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广东省珠海市2012-2013学年高二数学上学期期末质检试题 文(A卷)新人教A版


珠海市 2012~2013 学年度第一学期期末学生学业质量监测 高二文科数学试题(A 卷)与参考答案
时量:120 分钟 分值:150 分. 内容:数学选修 1-1 和数学必修 3. 一、选择题(本大题共 12 小题,每小题 5 分,共 60 分,每小题给出的四个选项中,只有一 项是符合题目要求的) 1. (逻辑) “? ?

?
3

”是“ cos ? ?

1 ”的( 2



A.充分而不必要条件 C.充分必要条件

B 必要而不充分条件 D .既不充分也不必要条件 )

2. (逻辑)已知命题 p : ?x ? R, sin x ? 1 ,则( A. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 C. ?p : ?x ? R, sin x ? 1

B. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 D. ?p : ?x ? R, sin x ? 1 )

3. (圆锥曲线)若椭圆的焦距长等于它的短轴长,则椭圆的离心率等于( A.

1 2

B . 2
2

C .

2 2

D .2 ( )

4. (圆锥曲线) 抛物线 x ? 4 y 的焦点坐标为 A . (?1, 0) B . (1, 0) C . (0, ?1) ( B . (log 2 x) ' ? D. (0,1) )

5. (导数)下列求导运算正确的是 A . (x ?

1 ' 1 ) ? 1? 2 x x
'

1 x ln 2

C . (cos x) ? sin x

e x ' xe x ? e x D. ( ) ? x x2

y y ? f ?( x ) 6. (导数)函数 f ( x) 的定义域为开区间 (a, b) ,导函数 f ?( x) 在 (a, b) 内的图象如图所示,

则函数 f ( x) 在开区间 (a, b) 内有极大值点( A.个 B .2个 C .3个

) D .4个
a O

b x

(第 6 题)

7. (导数)已知函数 f ( x) ? x ( x ? 3) ,则
2

A. x ? 0 是 f ( x) 的极大值点

B. x ? 0 是 f ( x) 的极小值点

1

C. x ? ?

3 是 f ( x) 的极小值点 2

D. x ? ?2 是 f ( x) 的极小值点

8. (算法)下图给出的是计算

1 1 1 1 的值的一个程序框图,其中判断框内应填 ? ? ? ??? ? 2 4 6 20
D.i<20?

入的条件是( ) A.i>10? B.i<10? C.i>20? 9. (算法)下列程序的输出结果是( ) A.2,2 a=2 B.3,2 b=3 C.2,3 t=a D.3,3 a=b b=t PRINT a,b (第 9 题)

(第 8 题)

10. (统计)下图是 2012 年举行的全国少数民族运动会上,七位评委 为某民族舞蹈打出的分的茎叶统计图,去掉一个最高分和一个最低 分后,所剩数据的平均数和中位数分别为( )

(第 10 题) A.85,84 B.85,84.5 C. 85 ,85 D. 85 ,85.5 11. (概率)抽查 10 件产品,设事件 A:至少有两件次品,则与 A 的互斥的事件为( ) A.恰有两件次品 B.恰有一件次品 C..恰有两件正品 D.至少两件正品 12. (统计)如某校高中三年级的 300 名学生已经编号为 0,1,??,299,为了了解学生 的学习情况,要抽取一个样本数为 60 的样本,用系统抽样的方法进行抽取,若第 59 段所抽 到的编号为 293,则第 1 段抽到的编号为( A.2 B.3 ) C.4 D.5

二、填空题(本大题共 8 小题,每小题 5 分,共 40 分,请将正确答案填空在答题卡上) 13. (统计)一支田径运动队有男运动员 48 人,女运动员 36 人. 现用分层抽样的方法抽取 一个容量为 35 的样本,则抽取的女运动员有 人.15 14. (概率)先后抛掷两枚均匀的正方体骰子,它们的点数之和为 4 的概率为 15. (导数)曲线 y ? x ? 3 在点 (1, 4) 处的切线方程为
2

.1/12

y ? 2x ? 2

16 .( 圆 ) 以 点 ( 2 , -1 ) 为 圆 心 , 以 3 为 半 径 的 圆 的 标 准 方 程 是 _____________________. ( x ? 2) ? ( y ? 1) ? 9
2 2

17. (算法)二进制数化为十进制数: 10111( 2 ) ? ____________(10).23

18. (圆锥曲线)设双曲线

x2 y2 ? ? 1(a ? 0, b ? 0) 的虚轴长为 2,焦距为 2 3 ,则双曲 a2 b2
2

线的渐近线方程为________. y ? ?

2 x 2

19. (统计)为了了解“预防禽流感疫苗”的使用情况,某市卫生部门对本地区 5 月份至 7 月份使用疫苗的所有养鸡场进行了调查, 根据下列图表提供的信息, 可以得出这三个月 本地区平均每月注射了疫苗的鸡的数量为 月份 5 6 7 养鸡场(个数) 20 50 100 万只.90

20. (导数)函数 y ? x ?

