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导学案019第三节 三角函数的图象和性质


济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案

编号 018

班级:高三()

姓名:

三角函数的图象和性质 考纲要求 1.能画出 y=sin x,y=cos x,y=tan x 的图象,了解 三角函数的周期性. 2.理解正弦函数、余弦函数的性质(如单调性、最大值和最小值以及与 x 轴交点等), 理解正切函数的单调性. 考情分析 1.三角函数的值域、最值、单调性、周期性等性质是高考考查的重点. 2.主要以选择题、填空题的形式考查,也常与三角恒等变换相结合在解答题中考查. 教学过程: 基础梳理 正弦函数、余弦函数、正切函数的图象和性质 函数 图 象

y=sinx

y=cosx

y=tanx

定义域

值域 上递增,k∈ 单调性 Z; 上递减,k∈Z 函数 上递增,k∈Z; 上递减,k∈Z 上递增,k∈Z

y=sinx x=

y=cosx
时 ,max=1(k y

y=tanx

最值

时 , x= ymax=1(k∈Z);x= ∈Z);x= 时

无最值 时 ymin=

ymin=-1(k∈Z)

-1(k∈Z)

奇偶性

济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案

编号 018

班级:高三()

姓名:

函数

y=sinx

y=cosx

y=tanx

对 称 性

对称 中心

对称 轴 l:

周期性

双基自测 ?π ? 1.函数 y=tan ? -x?的定义域是 ( ?4 ? A.?x|x≠
? ? ? ? ? ? ? ? ? π ? ,x∈R? 4 ? ? ? π ? ,k∈Z,x∈R? 4 ? ?

) B.?x|x≠-
? ? ? ? ? ? ? ? ? π ? ,x∈R? 4 ? ? ? 3π ? ,k∈Z,x∈R? 4 ? ?

C.?x|x≠kπ +

D.?x|x≠kπ +

5π ? ? 2.函数 f(x)=2cos ?x+ ?是( 2 ? ?

) B.最小正周期为 2π 的偶函数 D.最小正周期为 π 的偶函数 ) 3π ? ? C.?π , ? 2 ? ? ?3π ? ,2π ? D.? 2 ? ?

A.最小正周期为 2π 的奇函数 C.最小正周期为 2π 的非奇非偶函数 3.函数 y=|sin x|的一个单调增区间是( ? π π? A.?- , ? 4? ? 4 ?π 3π ? B.? , ? 4 ? ?4

? π? ? π? 4.比较大小,sin?- ?________sin?- ?. ? 18? ? 10? π? ? 5.(教材习题改编)y=2-3cos?x+ ?的最大值为________.此时 x=________. 4? ? 典例分析 考点一:三角函数的定义域和值域 例 1:(2012·珠海模拟)函数 y=lg(2sin x-1)+ 1-2cos x

济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案

编号 018

班级:高三()

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的定义域为________ . [例 2] (2010·江西高考)函数 y=sin2x+sin x-1 的值域为( 5 B.[- ,-1] 4 5 C.[- ,1] 4 )

A.[-1,1]

5 D.[-1, ] 4

π ?? π π? ? 变式 1:(2012·嘉兴模拟)函数 y=2sin ?2x+ ??- <x< ?的值域为________. 3 ?? 6 6? ? 方法总结: 1.求三角函数定义域实际上是解简单的三角不等式,常借助三角函数线或三角函数 图象来求解. 2.求解涉及三角函数的值域(最值)的题目一般常用以下方法 (1)利用 sin x、cos x 的值域; (2)形式复杂的函数应化为 y=Asin(ω x+φ )+k 的形式逐步分析ω x+φ 的范围, 根 据正弦函数单调性写出函 数的值域; (3)换元法:把 sin x 或 cos x 看作一个整体,可化为求函数在区间上的值域(最值) 问题. 考点二:三角函数的单调性 [例 3] π? π? ? ? (2011·新课标全国卷)设函数 f(x)=sin?2x+ ?+cos?2x+ ?,则( 4? 4? ? ? π? π ? A.y=f(x)在?0, ?单调递增,其图象关于直线 x= 对称 2? 4 ? π? π ? B.y=f(x)在?0, ?单调递增,其图象关于直线 x= 对称 2? 2 ? π? π ? C.y=f(x)在?0, ?单调递减,其图象关于直线 x= 对称 2? 4 ? π? π ? D.y=f(x)在?0, ?单调递减,其图象关于直线 x= 对称 2? 2 ? π , 2 )

