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【全程复习方略】(全国通用)2016高考数学 3.1 任意角和弧度制及任意角的三角函数练习


课时提升作业(十六) 任意角和弧度制及任意角的三角函数

(25 分钟 一、选择题(每小题 5 分,共 35 分) 1.下列说法中, 正确的是( )

50 分)

? A.小于 2 的角是锐角
B.第一象限的角不可能是负角 C.终边相同的两个角的差是 360°的整数倍 D.若α 是第一象限角,则 2α 是第二象限角

? ? 【 解析】选 C.锐角的范围是(0, 2 ),小于 2 的角还有 0 角和负角,它们都不是锐角,所以 A 不正确;-300°角
的终边就落在第一象限,所以 B 不正确;与角α 终边相同的角都可以写成α +k? 360°(k∈Z)的形式,其差显然 是 360°的整数倍,所以 C 正确;若α 是第一象限的角,则 k?360°<α <k?360°+90°,所以 2k? 360°<2α <2k?360°+180°(k∈Z),所以 2α 是第一象限或第二象限或终边在 y 轴非负半轴上的角,所以 D 不正确.

? 【误区警示】本题易因角的范围与象限角的概念不清而致误 .锐角、小于 2 的角是从范围而言的,而象限角
是从终边的位置来说的,它们的概念不同,应对其正确区分,否则极易出错. 2.已知角α 的终边落在 y 轴上,则下列说法正确的是( ) A.α =90°+k?360°,k∈Z B.α =90°+k?270°,k∈Z C.sinα =1 D.cosα =0 【解析】选 D.终边落在 y 轴上的角α 可表示为α =90°+k?180°,k∈Z,故 A,B 不正确;当α 的终边落在 y 轴的正半轴上时,sinα =1,cosα =0,当α 的终边落在 y 轴的负半轴上时,sinα =-1,cosα =0,故 C 不正确,D 正确. 3.在半径为 4 的圆中,150°的圆心角所对的弧长为( )

A.6

B.600

5 C. 6 π

10 D. 3 π

? 5 5 10 【解析】选 D.150°的弧度数是 180 ?150= 6 π ,弧长 l=4? 6 π = 3 π .

| sin? | tan? 4 ? | tan? | 的值是( 4.(2015?成都模拟)已知角α =2kπ - 3 π (k∈Z),则 sin?
A.0 B.2 C.-2 D.不存在

)

4 【解析】选 A.因为α =2kπ - 3 π (k∈Z)是第二象限角,
-1-

| sin? | tan? ? sin ? | tan? | =1-1=0. 所以 sinα >0,tanα <0,所以
5.若点 P(sinθ cosθ ,cosθ )位于第二象限,则角θ 所在的象限是( A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限 【解题提示】根据三角函数值的符号判断角θ 所在的象限. )

?sin?cos? ? 0, ? cos? ? 0, 【解析】选 D.由题意,得 ?
所以 sinθ <0,cosθ >0,故θ 是第四象限的角. 6.(2015?汉中模拟)已知角α 的终边经过点(3a-9,a+2),且 cosα ≤0,sinα >0,则实数 a 的取值范围是( ) A.(-2,3] B.(-2,3) C.[-2,3) D.[-2,3] 【解析】选 A. 由 cos α ≤ 0,sin α >0 可知 , 角 α 的终边落在第二象限内或 y 轴的非负半轴上 , 所以有

?3a ? 9 ? 0, ? ?a ? 2 ? 0, 即-2<a≤3.
即 a 的取值范围为-2<a≤3. 7.若角α 的终边在直线 y=-x 上,则角α 的取值集合为( A.{α |α =k?360°-45°,k∈Z} )

3 B.{α |α =k?2π + 4 π ,k∈Z} 3 C.{α |α =k?180°+ 4 π ,k∈Z} ? D.{α |α =k?π - 4 ,k∈Z}
【解析 】选 D.角α 的取值集合为

3 ? {α |α =2nπ + 4 π ,n∈Z}∪{ α |α =2nπ - 4 ,n∈Z} ? ? ? ={α |α =(2n+1)π - 4 ,n∈Z}∪{α |α =2nπ - 4 ,n∈Z}={α |α =kπ - 4 ,k∈Z},故选 D.
【误区警示】解答本题易误选 C.出错的原因是忽视了角度数与弧度数是不同的单位,不能加减. 二、填空题(每小题 5 分,共 15 分) 8.-300°角的弧度数是 .

? 5 【解 析】-300°角的弧度数是-300? 180 =- 3 π .

-2-

5 答案:- 3 π
9.(2015?大连模拟)点 P 是始边与 x 轴的正 半轴重合,顶点在原点的角θ 的终边上的一点,若|OP|=2,θ =60°, 则点 P 的坐标是 .

y x 【解析】设 P(x,y),由三角函数的定义,得 sin 60°= 2 ,cos 60°= 2 ,所以 x=
2cos 60°=1,y=2sin 60°= 3 ,故点 P 的坐标为(1, 答案:(1, 3 ) 10.已知角α 的终边经过点(1,-1),始边与 x 轴的正半轴重合,顶点在坐标原点,则角α 的取值集合为 【解题提示】先由 角α 的终边经过点(1,-1)在[0,2π )或(-2π ,0]内确定一个角,再加上 2kπ (k∈Z). .