3 ( x ? 0) 的极小值是 x

.2 3

三、解答题(本大题共 5 小题,每题 10 分,共 50 分.请将详细解答过程写在答题卡上) 21. (逻辑估级 3) 设: P: 指数函数 y ? a 在 x∈R 内单调递减; Q: 曲线 y ? x ? (2a ? 3) x ? 1
x 2

与 x 轴交于不同的两点。如果 P 为真,Q 为假,求 a 的取值范围. 解:当 0<a<1 时,指数函数 y ? a
2

x

在 R 内单调递减;?(2 分)
2

曲线 y=x +(2a-3)x+1 与 x 轴有两个不同的交点等价于(2a-3) -4>0,?(4 分) 即 a<

1 5 或 a> 。?(6 分) 2 2 1 5 2 2

由题意有 P 正确,且 Q 不正确,因此,a∈(0,1)∩[ [ , ] ?(8 分) 即 a∈ [ ,1) ?(10 分)

1 2

22.(统计估级 3)某超市为了解顾客的购物量及结算时间等信息,安排一名员工随机收集 了在该超市购物的 100 位顾客的相关数据,如下表所示. 一次购物量 顾客数(人) 结算时间(分钟/人) 1至4件 5至8件 30 1.5 9 至 12 件 25 2 13 至 16 件 17 件及以上 10 3

x
1

y
2.5

已知这 100 位顾客中的一次购物量超过 8 件的顾客占 65%. (Ⅰ)确定 x, y 的值,并估计顾客一次购物的结算时间的平均值; (Ⅱ)求一位顾客一次购物的结算时间不超过 ...2 分钟的概率.(将频率视为概率). 、解: (Ⅰ)由已知得 25 ? y ? 10 ? 65,30 ? x ? 35,? x ? 5, y ? 30 ,?(2 分)

3

该超市所有顾客一次购物的结算时间组成一个总体, 所收集的 100 位顾客一次购物的结算时 间可视为一个容量为 100 的简单随机样本, 顾客一次购物的结算时间的平均值可用样本平均 数估计,其估计值为: (5*1+30*1.5+25*2+30*2.5+10*3)/100=2.05 (分钟). ?(5 分)

(Ⅱ)记 A 为事件“一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟” , A1 , A2 , A3 分别表示事 件 “该顾客一次购物的结算时间为分钟” , “该顾客一次购物的结算时间为 1.5 分钟” , “该 顾客一次购物的结算时间为 2 分钟”.将频率视为概率,得

P( A1 ) ?

5 1 30 3 25 1 ? , P( A2 ) ? ? , P( A3 ) ? ? .?(8 分) 100 20 100 10 100 4

A ? A1 ? A2 ? A3 .且A1 , A2 , A3 是互斥事件,
? P( A) ? P( A1 ) ? P ( A2 ) ? P ( A3 ) ? 3 . 5 3 .?(10 分) 5

故一位顾客一次购物的结算时间不超过 2 分钟的概率为

23. (概率估级 3。5)(本题满分 10 分) 已知 M={1,3,6,7,8},N={3,4,5},从 M 和 N 中各自任取一个数,分别记为 x 和为 y , 求 x ? y ≥ 10 的概率. 解:从 M、N 中各取一个数组成数对(x ,y),共有 15 对,?3 分 其中满足 x ? y ? 10 的有,(6,4),(6,5),(7,3),(7,4),(7,5),(8,3),(8,4),(8,5)共 8 对?6 分 故所求概率为 P ?

8 ,所以使 x ? y ? 10 的概率为 8/15.?10 分 15

24. (圆锥曲线估级 4)已知点 A(-2,0) ,B(2,0) ,直线 AP 与直线 BP 相交于点 P,它们 的斜率之积为 ?

1 ,求点 P 的轨迹方程(化为标准方程) . 4

解:设点 P ( x, y ) ,

y ( x ? ?2) ?? (2 分) x?2 y 直线 BP 的斜率 k BP ? ( x ? 2) ?? (4 分) x?2 y y 1 根据已知,有: ? ? ? ( x ? ?2) ?? (7 分) x?2 x?2 4
直线 AP 的斜率 k AP ? 化简得:

x2 ? y 2 ? 1( x ? ?2) 4

??? (10 分)

(没有写 x ? ?2 扣 1 分) 25. (导数估级 5)已知函数 f ( x) ? x ? 3 x ? 10 .
3 2

4

(1)求 f ?(1) ; (2)求函数 f ( x) 的单调区间. 解: (1)∵ f ?( x) ? 3 x ? 6 x ,?? (2 分)
2

∴ f ?(1) ? ?3 ?? (5 分) (2)∵ f ?( x) ? 3 x ? 6 x ? 3 x( x ? 2)
2

当 f ?( x) ? 0 时,也即当 x ? 2 或 x ? 0 时, f ( x) 单调递增;?? (7 分) 当 f ?( x) ? 0 时,也即当 0 ? x ? 2 时, f ( x) 单调递减;?? (9 分) ∴函数 f ( x) 的单调递增区间是 (??,0) 和 (2,??) ,单调递减区间是 (0,2) . (10 分) (在 0,2 处写成闭区间,也同样计分)

5


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