变式 2.(2012·金华模拟)若函数 f(x)=(1+tan x)cos x,0≤x< 则 f(x)的最大、最小值分别为 A. 2和 1 B.2 和 1 C.2 和 2 ( D.2 和 3 )

方法总结: 求形如 y=Asin(ω x+φ )或 y=Acos(ω x+φ )(其中 A≠0,ω >0)的函数的单调区 间,可以通过解不等式的方法去解答,列不等式的原则是:①把“ω x+φ (ω >0)” 视为一个“整体” ;②A>0(A<0)时,所列不等式的方向与 y=sin x(x∈R),y=cos x(x ∈R)的单调区间对应的不等式方向相同(反).

济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案

编号 018

班级:高三()

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考点三:三角函数的周期性和奇偶性 [例 4] A. ?x π ? (2010·湖北高考)函数 f(x)= 3sin ? - ?,∈R 的最小正周期为 ( x ?2 4 ? π 2 B.π C.2π D.4π )

[例 5] (2010·陕西高考)函数 f(x)=2sin xcos x 是 ( ) A.最小正周期为 2π 的奇函数 B.最小正周期为 2π 的偶函数 C.最小正周期为π 的奇函数 D.最小正周期为π 的偶函数 ?π π ? 变式 3.(2012·义乌模拟)下列函数中,周期为 π ,且在? , ?上为减函数的是 2? ?4 ( ) π? ? A.y=sin ?2x+ ? 2? ? π? ? C.y=sin ?x+ ? 2? ? π? ? B.y=cos ?2x+ ? 2? ? π? ? D.y=cos ?x+ ? 2? ?

变式 4.(2012·黄冈模拟)我们把正切函数在整个定义域内的图象看作一组“平行曲 线”, 而“平行曲线”具有性质: 任意两条平行直线与两条相邻的“平行曲线”相交, 被截得的线段相等. 已知函数 f(x)=tan(ω x+ π )(ω >0)图象中的两条相邻“平行曲 3 )

线”与直线 y=2 012 相 交于 A,B 两点,且|AB|=3π ,则 f(π )=( A.2+ 3 B.- 3 C. 3 D. 3- 2

方法总结: 1.判断函数的奇偶性,首先要看函数的定义域是否关于原点对称,若定义域关于原点 对称,再判断 f(-x)与 f(x)的关系,进而确定其奇偶性. 2.求三角函数周期的方法: (1)利用周期函数的定义. (2)利用公式:y=Asin(ω x+φ )和 y=Acos(ω x+φ )的最小正周期为 tan(ω x+φ )的最小正周期为 π . |ω | (3)利用图象. 2π ,y= |ω |

[考题范例] π? ? (2011·北京高考)已知函数 f(x)=4cos xsin ?x+ ?-1. 6? ?

