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2.3.1《直线与平面、平面与平面垂直的判定》导学案(人教A版必修2)


2.3.1《直线与平面、平面与平面垂直的判定》导学案
【学习目标】 (1)使学生掌握直线和平面垂直的定义及判定定理; (2)使学生掌握判定直线和平面垂直的方法; (3)培养学生的几何直观能力,使他们在直观感知,操作确认的基础上学会归纳、概括 结论。 (4)使学生正确理解和掌握“二面角” 、 “二面角的平面角”及“直二面角” 、 “两个平面 互相垂直”的概念; (5)使学生掌握两个平面垂直的判定定理及其简单的应用; 【导入新课】 提出问题:在现实生活中,我们经常看到一些直线与平面垂直的现象,例如: “旗杆与 地面,大桥的桥柱和水面等的位置关系” ,你能举出一些类似的例子吗? 思考: 一条直线与一个平面垂直的意义是什么?并通过分析旗杆与它在地面上的射影的 位置关系引出课题内容。 新授课阶段 1.直线与平面垂直的定义及判定定理 如果直线 L 与平面 α 内的任意一条直线都垂直,我们就说直线 L 与平面 α 互相垂直, 记作 L⊥α,直线 L 叫做平面 α 的垂线,平面 α 叫做直线 L 的垂面。如图,直线与平面垂直 时,它们唯一公共点 P 叫做垂足。并对画示表示进行说明。 L

p α 判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 强调: a) 定理中的“两条相交直线”这一条件不可忽视; b) 定理体现了“直线与平面垂直”与“直线与直线垂直”互相转化的数学 思想。 2.二面角的有关概念

展示一张纸面,并对折让学生观察其状,然后引导学生用数学思维思考,并对以上问 题类比,归纳出二面角的概念及记法表示(如下表所示) 角 A 边 图形 顶点 O 边 B B α 从平面内一点出发的两条射线(半 定义 直线)所组成的图形 构成 表示 3、二面角的度量 二面角定理地反映了两个平面相交的位置关系,如我们常说“把门开大一些” ,是指二 面角大一些,那我们应如何度量二两角的大小呢?师生活动:师生共同做一个小实验(预先 准备好的二面角的模型)在其棱上位取一点为顶点,在两个半平面内各作一射线(如图 2.3-3) ,通过实验操作,研探二面角大小的度量方法——二面角的平面角。 指出: (1)在表示二面角的平面角时,要求“OA⊥L” ,OB⊥L; (2)∠AOB 的大小与点 O 在 L 上位置无关; (3)当二面角的平面角是直角时,这两个平面的位置关系怎样? 承上启下,类比、自主探究, 4. 两个平面互相垂直的判定定理: 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 课堂小结 (1)二面角以及平面角的有关概念; (2)两个平面垂直的判定定理的内容,它与直线与平面垂直的判定定理有何关系? 作业 见同步练习部分 拓展提升 β B 射线 — 点(顶点)一 射线 ∠AOB 成的图形 半平面 一 线(棱)一 半平面 二面角α -l-β 或α -AB-β 从空间一直线出发的两个半平面所组 A 梭 l β 二面角

1. 如图 BC 是 Rt⊿ABC 的斜边,过 A 作⊿ABC 所在平面 ? 垂线 AP,连 PB、PC,过 A 作 AD⊥BC 于 D,连 PD,那么图

P _

A _

中直角三角形的个数是 A.4 个 B.6 个 C.7 个 D.8 个 (




B _ D _

?
C _

2. 下列说法正确的是

)

A.直线 a 平行于平面 M,则 a 平行于 M 内的任意一条直线 B.直线 a 与平面 M 相交,则 a 不平行于 M 内的任意一条直线 C.直线 a 不垂直于平面 M,则 a 不垂直于 M 内的任意一条直线 D.直线 a 不垂直于平面 M,则过 a 的平面不垂直于 M 3.直三棱柱 ABC—A1B1C1 中,∠ACB=90°,AC=AA1=a,则点 A 到平面 A1BC 的距离是 ( ) A.a B.

2a

C.

2 a 2

D.

