2)解方程: log 2 [1 ? f ( x)]log 2 [4? x f ( x)] ? 2 ; (3)求证: f ( ) ? f ( ) ? ? ? f (

1 n

2 n

n?2 n ?1 n 3n ? 1 )? f ( )? f ( ) ? ( n ? N ? ). n n n 6

4x 解: (1)? f ( x) ? x 的定义域为 R ,? m ? 0 4 ?m
由题意有 f ( x) ? f (1 ? x) ?

4x 41? x ? 1? x ? 1 恒成立 4x ? m 4 ? m

?

4 m ? (4 ? m2 )4 x ? 0 ,又 m ? 0 ,? m ? 2 ……………………4 分 ? x x 4? 4 ?m 4 ? m

(2)由(1)知: f ( x ) ?

4x 4x ? 2
2 1 log 2 x ? [log 2 (4 x ? 2) ? 1]log 2 (4 x ? 2) 4 ?2 4 ?2
x

∴ log 2 [1 ? f ( x)]log 2 [4? x f ( x)] ? log 2

……………………7 分
x 令 log 2 (4 ? 2) ? t ,则原方程变为: t 2 ? t ? 2 ? 0 ,解之得 t ? ?1 或 t ? 2 ,

当 t ? ?1 时, log 2 (4 x ? 2) ? ?1 ? 4 x ? ?

3 ,无解 2
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当 t ? 2 时, log 2 (4 x ? 2) ? 2 ? 4 x ? 2 ? x ? (3)由(1)知 f ( x) ? f (1 ? x) ? 1 , f ( x ) ?

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1 ……………………9 分 2

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4x 4x ? 2

法 1:设 g (n) ?

1 2 3 n ?1 n f ( ) ? f ( ) ? f ( ) ??? f ( ) ? f ( ) 可写成 n n n n n
n ?1 n?2 n?3 1 n )? f ( )? f ( ) ??? f ( ) ? f ( ) n n n n n n 3n ? 1 ) ? n ? 1 ? 2 f (1) ? , n 3

g ( n) ? f (

两式相加得 2 g (n) ? n ? 1 ? 2 f (

所以 g (n) ?

3n ? 1 6

……………………………………………………14 分

法 2:由(1)知 f ( x) ? f (1 ? x) ? 1 ,再对 n 分奇偶分别证明.

第 9 页(共 9 页)

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