3 ).

7 【解析】如图,由图易知,在[0,2π )内,α = 4 π ,所以角α 的取值集合为{α |α 7 = 4 π +2kπ ,k∈Z}. 7 答案:{α |α = 4 π +2kπ ,k∈Z} ? 【一题多解】你还知道本题的其他解法吗?本题还可进行如下解答:由图易知 ,在[-2π ,0)内,α =- 4 ,所以角α ? 的取值集合还可表示为{α |α =- 4 +2kπ ,k∈Z}. ? 答案: {α |α =- 4 +2kπ ,k∈Z}

(20 分钟 40 分) 1.(5 分)(2015?龙岩模拟)下列各选项中正确的是( A.sin 300°>0 B.cos(-305°)<0 )

(?
C.tan

22 ?) 3 >0

D.sin 10<0

【解析】选 D.300°=360°-60°,则 300°是第四象限角;-305°=-360°+55°,则-305°是第一象限角;因为

22 2 22 7 - 3 π =-8 π + 3 π , 所以 - 3 π 是第二象限角 ;因为 3 π <10< 2 π , 所以 10 是第三象限角 . 故 sin 300 °
<0,cos(-305°)>0,
-3-

(?
tan

22 ?) 3 <0,sin 10<0,选 D.
)

2.(5 分)一条弦的长等于半径,则这条弦所对的圆周角的弧度数为(

A.1

1 B. 2

? 5? C. 6 或 6

? 5? D. 3 或 3

? 5? ? 5? 【解析】选 C.弦长等于半径,弦把圆分成两部分,所对的圆心角为 3 或 3 ,故弦所对的圆周角为 6 或 6 .
3.(5 分)(2015?铜陵模拟)已知α =-2 015°,则与角α 终边相同的最小正角为 ,最大负角为 . 【解题提示】写出与α 终边相同的角的集合,确定最小正角和最大负角. 【解析】α 可以写成-6?360°+145°的形式,则与α 终边相同的角可以写成 k?360°+145°(k∈Z)的形式. 当 k=0 时,可得与角α 终边相同的最小正角为 145°,当 k=-1 时,可得最大负角为-215°. 答案:145° -215° 4.(12 分)角α 的终边上的点 P 与 A(a,b)关于 x 轴对称(a≠0,b≠0),角β 的终边上的点 Q 与 A 关于直线 y=x 对称,

sin? tan? 1 ? ? 求 cos? tan? cos?sin? 的值.

a b 2 2 2 2 2 2 【解析】由题意得 P(a,-b),Q(b,a),所以 sinα = a ? b ,cosα = a ? b ,tanα = a ,sinβ = a ? b ,
? a cosβ = a ? b ,tanβ = b ,
2 2

?b

a

b

sin? tan? 1 b2 a 2 ? b2 ? ? ? ?1 ? 2 ? ? 0. a a2 所以 cos? tan? cos?sin?
1 3 【加固训练】已知角α 终边经过点 P(x,- 2 )(x≠0),且 cosα = 6 x.求 sinα + tan ? 的值.

【 解 析 】 因 为 P(x,-

3 2 )(x ≠ 0), 所 以 点 P 到 原 点 的 距 离 r= x ? 2 , 又 cos α = 6 x, 所 以 cos α
2

x
=

x2 ? 2

?

3 x. 6

因为 x≠0,所以 x=± 10 ,所以 r= 2 3 . 当 x= 10 时,P 点坐标为( 10 ,- 2 ),

由三角函数的定义,有 sinα =

?

6 1 , ? ? 5, 6 tan?
-4-

1 6 6 5? 6 ?? ? 5?? ; 6 6 所以 sinα + tan? 1 6 5? 6 ? . 6 当 x=- 10 时,同理可求得 sinα + tan?
5.(13 分)(能力挑战题)如图所示,动点 P,Q 从点 A(4,0)出发沿圆周运动,点

? ? P 按逆时针方向每秒钟转 3 弧度,点 Q 按顺时针方向每秒钟转 6 弧度,求
P,Q 第一次相遇时所用的时间、相遇点的坐标及 P,Q 点各自走过的弧长. 【解析】设 P,Q 第一次相遇时所用的时间是 t,

? ? 则 t? 3 +t?|- 6 |=2π .所以 t=4(秒),即第一次相遇的时间为 4 秒.设第一 ? 4? 次相遇点为 C,第一次相遇时 P 点已运动到终边在 3 ?4= 3 的位置,则 ? ? xC=-cos 3 ?4=-2,yC=-sin 3 ?4=- 2 3 .所以 C 点的坐标为(-2,- 2 3 ). 4 16 ??4 ? ?, 3 P 点走过的弧长为 3 2 8 ??4 ? ?. 3 Q 点走过的弧长为 3

-5-


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