3a

4.已知 PA、PB、PC 是从点 P 发出的三条射线,每两条射线的夹角都是 60?,则直线 PC 与平面 PAB 所成的角的余弦值为 。

5 .平面 ? 外有两点 A,B ,它们与平面 ? 的距离分别为 a,b ,线段 AB 上有一点 P ,且 AP:PB=m:n,则点 P 到平面 ? 的距离为_________________。 6.在三棱锥 P-ABC 中,三条侧棱 PA,PB,PC 两两垂直,H 是△ABC 的垂心,求证:⑴ PH?底面 ABC ; ⑵△ABC 是锐角三角形。

P

H
A

E

C

7.如图,已知 AO 是正四面体 ABCD 的高,M 是 AO 的中点,连结 BM、CM、DM。 求证:BM、CM、DM 两两垂直。 M B O C D A

8.已知正四棱柱 ABCD—A1B1C1D1,底面边长为 3,侧棱长为 4,连 CD1,作 C1M⊥CD1 交 DD1 于 M。 (1)求证:BD1⊥平面 A1C1M。 (2)求二面角 C1—A1M—D1 的正切值。

参考答案
新授课阶段 1.直线与平面垂直的定义及判定定理 如果直线 L 与平面 α 内的任意一条直线都垂直, L⊥α,垂线 垂面 垂足 判定定理: 一条直线与一个平面内的两条相交直线都垂直,则该直线与此平面垂直。 3、二面角的度量 二面角的平面角。 4. 两个平面互相垂直的判定定理: 一个平面过另一个平面的垂线,则这两个平面垂直。 拓展提升 1. D【解析】Rt△PAB,Rt△PAC,Rt△ABC, Rt△ABD Rt△ADC,Rt△PAD,Rt△PDC, Rt△PDB。 2. B【解析】根据平行和垂直的性质即可得。 3. C【解析】取 A1C 的中点 O,则 AO 就是 A 到面 A1BC 的距离。 4. 5.

3 【解析】特殊化处理,构成正四面体。 3

na ? mb mb ? na 或| | 【解析】分 A、B 在α 的同侧和异侧。 m?n m?n
∴PA?侧面 PBC 又∵BC? 平面 PBD ∴PA?BC ∵H 是△ABC 的垂心 ∴AH?BC ∵PA∩AH=A ∴BC?截面 PAH 又 PH? 平面 PAH ∴BC?PH 同理可证:AB?PH 又 AB?BC=B ∴PH?面 ABC
A H B E C P

6.证明:⑴∵PA?PB PA?PC 且 PB∩PC=P

⑵设 AH 与直线 BC 的交点为 E,连接 PE, 由⑴知 PH?底面 ABC PE?BC ∵PB?PC 即△BPC 是直角三角形,BC 为斜边 ∴E 在 BC 边上 由于 AE?BC,故∠B∠C 都是锐角 同理可证:∠A 也是锐角 ∴△ABC 为锐角三角

7.证明:设正四面体的棱长为 a.∵AO 是高,∴O 是正三角形 BCD 的中心. 连 结 OD, 则 中,AO= CM= OD=

2 3 3 ? a? a . 在 Rt △ AOD 3 2 3
B

A M O C D

6 ,OM= 6 ;在 Rt△MOD 中,DM= 2 .同理 a a a 3 6 2

2 ,∴CM2+DM2=CD2. a 2

∴CM?DM.同理 BM?CM,DM?BM.∴BM、CM、DM 两两垂直. 8.⑴ 证明:B1D1⊥A1C1,∴B1D1⊥A1C1 ,∵CD1⊥C1M,∴B1D1⊥C1M, ∴B1D1⊥平面 A1C1M ⑵过 D1 在平面 A1D1DA 内作 D1E⊥MA1,连 C1E, 则∠C1ED1 为二面角 C1—A1M—D1 的平面角 ∵C1C=4,C1D1 = 3,∴CD1 = 5, 又∵MC1⊥CD1,∴ tan ?C1MD1 ?

9 15 C1D1 CC1 4 ? ? ,∴ MD1 ? ,又 MA1 ? 4 4 MD1 C1 D1 3

由 ED1MA1 = MD1A1D1,得 ED1 ?

9 CD 5 ,∴ tan ?C1 ED ? 1 1 ? 5 ED1 3


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