济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案

编号 018

班级:高三()

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(1)求 f(x)的最小正周期; ? π π? (2)求 f(x)在区间?- , ?上的最大值和最小值. 4? ? 6 [规范解题] ? 3 ? π? ? 1 (1)因为 f(x)=4cos xsin ?x+ ?-1=4cos x? sin x+ cos x?-1= 3 6? 2 ? ?2 ? π? ? sin 2x+2cos2x-1= 3sin 2x+cos 2x=2sin ?2x+ ?, 6? ? 所以 f(x)的最小正周期为 π . (6 分) (2)因为- 所以- π π ≤x≤ , 6 4 (8 分) (10 分) (12 分) (5 分)

π π 2π ≤2x+ ≤ . 6 6 3 π π π = ,即 x= 时,f(x)取得最大值 2; 6 2 6

于是,当 2x+ 当 2x+

π π π =- ,即 x=- 时,f(x)取得最小值-1. 6 6 6

一种方法 在由图象求三角函数解析式时,若最大值为 M,最小值为 m,则 A= ω 由周期 T 确定,即由 一个区别 由 y=sin x 的图象变换到 y=Asin (ω x+φ )的图象,两种变换的区别:先相位变换 再周期变换(伸缩变换),平移的量是|φ |个单位;而先周期变换(伸缩变换)再相位变 换,平移的量是 |φ | (ω >0)个单位.原因在于相位变换和周期变换都是针对 x 而言, ω 2π =T 求出,φ 由特殊点确定. ω

M-m
2

,k=

M+m
2



即 x 本身加减多少值,而不是依赖于 ω x 加减多少值. 两个注意

济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案

编号 018

班级:高三()

姓名:

作正弦型函数 y=Asin(ω x+φ )的图象时应注意: (1)首先要确定函数的定义域; (2)对于具有周期性的函数,应先求出周期,作图象时只要作出一个周期的图象,就 可根据周期性作出整个函数的图象.

本节检测 π? ? 1.设函数 f(x)=sin ?2x- ?,x∈R,则 f(x)是( 2? ? A.最小正周期为 π 的奇函数 C.最小正周期为 π 的奇函数 2 )

B.最小正周期为 π 的偶函数 D.最小正周期为 ) π 5π ? ? B.?2kπ + ,2kπ + ?(k∈Z) 6 6 ? ? π 5π ? ? D.?kπ + ,kπ + ?(k∈Z) 6 6 ? ? 2π ]上递减,且有最小值 1,则 ω 的值可以 3 π 的偶函数 2

2.函数 y= 2sin x-1的定义域为( ?π 5π ? A.? , ? 6 ? ?6 π 5π ? ? C.?2kπ + ,2kπ + ?(k∈Z) 6 6 ? ? 3.若函数 y=2cos ω x 在区间[0, 是( ) A.2 B. 1 2 C.3

D.

1 3

4.(2011·天津高考)已知函数 f(x)=2sin(ω x+φ ),x∈R,其中 ω >0,-π <φ ≤π .若 f(x)的最小正周期为 6π ,且当 x= A.f(x)在区间[-2π ,0]上是增函数 增函数 C.f(x)在区间[3π ,5π ]上是减函数 函数 5.函数 y= 1-tan x的定义域是________. 6.已知函数 f(x)=2sin(π -x)cos x. (1)求 f(x)的最小正周期; D.f(x)在区间[4π ,6π ]上是减 π 时,f(x)取得最大值,则( 2 )

B.f(x)在区间[-3π ,-π ]上是

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编号 018

班级:高三()

姓名:

? π π? (2)求 f(x)在区间?- , ?上的最大值和最小值. 2? ? 6

自我反思

9.设函数 f(x)=sin(2x+φ )(-π <φ <0),y=f(x)的图象的一条对称轴是直线 x= π . 8 (1)求 φ ; (2)求函数 y=f(x)的单调递增区间.

济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案

编号 018

班级:高三()

姓名:

π? π? ? ? 10.已知 a>0,函数 f(x)=-2asin ?2x+ ? +2a +b ,当 x∈ ?0, ? 时,- 6? 2? ? ? 5≤f(x)≤1. (1)求常数 a,b 的值;

济宁学院附属高中高三数学第一轮复习导学案

编号 018

班级:高三()

姓名:

π? ? (2)设 g(x)=f?x+ ?且 lg g(x)>0,求 g(x)的单调区间. 2? ?


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